第12章《二次根式》（解析）

2022-2023学年苏科版数学八年级下册易错题真题汇编（提高版）第12章《二次根式》考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•峄城区期末）已知x＝﹣1，y＝+1，则分式的值是（）A．2 B． C．4 D．2解：＝＝x+y，当x＝﹣1，y＝+1时，原式＝﹣1++1＝2．故选：D．2．（2分）（2022春•钦州期末）下列计算正确的是（）A． B． C． D．解：A．（﹣）2＝3，故A符合题意；B.＝3，故B不符合题意；C.＝，故C不符合题意；D.3＝3×，故D不符合题意；故选：A．3．（2分）（2021秋•邵东市期末）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝，∵关于x的分式方程+2＝有正数解，∴＞0，∴m＞﹣5，又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3∴m≠﹣3，∵有意义，∴2﹣m≥0，∴m≤2，因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，∵m为整数，：∴整数m为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，故选：D．4．（2分）（2022春•诸城市校级期中）如果一个三角形的三边长分别为、k、，则化简﹣|2k﹣5|的结果是（）A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k解：∵一个三角形的三边长分别为、k、，∴﹣＜k＜+，∴3＜k＜4，﹣|2k﹣5|，＝﹣|2k﹣5|，＝6﹣k﹣（2k﹣5），＝﹣3k+11，＝11﹣3k，故选：D．5．（2分）（2021春•花山区校级月考）已知a满足|2020﹣a|+＝a，则a﹣20202＝（）A．0 B．1 C．2021 D．2020解：由题意得：a﹣2021≥0，∴a≥2021，∴|2020﹣a|＝a﹣2020，∵|2020﹣a|+＝a，∴a﹣2020+＝a，∴＝2020，∴a﹣2021＝20202，∴a﹣20202＝2021，故选：C．6．（2分）（2021春•越城区校级期中）有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则﹣|a﹣b|等于（）A．a B．﹣a C．2b+a D．2b﹣a解：观察数轴可知：，当b＜0时，，所以原式＝﹣b﹣（a﹣b）＝﹣b﹣a+b＝﹣a．故选：B．7．（2分）（2022春•长沙期中）已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（）A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2﹣，∴a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2，故A选项错误；a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，故B选项错误；ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1，故C选项正确；∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+3＝7﹣4，∴a2≠b2，故D选项错误；故选：C．8．（2分）（2021春•宁津县期末）在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a解：∵a、b、c为三角形的三边，∴a+c＞b，a+b＞c，即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．故选：B．9．（2分）（2023春•武穴市月考）已知1＜a＜3，那么化简代数式﹣的结果是（）A．5﹣2a B．2a﹣5 C．﹣3 D．3解：∵1＜a＜3，∴a﹣1＞0，a﹣3＜0，∴﹣＝|a﹣1|﹣|a﹣4|＝a﹣1+a﹣4＝2a﹣5，故选：B．10．（2分）（2023春•定远县校级月考）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下结论：①；②设有理数a，b满足，则a+b＝6；③；④已知，则；⑤．以上结论正确的有（）A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．②③④解：①，故正确；②，∴a+b＝﹣6，b﹣a＝4，故错误；③，，∵，∴，故正确；④∵＝（43﹣x）﹣（11﹣x）＝32，而，∴，故错误；⑤＝＝＝＝，故正确；正确的有①③⑤．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•沂源县期末）若最简二次根式与﹣是同类二次根式，则x＝±1．解：由题意可得：5x2+1＝7x2﹣1，解得x＝±1，当x＝±1时，与﹣都是最简二次根式．因此x＝±1．故答案为±1．12．（2分）（2021•鹤峰县模拟）已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式的值为3．解：∵m＝1+，n＝1﹣，∴（m+n）2＝＝22＝4，mn＝（1+）×（1﹣）＝1﹣2＝﹣1，∴m2+n2﹣3mn＝（m+n）2﹣2mn﹣3mn＝（m+n）2﹣5mn＝4﹣5×（﹣1）＝9，∴＝＝3．故答案为：3．13．（2分）（2023春•蚌埠月考）观察下列各式：①2＝；②3＝；③4＝；…；根据这些等式反映的规律，若x＝，则x2﹣y＝1．解：由题意得：若x＝，则x＝2023，y＝20232﹣1，∴x2﹣y＝20232﹣（20232﹣1）＝1．故答案为：1．14．（2分）（2022秋•射洪市期末）已知x＝+2，代数式x2﹣4x+11的值为12．解：x2﹣4x+11，＝（x﹣2）2+7．把x＝+2代入，原式＝（+2﹣2）2+7，＝（）2+7，＝5+7，＝12．故答案是：12．15．（2分）（2023春•德城区校级月考）已知a＝，b＝，则a与b的关系是互为相反数．解：∵a＝＝2﹣，∴b+a＝0，故a与b互为相反数，故答案是互为相反数．16．（2分）（2022春•新洲区校级月考）观察下列各式的规律：①；②；③若，则a+b＝55．解：由题意可得：22﹣1＝3，32﹣1＝8，42﹣1＝15，则a＝7，b＝72﹣1＝48，故a+b＝7+48＝55．故答案为：55．17．（2分）（2022春•龙亭区校级期中）已知实数a，b，c在数轴上的对应点，如图所示，化简＝﹣b．解：∵a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴原式＝|a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝﹣a﹣c+a+c﹣b＝﹣b．故答案为：﹣b．18．（2分）（2022春•泰州期末）关于x的代数式有意义，满足条件的所有整数x的和是9，则a的取值范围为﹣1＜a≤0或﹣4＜a≤﹣3．解：∵4﹣x≥0，x﹣a﹣2≥0，∴a+2≤x≤4，∵满足条件的所有整数x的和是9，∴x＝4，3，2或4，3，2，1，0，﹣1，∴1＜a+2≤2或﹣2＜a+2≤﹣1，∴﹣1＜a≤0或﹣4＜a≤﹣3．故答案为：﹣1＜a≤0或﹣4＜a≤﹣3．19．（2分）（2022春•辛集市期末）已知xy＜0，化简：x＝．解：∵二次根式，∴y＜0，∵xy＜0，∴x＞0，∴＝，故答案为：．20．（2分）（2021春•西乡塘区校级月考）观察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此规律，第8个等式的是＝3﹣2．解：通过观察等式的中被开方数与等式的序号的关系找到规律为：第n个式子为：，∴第8个等式的是：＝，即：＝3﹣2．故答案为：＝3﹣2．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（8分）（2023春•广安区校级月考）计算（1）；（2）．解：（1）＝＝；（2）＝＝．22．（8分）（2022秋•罗湖区校级期末）小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：∵a＝．∴a﹣2＝﹣．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）计算：＝﹣1；（2）计算：+…+；（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．解：（1）＝＝﹣1，故答案为：；（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1＝；（3）∵a＝+2，∴a﹣2＝．∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．∴a2﹣4a＝1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（1）+1＝3．答：2a2﹣8a+1的值为3．23．（6分）（2022春•邗江区期末）阅读下列材料，并回答问题：把形如a+b与a﹣b、b为有理数且b＞0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．（1）请你举出一对共轭实数：3+和3﹣；（2）﹣2和2是共轭实数吗？若是请指出a、b的值；（3）若两个共轭实数的和是10，差的绝对值是4，请求出这两个共轭实数．解：（1）由题意可得，3+与3﹣是共轭实数，故答案为：3+，3﹣；（2）﹣2和2是共轭实数，a＝0，b＝2；（3）设这两个共轭实数为a+b与a﹣b，∵两个共轭实数的和是10，差的绝对值是4，∴（a+b）+（a﹣b）＝10，|（a+b）﹣（a﹣b）|＝4，∴2a＝10，|2b|＝4，∴a＝5，b＝2或b＝﹣2（舍去），m＝3，∴这两个共轭实数是5+2，5﹣2．24．（6分）（2022春•高安市期中）＝|a|是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题：（1）化简：＝2，＝π﹣3；（2）若＝﹣1﹣x，则x的取值范围为x≤﹣1；（3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+．解：（1）＝|﹣2|＝2，＝|3﹣π|＝π﹣3．∴答案为：2，π﹣3．（2）∵＝|1+x|＝﹣1﹣x．∴1+x≤0，∴x≤﹣1．故答案为：x≤﹣1．（3）由数轴得：a＜b＜0＜c．∴c﹣a＞0，b﹣c＜0．∴原式＝|a|﹣（c﹣a）+|b﹣c|＝﹣a﹣c+a﹣b+c＝﹣b．25．（8分）（2021春•汉阳区月考）[问题提出]在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，例如：；．[尝试应用]（1）请你按照上述方法将化成一个式子的平方；（2）请你参考上述方法，计算；[拓展创新]若，且a、m、n均为正整数，则a＝8或16．解：（1）＝（3+7）+2＝（）2+（）2+2×＝（+）2；（2）＝＝2＝2＝2＝2＝2（﹣）＝2﹣2；（3）∵，∴a+2＝m+2+n，∴m+n＝a，mn＝15，∵a、m、n均为正整数，∴m，n的值为3和5或1和15，∴a的值为8或16，故答案为：8或16．26．（8分）（2022春•余杭区期中）如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC＝BC＝20cm．要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为5cm，用这些纸条为一幅正方形照片EFGH镶边（纸条不重叠）．图1和图2是两种不同裁法的示意图．（1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；（2）分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度；（3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？解：（1）如图3，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝BC＝20，∠ACB＝90°，∴AB＝AC＝×20＝40cm，∴CD＝AB＝20cm，＝＝2，且2＜2＜3，∴如图1裁法最多能得到2条长方形纸条；20÷5＝4，∴如图2裁法最多能得到3条长方形纸条；（2）如图1，∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF＝AF＝5cm，∴EQ＝40﹣5﹣5＝（40﹣10）cm，同理得：DP＝40﹣10﹣10＝（40﹣20）cm，∴如图1裁法得到长方形纸条的总长度＝EQ+DP＝40﹣10+40﹣20＝（80﹣30）cm；如图2，同理可知△PEB是等腰直角三角形，且BE＝5cm，∴PD＝20﹣5＝15cm，QG＝15﹣5＝10cm，•••，∴如图2裁法得到长方形纸条的总长度＝15+10+5＝30（cm）；（3）如图4，如图1裁法：PG＝＝（20﹣）cm，FG＝PG﹣PF＝20﹣﹣5＝（20﹣）cm，如图2裁法：PG＝＝cm，FG＝PG﹣PF＝﹣5＝cm，∵20﹣＜，∴这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为（）2＝12.5（cm2）．27．（8分）（2022秋•丰泽区校级期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn．（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：21+4＝（1+2）2；（3）化简解：（1）∵，＝m2+2mn+3n2∴a＝m2+3n2，b＝2mn故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设a+b＝则＝m2+2mn+5n2∴a＝m2+5n2，b＝2mn若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4故答案为：21，4，1，2．（3）＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝++﹣＝+28．（8分）（2022春•新罗区校级月考）小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵，∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣