2025年湘教版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教版高一数学上册月考试卷609考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、若α；β都是第四象限角；且α＜β，以下正确的结论是（）

A.cosα＞cosβ

B.cosα＜cosβ

C.cosα=cosβ

D.cosα；cosβ的大小不能确定。

2、【题文】已知全集则的值为（）A.B.C.或D.或3、如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，A，B，C，D，则+=（）

A.B.C.D.4、已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意x1∈R，都存在x2∈[﹣2，+∞），使得f（x1）＞g（x2），则实数a的取值范围是（）A.B.（0，+∞）C.D.5、将棱长为2的正方体（图1）切割后得一几何体；其三视图如图2所示，则该几何体的体积为（）

A.B.C.2D.46、正四面体ABCD

中，M

是棱AD

的中点，O

是点A

在底面BCD

内的射影，则异面直线BM

与AO

所成角的余弦值为(

)

A.26

B.23

C.24

D.25

7、在y=sin|x|y=|sinx|y=sin(2x+2娄脨3)y=cos(x2+2娄脨3)y=cosx+|cosx|y=tan12x+1

中，最小正周期为娄脨

的函数的个数是(

)

A.1

个B.2

个C.3

个D.4

个评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）=取函数f（x）=2-|x|．当K=时，函数fK（x）的单调递增区间为____．9、等差数列中，那么．10、集合它们之间的包含关系是．11、【题文】已知幂函数的部分对应值如图表：则不等式的解集是____

。x

1

f（x）

1

12、【题文】棱长为的正四面体内有一点由点向各面引垂线；垂线段长度分别为。

则的值为____。13、函数y=log2（2x-1）的定义域是______．14、2

弧度圆心角所对的弦长为2sin1

则这个圆心角所夹扇形的面积为______．评卷人得分三、计算题(共7题，共14分)15、（2009•镜湖区校级自主招生）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=4，CD=2，对角线AC与BD交于点M．则点M到BC的距离是____．16、一组数据：13，15，18，16，21，13，13，11，10．它们的众数是____，中位数是____．17、文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践；为了便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2：1，文昌到三亚的火车票价格（部分）如下表所示：

。运行区间公布票价学生票上车站下车站一等座二等座二等座文昌三亚81（元）68（元）51（元）（1）参加社会实践的老师；家长与学生各有多少人？

（2）由于各种原因；二等座火车票单程只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．

（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？18、计算：．19、若⊙O和⊙O′相外切，它们的半径分别为8和3，则圆心距OO′为____．20、把一个六个面分别标有数字1；2，3，4，5，6有正方体骰子随意掷一次，各个数字所在面朝上的机会均相等．

（1）若抛掷一次；则朝上的数字大于4的概率是多少？

（2）若连续抛掷两次，第一次所得的数为m，第二次所得的数为n．把m、n作为点A的横、纵坐标，那么点A（m、n）在函数y=3x-1的图象上的概率又是多少？21、等式在实数范围内成立，其中a、x、y是互不相等的实数，则的值是____．评卷人得分四、解答题(共3题，共30分)22、设关于x的不等式log2（|x|+|x-4|）＞a

（1）当a=3时；解这个不等式；

（2）若不等式解集为R；求a的取值范围．

23、【题文】（满分12分）已知函数（x∈R）．

（1）若有最大值2；求实数a的值；

（2）求函数的单调递增区间．24、某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现，第x天（1≤x≤20，x∈N）的销售价格（单位：元）为第x天的销售量为已知该商品成本为每件25元．

（Ⅰ）写出销售额t关于第x天的函数关系式；

（Ⅱ）求该商品第7天的利润；

（Ⅲ）该商品第几天的利润最大？并求出最大利润．评卷人得分五、证明题(共4题，共40分)25、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．26、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．27、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．28、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分六、综合题(共1题，共5分)29、如图，在矩形ABCD中，M是BC上一动点，DE⊥AM，E为垂足，3AB=2BC，并且AB，BC的长是方程x2-（k-2）x+2k=0的两个根；

（1）求k的值；

（2）当点M离开点B多少距离时，△AED的面积是△DEM面积的3倍？请说明理由．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、D【分析】

当α=-β=时；cosα=cosβ，由此排除A和B．

当α=-β=2π-时；cosα＞cosβ，故排除C．

综上；cosα，cosβ的大小不能确定；

故选D．

【解析】【答案】利用特殊值代入法；排除不符合条件的选项，从而得到符合条件的选项．

2、C【分析】【解析】因为全集则的值为或选C。【解析】【答案】C3、C【分析】【解答】解：设方格的边长为1；则：O（0，0），A（（3，﹣3），B（1，﹣3），C（﹣2，3）；

D（﹣2；2），P（﹣2，﹣2），Q（4，﹣1）；

∴．

故选C．

【分析】可设一个小方格的边长为1，从而可以得出图中各点的坐标，进而得出向量+的坐标，容易看出+=．4、A【分析】【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线；且关于直线x=1对称∴f（x）的最小值为f（1）=﹣1，无最大值；

可得f（x1）值域为[﹣1；+∞）；

又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣2；+∞）；

∴g（x）=ax+2（a＞0）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣2）；+∞）；

即g（x2）∈[2﹣2a；+∞）；

∵对任意的x1∈R都存在x2∈[﹣2，+∞），使得f（x1）＞g（x2）；

∴只需f（x）值域是g（x）值域的子集即可；

∴2﹣2a＜﹣1，解得：a＞

故选：A．

【分析】确定函数f（x）、g（x）的值域，根据对任意的x1∈R都存在x2∈[﹣2，+∞），使得f（x1）＞g（x2），可f（x）值域是g（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．5、B【分析】解：由已知中的三视图；可得该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥；

其底面面积S=2×2=4；

高h=2；

故体积V==

故选：B．

由已知中的三视图；可得该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．

本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题．【解析】【答案】B6、B【分析】解：取BC

中点EDC

中点F

连结DEBF

则由题意得DE隆脡BF=O

取OD

中点N

连结MN

则MN//AO

隆脿隆脧BMN

是异面直线BM

与AO

所成角(

或所成角的补角)

设正四面体ABCD

的棱长为2

由BM=DE=4鈭�1=3OD=23DE=233

隆脿AO=4鈭�43=223隆脿MN=12AO=23

隆脽O

是点A

在底面BCD

内的射影；MN//AO隆脿MN隆脥

平面BCD

隆脿cos隆脧BMN=MNBM=233=23

隆脿

异面直线BM

与AO

所成角的余弦值为23

．

故选：B

．

取BC

中点EDC

中点F

连结DEBF

则由题意得DE隆脡BF=O

取OD

中点N

连结MN

则MN//AO

从而隆脧BMN

是异面直线BM

与AO

所成角(

或所成角的补角)

由此能求出异面直线BM

与AO

所成角的余弦值．

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查正四面体、线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题．【解析】B

7、B【分析】解：y=sin|x|

不是周期函数；

y=|sinx|

的最小正周期为娄脨

y=sin(2x+2娄脨3)

最小正周期为娄脨

y=cos(x2+2娄脨3)

最小正周期为4娄脨

y=cosx+|cosx|

最小正周期为2娄脨

y=tan12x+1

最小正周期为2娄脨

故最小正周期为娄脨

的函数的个数是2

个；

故选：B

分别求出各个函数的最小正周期；判断即可。

本题考查三角函数的周期性及其求法，着重考查三角函数的周期的确定，属于中档题．【解析】B

二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】

由f（x）≤得：即

解得：x≤-1或x≥1．

∴函数fK（x）=

由此可见，函数fK（x）在（-∞；-1）单调递增；

故答案为：（-∞；-1）．

【解析】【答案】先根据题中所给函数定义求出函数函数fK（x）的解析式；从而得到一个分段函数，然后再利用指数函数的性质求出所求即可．

9、略

【分析】试题分析：因为所以考点：等差数列性质【解析】【答案】10、略

【分析】试题分析：要掌握简单几何体的定义，直四棱柱是底面为四边形的直棱柱，正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，长方体是底面是矩形的直棱柱，正方体是侧棱与底面边长相等的正四棱柱．由此可知这四个集合包含关系是．考点：简单几何体．【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：将（）代入得，所以，其定义域为为增函数，所以可化为解得故答案为

考点：本题主要考查幂函数的解析式；抽象不等式解法。

点评：简单题，抽象不等式解法，一般地是认清函数的奇偶性、单调性，转化成具体不等式求解。【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】作等积变换：而【解析】【答案】13、略

【分析】解：∵函数

∴2x-1＞0；

∴x＞0；

∴函数的定义域是（0；+∞）；

故答案为：（0；+∞）．

根据指数函数的性质进行求解，可得2x-1＞0；从而求解；

此题主要考查指数函数的单调性和性质，此题是一道基础题．【解析】（0，+∞）14、略

【分析】解：由已知，在弦心三角形中，sin1=2sin1隆脕12r

隆脿r=1

设2

弧度的圆心角娄脠

所对的弧长为l

隆脿S=12lr=12r2娄脠=12隆脕12隆脕2=1

故选：B

．

在弦心三角形中，由sin1=2sin1隆脕12r

求得r

设2

弧度的圆心角所对的弧长为l

利用扇形的面积公式S=12lr

即可求得答案．

本题考查扇形面积公式，求得该扇形的半径是关键，考查运算求解能力，属于基础题．【解析】1

三、计算题(共7题，共14分)15、略

【分析】【分析】过M点作MN⊥BC，利用平行线的性质得到AB、CD、MN之间的关系后代入后即可求得M到BC的距离．【解析】【解答】解：如图；过M点作MN⊥BC于N；

由平行线的性质可得；

∴可求得MN=

故答案为．16、略

【分析】【分析】本题考查了众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解析】【解答】解：13出现的次数最多；故众数是13；

按照从小到大的顺序排列为10；11，13，13，13，15，16，18，21；

∴中位数是13；

故答案为13、13．17、略

【分析】【分析】（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，根据题意得到方程组；求出方程组的解即可；

（2）有两种情况：①当180≤x＜210时；学生都买学生票共180张，（x-180）名成年人买二等座火车票，（210-x）名成年人买一等座火车票，得到解析式：y=51×180+68（x-180）+81（210-x），②当0＜x＜180时，一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（210-x）张，得到解析式是y=-30x+17010；

（3）由（2）小题知，当180≤x＜210时，y=-13x+13950和当0＜x＜180时，y=-30x+17010，分别讨论即可．【解析】【解答】解：（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得：；

解得；

则2m=20；

答：参加社会实践的老师；家长与学生分别有10人、20人、180人．

（2）解：由（1）知所有参与人员总共有210人；其中学生有180人；

①当180≤x＜210时；最经济的购票方案为：

学生都买学生票共180张；（x-180）名成年人买二等座火车票，（210-x）名成年人买一等座火车票．

∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=51×180+68（x-180）+81（210-x）；

即y=-13x+13950（180≤x＜210）；

②当0＜x＜180时；最经济的购票方案为：

一部分学生买学生票共x张；其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（210-x）张；

∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=51x+81（210-x）；

即y=-30x+17010（0＜x＜180）；

答：购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式是y=-13x+13950（180≤x＜210）或y=-30x+17010（0＜x＜180）．

（3）由（2）小题知；当180≤x＜210时，y=-13x+13950；

∵-13＜0；y随x的增大而减小；

∴当x=209时；y的值最小，最小值为11233元；

当x=180时；y的值最大，最大值为11610元．

当0＜x＜180时；y=-30x+17010；

∵-30＜0；y随x的增大而减小；

∴当x=179时；y的值最小，最小值为11640元；

当x=1时；y的值最大，最大值为16980元．

所以可以判断按（2）小题中的购票方案；购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元；

答：按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元．18、略

【分析】【分析】利用负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可得到结果．【解析】【解答】解：原式=-2+2×-3++1=-3．19、略

【分析】【分析】由两圆的半径分别为8和3，这两个圆外切，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得它们的圆心距．【解析】【解答】解：∵两圆的半径分别为3和8；这两个圆外切；

∴3+8=11；

∴它们的圆心距等于11．

故答案为：11．20、略

【分析】【分析】（1）让大于4的数的个数除以数的总数即为所求的概率；

（2）列举出所有情况，看点A（m、n）在函数y=3x-1的图象上的情况数占总情况数的多少即可．【解析】【解答】解：（1）依题意可知：随意掷一次正方体骰子，面朝上的数可能出现的结果有1、2、3、4、5、6共6种，而且它们出现的可能性相等．满足数字大于4（记为事件A）的有2种．所以P（A）=

（2）依题意列表分析如下：

。第二次n第

一

次

m

1234561（11）（12）（13）（14）（15）（16）（16）2（21）（22）（23）（24）（25）（26）（26）3（31）（32）（33）（34）（35）（36）（36）4（41）（42）（43）（44）（45）（46）（46）5（51）（52）（53）（54）（55）（56）（56）6（61）（62）（63）（64）（65）（66）（66）由表可以看出；可能出现的结果有36种，而且它们出现的可能性相等．所得点A（记为事件A）的有（12）和（25）两种情况，所以在函数y=3x-1的图象上的概率为

P（A）==．21、略

【分析】【分析】根据二次根式有意义的条件得到a（x-a）≥0，x-a≥0，则a≥0，而a（y-a）≥0，a-y≥0，则a≤0，得到a=0，把a=0代入已知条件中易得x=-y，然后把x=-y代入分式计算即可．【解析】【解答】解：∵a（x-a）≥0；x-a≥0；

∴a≥0；

又∵a（y-a）≥0；a-y≥0；

∴a≤0；

∴a=0；

把a=0代入已知条件则-=0；

∴x=-y；

∴原式==．四、解答题(共3题，共30分)22、略

【分析】

（1）a=3，log2（|x|+|x-4|）＞3⇒

log2（|x|+|x-4|）＞log28

∴|x|+|x-4|＞8（1分）

当x≥4x+x-4＞8得：x＞6（3分）

当0＜x＜4x+4-x＞8不成立（5分）

当x≤0-x+4-x＞8得：x＜-2（7分）

∴不等式解集为x|x＜-2或x＞6（8分）

（2）|x|+|x-4|≥|x+4-x|=4（10分）

∴log2（|x|+|x-4|）≥log24=2（11分）

∴若原不等式解集为R；则a＜2（12分）

【解析】【答案】（1）把a=3代入不等式可得，log2（|x|+|x-4|）＞3；结合对数函数的单调性可得|x|+|x-4|＞8，解绝对值不等式即可．

（2）结合绝对值不等式|x|+|y|≥|x+y|可得|x|+|x-4|=|x|+|4-x|≥|x+4-x|=4；从而可得a的取值范围。

23、略

【分析】【解析】解：⑴

．4分。

当（k∈Z）时，有最大值；

即（k∈Z）时，有最大值为3＋a；

∴3＋a＝2，解得．7分。

⑵令

解得（k∈Z）

∴函数的单调递增区间（k∈Z）12分【解析】【答案】

（1）-1

（2）函数的单调递增区间（k∈Z）24、略

【分析】

（Ⅰ）根据题意写出销售额t关于第x天的函数关系式；

（Ⅱ）根据分段函数；求该商品第7天的利润；

（Ⅲ）利用函数的性质；求出函数的最大值．

本题主要考查函数的应用，根据题意列出分段函数，然后利用分段函数研究函数的性质．【解析】解：（Ⅰ）由题意知（5分）

（Ⅱ）当x=7时；t=（56-7）×（48-7）-25×（48-7）=984元（8分）

（Ⅲ）设该商品的利润为H（x）；

则

（11分）

当1≤x≤6时，Hmax（x）=H（6）=1050

当6＜x≤8时，Hmax（x）=H（7）=984

当8＜x≤20时，Hmax（x）=H（9）=902

∴第6天利润最大，最大利润为1050元．（14分）五、证明题(共4题，共40分)25、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．26、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．27、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与A