第12章《证明》（解析）

2022-2023学年苏科版数学七年级下册易错题真题汇编（提高版）第12章《证明》考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•莲池区期末）下列命题中，真命题的个数是（）①相等的角是对顶角；②同位角相等；③等角的余角相等；④如果x2＝y2，那么x＝y．A．1 B．2 C．3 D．4解：①相等的角不一定是对顶角，故本说法是假命题；②两直线平行，同位角相等，故本说法是假命题；③等角的余角相等，本说法是真命题；④如果x2＝y2，那么x＝±y，故本说法是假命题；故选：A．2．（2分）（2022春•汉川市期中）下列命题中，正确的是（）A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离解：A、对顶角相等，说法正确，符合题意；B、两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法错误，不符合题意；C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项说法错误，不符合题意；D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本选项说法错误，不符合题意；故选：A．3．（2分）（2022春•静海区校级期中）有下列是真命题的有（）个．①同一平面内，两条直线的位置关系分为相交、平行、垂直；②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④对顶角相等；⑤内错角相等．A．1 B．2 C．3 D．4解：①同一平面内，两条直线的位置关系分为相交、平行，故本小题说法是假命题；②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本小题说法是真命题；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法是假命题；④对顶角相等，本小题说法是真命题；⑤两直线平行，内错角相等，故本小题说法是假命题；故选：B．4．（2分）（2022春•原州区校级月考）下列选项中a的值，可以作为命题“|a|＞2，则a＞2”是假命题的反例是（）A．a＝3 B．a＝﹣3 C．a＝﹣2 D．a＝2解：当a＝﹣3时，|a|＞2，而a＜2，∴命题“|a|＞2，则a＞2”是假命题，故选：B．5．（2分）（2022春•惠州期末）下列命题中的真命题是（）A．同位角相等 B．如果一个数有平方根，那么这个数的平方根一定有两个 C．实数与数轴上的点是一一对应的 D．如果a＞b，则ac2＞bc2解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；B、如果一个数有平方根，那么这个数的平方根一定有两个，是假命题，例如0的平方根是0，本选项不符合题意；C、实数与数轴上的点是一一对应的，是真命题，符合题意；D、如果a＞b，c≠0，则ac2＞bc2，故本选项说法是假命题，不符合题意；故选：C．6．（2分）（2022春•南沙区期末）下列命题中，真命题的个数是（）①对顶角相等；②同位角相等；③同一平面内，如果直线l1∥l2，直线l1∥l3，那么l2∥l3；④同一平面内，如果直线l1∥l2，直线l1⊥l3，那么l2⊥l3；⑤同一平面内，如果直线l1与l2相交，直线l1与l3相交，那么l2与l3相交．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个解：①对顶角相等，是真命题；②两直线平行，同位角相等，故本小题命题是假命题；③同一平面内，如果直线l1∥l2，直线l1∥l3，那么l2∥l3，是真命题；④同一平面内，如果直线l1∥l2，直线l1⊥l3，那么l2⊥l3，是真命题；⑤同一平面内，如果直线l1与l2相交，直线l1与l3相交，那么l2与l3相交或平行，故本小题命题是假命题；故选：B．7．（2分）（2022春•门头沟区期末）下列命题是假命题的是（）A．同角或等角的余角相等 B．相等的角是对顶角 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．在同一平面内，两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等解：A、同角或等角的余角相等，是真命题，不符合题意；B、相等的角不一定是对顶角，本选项命题是假命题，符合题意；C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意；D、在同一平面内，两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，是真命题，不符合题意；故选：B．8．（2分）（2022春•东平县期末）下列命题的逆命题不正确的是（）A．直角三角形的两锐角互余 B．相等的两个角就一定是对顶角 C．若a2＝b2，则a＝b D．全等三角形的三个对应角相等解：A、直角三角形的两锐角互余的逆命题是有两个角互余的的三角形是直角三角形，是真命题，本选项不符合题意；B、相等的两个角就一定是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题，本选项不符合题意；C、若a2＝b2，则a＝b的逆命题：若a＝b，则a2＝b2，是真命题，本选项不符合题意；D、全等三角形的三个对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形，是假命题，本选项符合题意．故选：D．9．（2分）（2022春•惠城区期中）下列命题中，真命题的个数是（）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等．A．4 B．3 C．2 D．1解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题；在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是真命题；图形平移的方向不一定是水平的，③是假命题；两直线平行，内错角相等，④是假命题；故选：D．10．（2分）（2021春•九龙坡区校级期中）下列命题是真命题的有（）个①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③过一点有且只有一条直线与已知直线平行④对顶角相等，邻补角互补A．1 B．2 C．3 D．4解：两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，①是假命题；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，②是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，③是假命题；对顶角相等，邻补角互补，④是真命题；故选：A．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•阎良区期末）命题“如果正数a是有理数，则它的算术平方根也是有理数”是假命题．（填“真”或“假”）解：正数2是有理数，它的算术平方根是，是无理数，则命题“如果正数a是有理数，则它的算术平方根也是有理数”是假命题，故答案为：假．12．（2分）（2022春•北京期末）已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是①③④．（填写所有真命题的序号）①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，是真命题；②如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，故本小题命题是假命题；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c，是真命题；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，是真命题；故答案为：①③④．13．（2分）（2021春•东莞市期末）已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个钝角；④在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中正确命题的序号是④⑤．解：①相等的角是对顶角，错误，因为对顶角既要考虑大小，还有考虑位置；②互补的角就是平角，错误，因为互补的角既要考虑大小，还有考虑位置；③互补的两个角一定是一个为锐角，另一个为钝角，错误，两个直角也可以；④在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线平行，是平行公理，正确；⑤邻补角的平分线互相垂直，正确．所以只有④⑤命题正确，故答案为：④⑤．14．（2分）（2023春•康巴什月考）下列命题中，真命题有①（填序号）．①如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；②点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线的长度；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，三条直线两两相交，有两个或三个交点；⑤若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；⑥如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等．解：①如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，是真命题；②点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，原命题是假命题；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；④在同一平面内，三条直线两两相交，有1个或三个交点，原命题是假命题；⑤若a⊥b，b⊥c，则a∥c，原命题是假命题；⑥如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，原命题是假命题．故答案为：①．15．（2分）（2021春•龙凤区期末）四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”．名次公布后，他们每人都只猜对了一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为甲、丙、乙、丁．（按一、二、三、四的名次排序）解：因为他们每人只猜对一半，可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：明明：甲得第一→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二→乙得第三，成立；假设明明说“乙得第二”是正确的，由此进行推导：明明：乙得第二→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二，矛盾．所以甲、乙、丙、丁的名次顺序为甲、丙、乙、丁．故答案为：甲、丙、乙、丁．16．（2分）（2023春•金乡县月考）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为CADB．解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误，于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误，故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾，所以：甲说的：C是亚军错误；②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确，于是乙说：D是殿军错误，则乙说的A得亚军就正确，故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确；没有矛盾，故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B．故答案为：C，A，D，B．17．（2分）（2022春•东城区期末）在数学课上，小明提出如下命题：“在同一平面内，如果直线l₁，l₂相交于P，且l1∥l，那么l₂与l一定相交．”同学们，你认为小明提出的命题是真命题（填“真命题”或“假命题”），你的依据是：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．解：小明提出的命题是真命题，理由如下：在同一平面内，假如l₂与l不相交，那么l₂∥l，则过P点有两条直线l1，l2与l平行，这与过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以l₂与l一定相交．故答案为：真命题，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．18．（2分）（2022春•广陵区期末）一次数学测试，满分为100分．测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把他俩的分数进行计算，李华说：我俩分数的和是160分，吴珊说：我俩分数的差是60分．那么，对于下列两个命题：①俩人的说法都是正确的；②至少有一人说错了；③俩人的说法都是错的．其中真命题是②．（用序号填写）解：若设李华的说法是真命题，则两个人的分数和为160分，若其中一人拿100分，另一人拿60分，那么他们的分差最大，为100﹣60＝40分＜60分．因此他们两人之中，肯定有人说谎，故本题的真命题是②．故答案为：②．19．（2分）（2022春•黔西南州期末）命题“平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”是真命题（填写“真”或“假”）．解：“平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”是真命题，故答案为：真．20．（2分）（2022•北京一模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了17局比赛，其中最后一局比赛的裁判是甲．解：∵甲共当裁判9局，∴乙、丙之间打了9局，又∵乙、丙分别进行了14局、12局比赛，∴乙与甲打了14﹣9＝5局，丙与甲打了12﹣9＝3局，∴甲、乙、丙三人共打了5+3+9＝17局，∵甲共当裁判9局，而从1到17共9个奇数，8个偶数，∴甲当裁判的局为奇数局，∴最后一局比赛的裁判是甲，故答案为：17，甲．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（8分）（2020春•越秀区校级月考）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为互补；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为相等；因此得出一个真命题（用文字叙述）：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．②请选择其中一幅图证明结论．（2）根据①所得的结论，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少40°，请直接写出这两个角的度数．解：（1）①依次填：∠ABC与∠DEF互补，∠ABC＝∠DEF，如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．②图1中，DE∥AB，EF∥BC，∴∠ABC＝∠BPE，∠DEF+∠BPE＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°，∴∠ABC与∠DEF互补．故答案为：∠ABC与∠DEF互补，∠ABC＝∠DEF，如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．（2）设小的角为x°，大的角为（2x﹣40）°，则：2x﹣40+x＝180，∴x＝°，2x﹣40＝°∴这两个角分别为：，°．22．（8分）（2022春•夏邑县期中）【教材回顾】如下是人数七年级下册教材第6页，关于同旁内角的定义．图中∠3和∠6也都在直线AB，CD之间，但它们在直线EF的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．【类比探究】（1）如图①，具有∠1与∠2这种位置关系的两个角叫做同旁外角．请在图中再找出一对同旁外角，分别用∠3，∠4在图中标记出来；（2）如图②，直线a∥b，当∠1＝145°时，∠2＝35°°；（3）如图③，已知∠1+∠2＝180°，试说明a∥b，并归纳出一个真命题（用文字叙述）．解：（1）如图所示，∠3与∠4互为同旁外角；（2）如图，∵直线a∥b，∴∠3+∠4＝180°，又∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝145°，∴∠2＝180°﹣∠1＝35°；故答案为：35°．（3）如图：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，∴∠2＝∠3，∴a∥b．结论：同旁外角互补，两直线平行．23．（6分）（2022春•鹿邑县月考）如图，有如下三个论断：①AB∥CD；②∠1＝∠2；③BE∥CF，以其中两个作为条件，另一个论断作为结论，组成一个真命题，并证明．解：可以选①②⇒③．即：若AB∥CD，∠1＝∠2，则BE∥CF．理由：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB，∵∠1＝∠2，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥FC．24．（6分）（2022春•前进区期末）（1）完成下面的推理说明：已知：如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD．求证：AB∥CD．证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知），∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD（角平分线的定义）．∵BE∥CF（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．∴∠ABC＝∠BCD（等量代换）．∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．（2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题．解：（1）∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知）∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD（角平分线的定义）∵BE∥CF（已知）∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）∴∠ABC＝∠BCD（等量代换）∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）故答案为：ABC；BCD；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．25．（8分）（2019春•常州期末）（1）读读做做：平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．请根据上述思想解决教材中的问题：如图①，AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）；（2）倒过来想：写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．（3）灵活应用如图②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．（1）解：过E作EF∥AB，如图①所示：则EF∥AB∥CD，∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，即∠B+∠D＝∠BED；故答案为：＝；（2）解：逆命题为：若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD；该逆命题为真命题；理由如下：过E作EF∥AB，如图①所示：则∠B＝∠BEF，∵∠B+∠D＝∠BED，∠BEF+∠DEF＝∠BED，∴∠D＝∠BED﹣∠B，∠DEF＝∠BED﹣∠BEF，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∵EF∥AB，∴AB∥CD；（3）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：则NG∥AB∥CD，∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，∵∠AMN是△ACM的一个外角，∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，∵CN平分∠ACD，∴∠ACM＝∠NCD，∴∠CAM＝∠BAN．26．（8分）（2019春•常熟市期中）在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F，试说明∠AEF＝∠AFE；（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与∠CFD有怎样的数量关系？为什么？（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．解：（1）证明：如图1中，∵∠AEF＝∠B+∠ECB，∠AFE＝∠FAC+∠ACE，又∵∠B＝∠FAC，∠ECB＝∠ACE，∴∠AEF＝∠AFE．（2）∠P+∠CFD＝90°，理由如下：如图2中，∵∠ACE＝∠ACB，∠ACP＝∠ACQ，∴∠ECP＝∠ACE+∠ACP＝（∠ACB+∠ACQ）＝90°，∴∠P+∠AEC＝90°，∵∠AEF＝∠AFE＝∠CFD，∴∠P+∠CFD＝90°．（3）证明：如图3中，延长PE交BC于H，设PA交AC于K．∵∠EKC＝∠KPF+∠PFA，∠EHC＝∠B+∠BPK，又∵∠B＝∠CFD＝∠PFA，∠KPF＝∠BPH，∴∠EKC＝∠EHC，∵CE⊥KH，∴∠CEK＝∠CEH＝90°，∴∠EKC+∠ECK＝90°，∠EHC+∠ECH＝90°，∴∠ECK＝∠ECH，∴CE平分∠ACB．27．（8分）（2021春•遵义期末）阅读材料，解决问题判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设但不满足结论就可以了．例如要判断命题“同位角相等”是假命题，可以结合图形举出如下反例：如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c所截而成的同位角，但它们一个是锐角，一个是钝角，明显不相等．请你举出一个反例说明命题“相等的角是对顶角”是假命题（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）．解：如图，∠1＝∠2，但是∠1与∠2不是对顶角．