第21讲 质数和合数

第21讲质数和合数一、第21讲质数和合数（练习题部分）1.三个正整数，一个是最小的奇质数，一个是最小的奇合数，另一个既不是质数，也不是合数．求这三个数的积．

2.三个数，一个是偶质数，一个是大于50的最小的质数，一个是100以内最大的质数．求这三个数的和．

3.两个质数的和是49．求这两个质数的积．

4.设p1与p2是两个大于2的质数．证明p1+p2是一个合数．

5.p是质数，p2+3也是质数．求证：p3+3是质数．

6.若p与p+2都是质数，求p除以3所得的余数．(p>3)．

7.若自然数n1>n2且n12−n22−2n1−2n2=19,求n1与n2的值．8.有四个不同质因数的正整数，最小是多少?

9.求2000的所有不同质因数的和．

10.试证明：形如111111+9×10k(k是非负整数)的正整数必为合数．

11.若n是正整数，n+3与n+7都是质数，求n除以6所得的余数．

12.n是自然数，试证明10|n5-n．

13.证明有无穷多个n，使n2+n+41(1)表示合数；(2)为43的倍数．14.试证明：自然数中有无穷多个质数．

15.

9个连续的自然数，都大于80．其中最多有多少个质数?

答案解析部分一、第21讲质数和合数（练习题部分）1.【答案】解：依题可得：

最小的奇质数为3，

最小的奇合数是9，

既不是质数，也不是合数是1，

∴这三个数的积是：1×3×9=27.

【解析】【分析】奇质数：既是奇数又是合数的数；奇合数：不能被2整除的合数；根据定义分别写出这三个整数，计算即可.2.【答案】解：依题可得：

偶质数是2，

大于50的最小质数是：53，

100以内最大的质数是97，

∴这三个数的和为2+53+97=152.

【解析】【分析】质数：因数只有1和它本身的数，根据题意写出满足的条件的三个数，计算即可.3.【答案】解：依题可得：

49=2+47，

∴2×47=94.

∴这两个质数的积为94.

【解析】【分析】根据质数定义结合已知条件可得这两个数，列式计算即可.4.【答案】证明：∵p1与p2是两个大于2的质数，

∴p1、p2都是奇数，

∴p1+p2是偶数，且大于2，

∴p1+p2是大于2的偶数，即为合数.

【解析】【分析】根据题意可知p1、p2都是奇数，由奇＋奇＝偶即可得证.5.【答案】证明：∵p是质数，当p>2时，

∴p2+3被4整除，

又∵p2+3也是质数，与已知矛盾，

∴必有p=2，

∴p3+3=11，是质数．

【解析】【分析】由于2是最小的质数，先假设当p>2时得出p2+3被4整除，此时与已知条件矛盾，故p=2时，代入即可得证.6.【答案】解：∵p是质数，

∴①p=3k时，

∵p>3且是质数，

∴不存在这样的p；

②p=3k+1时，

∴p+2=3k+1+2=3（k+1），

此时与p+2为质数矛盾；

③p=3k+2时，

∴p+2=3k+2+2=3（k+1）+1，符合题意；

∴p除以3所得的余数为2.

【解析】【分析】根据题意分情况讨论：①p=3k时，②p=3k+1时，③p=3k+2时，再根据p+2为质数解答即可.7.【答案】解：∵n12−n22−2n1−2n2=19,

∴（n1+n2）（n1-n2）-2（n1+n2）=19，

即（n1+n2）（n1-n2-2）=19，

又∵19是质数，n1+n2＞n1-n2，

∴，

解得：.【解析】【分析】先将原多项式分解因式，再由19是质数，根据质数性质列出方程，解之即可.8.【答案】解：根据质因数的定义可得最小的四个质数分别为：2，3，5，7；依题可得：

2×3×5×7=210.

∴有四个不同质因数的最小正整数为210.

【解析】【分析】质数：因数只有1和它本身的数，根据质数定义可得最小的四个质数，计算即可.9.【答案】解：∵2000=24×53，

∴2000的所有不同质因数的和为：2+5=7.

【解析】【分析】先将2000写成几个质因数积的形式，再找出不同的质因数，相加即可.10.【答案】解：111111+9×10k=3×37037+3×3×10k=3×（37037+3×10k），

∴这个数除了1和它本身之外，还有因数3，

∴形如111111+9×10k(k是非负整数)的正整数必为合数．

【解析】【分析】先将原式分解成3×（37037+3×10k），由此可看出除了因数1和它本身之外，还有3这个因数，根据合数定义即可得证.11.【答案】解：依题可得：

①n=6k时，

∴n+3=6k+3=3（2k+1），与n+3为质数矛盾；

②n=6k+1时，

∴n+3=6k+1+3=2（3k+2），与n+3为质数矛盾；

③n=6k+2时，

∴n+7=6k+2+7=3（2k+3），与n+7为质数矛盾；

④n=6k+3时，

∴n+3=6k+3+3=6（k+1），与n+3为质数矛盾；

⑤n=6k+4时，

∴n+3=6k+4+3=6（k+1）+1，为质数；

∴n+7=6k+4+7=6（k+2）-1，为质数；

⑥n=6k+5时，

∴n+7=6k+5+7=3（2k+4），与n+7为质数矛盾；

∴n除以6所得的余数为4.

【解析】【分析】根据题意分情况讨论：①n=6k时，②n=6k+1时，③n=6k+2时，④n=6k+3时，⑤n=6k+4时，⑥n=6k+5时，将n的值分别代入n+3或n+7，验证是否为质数，逐一分析即可.12.【答案】证明：∵n5-n=n（n4-1）=n(n+1)(n-1)(n2+1)，

开始讨论：要使n5-n被10整除，只要该式能够同时被2、5整除即可；

∵该式中因式n(n+1)是连续的两个自然数，一定有一个是偶数，

∴该式可以被2整除；

下面讨论能否被5整除.

不妨设：①n=5k，显然原式能被5整除；

②n=5k+1时，则n-1=5k，显然原式能被5整除；

③n=5k+2时，则n2+1=(5k+2)2+1=25k2+20k+5=5（5k2+4k+1），

∴能被5整除，显然原式能被5整除；

④n=5k+3时，则n2+1=(5k+3)2+1=25k2+30k+10=5（5k2+6k+2），

∴能被5整除，显然原式能被5整除；

⑤n=5k+4时，则n+1能被5整除；

综上所述：无论n为何值，原式能被5整除.

∴10|n5-n

【解析】【分析】先将代数式分解因式，即n5-n=n(n+1)(n-1)(n2+1)，原题等价于要使n5-n被10整除，只要该式能够同时被2、5整除即可；因为因式中n(n+1)是连续的两个自然数，一定有一个是偶数，从而可得该式可以被2整除；再来讨论能否被5整除，根据被5整除的余数分成5种情况：①n=5k，②n=5k+1，③n=5k+2，④n=5k+3，⑤n=5k+4，分析计算即可得证.13.【答案】证明：当n=43k+1(k≥1)时，

∴n2+n+41=(43k+1)2+(43k+1)+41，

=43(43k2+3k+1).∴是43的倍数．

∵43k2+3k+1>1，

∴这时n2+n+41是合数．

【解析】【分析】令n=43k+1(k≥1)，代入多项式，计算、化简得n=43(43k2+3k+1)，从而可得式43的倍数，由43k2+3k+1>1，可得n是表示合数.14.【答案】证明：假设质数有有限多个，最大的一个质数是p；

构造出正整数N＝2×3×5×……×p＋1

显然N除以2、3、5、……、p都不能整除，有余数1；

∴N要么是质数，要么包括一个大于p的质数，这与“最大的一个质数是p”矛盾；

∴不存在最大的质数，假设不成立，

∴自然数中有无穷多个质数．

【解析】【分析】此题用反证法来证明，假设质数有有限多个，最大的一个质数是p；构造出正整数N＝2×3×5×……×p＋1，根据整除的性质分析，可知N要么是质数，要么包括一个大于p的质数，这与“最大的一个质数是p”矛盾；从而可得假设不成立，原命题成立.15.【答案】解：∵9个连续的自然数，

∴末尾数字可能是0—9，

①当末尾是0，2，4，6，8的数一定能被2整除；

②当末尾是5的数一定能被5整除；

∴只有末尾是1，3，7，9的数可能是质数；

∴至少有4个偶数，5个连续的奇数，

∵大于80的质数必为奇数（偶质数只有一个2），

又∵每