2025年外研版高三数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高三数学上册阶段测试试卷224考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、设a＜b＜0，以下结论：①ac2＜bc2；②＜；③a2＜ab；④＞，正确的是（）A.①B.②C.③D.④2、班级与成绩的2×2列联表；表中数据m，n，p，q的值应分别为（）

。优秀不优秀总计甲班103545乙班738p总计mnqA.17，73，45，90B.17，90，73，45C.73，17，45，90D.73，45，90，173、如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆，则该几何体的体积是（）A.B.C.D.4、【题文】设函数则（）A.为的极大值点B.为的极小值点C.为的极大值点D.为的极小值点5、某几何体的三视图如图所示；则该几何体的体积为（）

A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)6、已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且双曲线与抛物线x2=-4y的准线交于A，B，S△OAB=，则双曲线的实轴长____．7、甲船在某港口的东50km，北30km处，乙船在同一港口的东14km，南18km处，那么甲、乙两船的距离是____．8、求经过M（-2，1）且与A（-1，2）、B（3，0）两点距离相等的直线方程____．9、已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0＜x＜5，x∈N}，则满足A⊆C⊊B的集合C的个数是____．10、已知函数f（x）=asin（x）+btan（x）（a，b为常数），若f（1）=1，则不等式f（31）＞log2x的解集为____．11、已知f（1-2x）=（x≠0），那么f（）=____．12、已知双曲线方程为则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为____．13、集合的子集个数为．14、【题文】定义运算复数z满足则复数的模为_____。评卷人得分三、判断题(共8题，共16分)15、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．16、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）17、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．18、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）19、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）20、空集没有子集．____．21、任一集合必有两个或两个以上子集．____．22、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、证明题(共4题，共28分)23、如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点。

（1）求证：BD1∥平面AEC

（2）求证：平面D1DB⊥平面AEC

（3）若P为对角线D1B的中点，Q为棱C1C上的动点求|PQ|的最小值．24、已知a，b，c是正常数，且a，b，c互不相等，x，y，z∈（0，+∞），求证：++≥，并指出等号成立的条件．25、已知x1，x2是函数f（x）=x2+mx+t的两个零点，其中常数m，t∈Z，设Tn=x1n-rx2r（n∈N*）．

（1）用m，t表示T1，T2；

（2）求证：T5=-mT4-tT3；

（3）求证：对任意的n∈N*，Tn∈Z．26、如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，F是DC的中点，=2．

（Ⅰ）试判断直线EF与平面PBC的位置关系；并予以证明；

（Ⅱ）若四棱锥P-ABCD体积为，CD=2，PC=BC=2，求证：平面BDE⊥面PBC．评卷人得分五、计算题(共2题，共18分)27、已知函数f（x+2009）=4x2+4x+3（x∈R），那么函数f（x）的最小值为____．28、三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象如图所示；直线BD∥AC，且直线BD与函数图象切于点B，交于点D，直线AC与函数图象切于点C，交于点A．

（1）若函数f（x）为奇函数且过点（1，-3），当x＜0时求的最大值；

（2）若函数在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b；并求f（x）的单调递减区间；

（3）设点A、B、C、D的横坐标分别为xA，xB，xC，xD求证（xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）=1：2：1．评卷人得分六、综合题(共2题，共20分)29、某公司今年年初支出100万元购买一种新的设备；而且公司每年需要支出设备的维修费和工人工资等各种费用，第一年4万元，第二年6万元，以后每年均比上一年增加2万元．除去各种费用后，预计公司每年纯收益为28万元．问：

（1）引进这种设备后；从第几年起该公司开始获利？（即：总收益大于各种支出）

（2）这种设备使用多少年，该公司的年平均收益最大？30、设函数f（x）=x2-mlnx，h（x）=x2-x+a．

（1）当a=0时；f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；

（2）当m=2时；若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；

（3）当m=2时，如果函数g（x）=-f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）且0＜x1＜x2．求证：g′（px1+qx2）＜0（其中正常数p，q满足p+q=1，且q≥p）．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、D【分析】【分析】对于①，取c=0代入，得出结论；对于②令a=-2，b=-1代入，得出结论；对于③令a=-2，b=-1代入，得出结论不成立；对于④由a＜b＜0，得出＞，得出结论成立．【解析】【解答】解：对于①；当c=0时，不成立；

对于②令a=-2，b=-1；代入不成立；

对于③令a=-2，b=-1；代入不成立；

对于④∵a＜b＜0，∴a2＞b2，∴＞，∴＞；成立；

故选：D．2、A【分析】【分析】根据班级与成绩的2×2列联表，可得结论．【解析】【解答】解：根据班级与成绩的2×2列联表；可得m=10+7=17，n=35+38=73，p=7+38=45，q=45+45=90；

故选：A．3、D【分析】【分析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是边长为2的等边三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为2，故圆锥的底面半径为1，高为，代入圆锥体积公式即可得到答案．【解析】【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，

又∵正视图是边长为2的等边三角形；

∴r=1，h=∴v==π

故选D．4、D【分析】【解析】

试题分析：因为所以

又所以为的极小值点。

考点：利用导数研究函数的极值；导数的运算法则。

点评：极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点。【解析】【答案】D5、B【分析】【分析】由三视图可知：该几何体由上下两部分组成，上面是一个球的，下面是一个半圆柱．【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体由上下两部分组成，上面是一个球的；下面是一个半圆柱．

∴该几何体的体积V=+

=．

故选：B．二、填空题(共9题，共18分)6、略

【分析】【分析】先根据抛物线方程求得准线方程，利用三角形的面积，求得A，B坐标，结合离心率，即可求出2a．【解析】【解答】解：设A（x；y）．

依题意知抛物线x2=-4y的准线y=．S△OAB=，，解得x=1，A（1，）．

代入双曲线=1得。

；①

双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为；

可得：；②；

解①②可得：a=．

2a=2．

双曲线的实轴长2．

故答案为：．7、略

【分析】【分析】设某港口为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，甲、乙两船的坐标分别为（50，30），（14，-18），利用两点之间的距离公式解答．【解析】【解答】解：设某港口为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，甲、乙两船的坐标分别为（50，30），（14，-18），如图

∴甲、乙两船间的距离为=≈60km；

故答案为：60km．8、略

【分析】【分析】由已知可知直线的斜率存在，设直线的方程为y-1=k（x+2），利用点到直线的距离公式即可得出．【解析】【解答】解：由已知可知直线的斜率存在；

设直线的方程为y-1=k（x+2）；化为kx-y+2k+1=0．

∵A（-1；2）；B（3，0）两点到直线的距离相等；

∴=；

化为2k2+k=0，解得k=0或．

∴直线的方程为：y=1或x+2y=0．

故答案为：y=1或x+2y=0．9、略

【分析】【分析】先求出集合A={1，2}，B={1，2，3，4}，根据条件A⊆C⊊B即可写出所有的集合C．【解析】【解答】解：A={1；2}，B={1，2，3，4}；

A⊆C⊊B；

∴1；2都是C的元素；

∴满足条件的C为：

C={1；2}，{1，2，3}，{1，2，4}，共3个．

故答案为：3．10、略

【分析】【分析】由f（1）=1，可得asin+btan=1．可得f（31）=1．即不等式f（31）＞log2x化为1＞log2x，利用对数的运算性质即可得出．【解析】【解答】解：∵f（1）=1；

∴asin+btan=1．

f（31）=asin（×31）+btan（×31）=asin+btan=1．

∴不等式f（31）＞log2x化为1＞log2x；

解得0＜x＜2．

∴不等式f（31）＞log2x的解集为（0；2）．

故答案为：（0，2）．11、略

【分析】【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可．【解析】【解答】解：f（）=f（1-2×）==8．

故答案为：8．12、略

【分析】

根据双曲线方程可知a=4，b=3

∴c==5；

∴左顶点坐标为（-4；0），右焦点坐标为（5，0）；

∵抛物线顶点为双曲线的左顶点；焦点为右焦点；

∴p=18；焦点在顶点的右侧，在x轴上。

∴抛物线方程y2=36（x+4）．

故答案为：y2=36（x+4）．

【解析】【答案】先根据双曲线方程求得双曲线的左顶点和右焦点；进而根据抛物线的性质可求得抛物线的p，可得方程．

13、略

【分析】试题分析：根据题意此集合的子集有：四个.考点：集合的子集【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

试题分析：所以复数的模为

考点：本小题主要考查复数的运算以及复数的模的求解.

点评：复数的运算每年高考都考，难度一般较低.【解析】【答案】三、判断题(共8题，共16分)15、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．16、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×17、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．18、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×19、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√20、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．21、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．22、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、证明题(共4题，共28分)23、略

【分析】【分析】（1）连接BD交AC于F，连EF．可证EF∥D1B，又EFÌ平面EAC，从而可求得BD1∥平面EAC．

（2）先证明AC⊥BD，有DD1⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，可证明DD1⊥AC，从而可证AC⊥平面D1DB，即证明平面D1DB⊥平面AEC；

（3）以点D为坐标原点，以DA方向为x轴，DC方向为y轴，DD1方向为z轴，建立空间直角坐标系，先求出D1（0，0，2），B（2，2，0），C（0，2，0），再求出D1B的中点P（1，1，1），Q（0，2，z），从而可得PQ=，可得当z=1时（此时Q为棱C1C的中点），PQmin=．【解析】【解答】（1）证明：连接BD交AC于F；连EF；

因为F为正方形ABCD对角线的交点；

所长F为AC；BD的中点；

在DD1B中，E、F分别为DD1；DB的中点；

所以EF∥D1B；

又EFÌ平面EAC，所以BD1∥平面EAC．

（2）证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中；

∵四边形ABCD是正方形；∴AC⊥BD5分。

又在正方体ABCD-A1B1C1D1中；

∵DD1⊥平面ABCD；6分。

又AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC；7分。

DD1⊂平面D1DB，BD⊂平面D1DB，BD∩DD1=D；8分。

∴AC⊥平面D1DB9分。

∵AC⊂平面AEC；

∴平面D1DB⊥平面AEC10分。

（3）解：以点D为坐标原点；以DA方向为x轴，DC方向为y轴，DD1方向为z轴，建立空间直角坐标系，11分。

由正方体的棱长为2，知D1（0；0，2），B（2，2，0），C（0，2，0）；

则D1B的中点P（1；1，1），Q（0，2，z）12分。

PQ=；13分。

∴当z=1时（此时Q为棱C1C的中点），PQmin=14分24、略

【分析】【分析】令=（x，y，z），=（），由||2•||2≥||2，即可得证，再由向量共线的知识，即可得到取等号的条件．【解析】【解答】证明：令=（x，y，z），=（）；

则=x+y+z=a+b+c；

||2=x2+y2+z2，||2=++；

由||2•||2≥||2；

则有（x2+y2+z2）（++）≥（a+b+c）2；

即有++≥．

当且仅当a：b：c=x2：y2：z2，不等式取等号．25、略

【分析】【分析】（1）依题意，知x1+x2=-m，x1x2=t，利用Tn=x1n-rx2r（n∈N*），易知T1=x1+x2=-m，T2==+x1x2+=-x1x2=m2-t；

（2）由，可得T5=x1T4+=-mT4-tT3；

（3）利用数学归纳法证明即可．【解析】【解答】解：（1）x1+x2=-m，x1x2=t．

因为Tn=x1n-rx2r（n∈N*），所以T1=x1+x2=-m；

T2==+x1x2+=-x1x2=m2-t3分。

（2）由，得T5==x1+=x1T4+．

即T5=x1T4+．

所以x2T4=x1x2T3+．

所以T5=x1T4+（x2T4-x1x2T3）=（x1+x2）T4-x1x2T3=-mT4-tT38分。

（3）①当n=1，2时，由（1）知Tk是整数；结论成立．

②假设当n=k-1，n=k（k≥2）时结论成立，即Tk-1，Tk都是整数．

由Tk=，得Tk+1==x1+；

即Tk+1=x1Tk+；

所以Tk=x1Tk-1+，x2Tk=x1x2Tk-1+；

所以Tk+1=x1Tk+（x2Tk-x1x2Tk-1）=（x1+x2）Tk-x1x2Tk-1．

即Tk+1=-mTk-tTk-1．

由Tk-1，Tk都是整数，且m，t∈Z知，Tk+1也是整数；即n=k+1时，结论也成立．

由①②可知，对于一切n∈N*，Tn∈Z13分26、略

【分析】【分析】（Ⅰ）直线EF与平面PBC相交；过E作EG∥AB交PB于G，根据题中条件可得：FC≠EG，又因为FC∥AB，所以EG∥FC，进而得到两条直线相交．，即可得到直线与平面相交．

（Ⅱ）过B作BH⊥CD于H，由四棱锥P-ABCD体积为，结合题中的条件可得，所以，所以BH=CH=HD，所以DB⊥BC．再利用面面垂直的判定定理可得面面垂直．【解析】【解答】证明：（Ⅰ）直线EF与平面PBC相交．（2分）

证明如下：过E作EG∥AB交PB于G；

∵，∴；

∴，∵；

∴FC≠EG（4分）

由底面ABCD是平行四边形得FC∥AB；

∴EG∥FC（5分）

∴EF与CG相交；

故直线EF与平面PBC相交．（6分）

（Ⅱ）解：过B作BH⊥CD于H；

∵四棱锥P-ABCD体积为；PC⊥平面ABCD；

∴；PC⊥BD．

∴；（9分）

∵BC=2∴；

∵；

∴BH=CH=HD；

∴DB⊥BC．

∴DB⊥面PBC；（11分）

∵BD⊂面BDE；

∴平面BDE⊥面PBC．（12分）五、计算题(共2题，共18分)27、2【分析】【分析】先用换元法求出f（x）的解析式，然后利用函数图象的平移规律可得出最小值．【解析】【解答】解：令t=x+2009；则x=t-2009

f（t）=4（t-2009）2+4（t-2009）+3

换变量得：

f（x）=4（x-2009）2+4（x-2009）+3

∵上面的函数图象可由g（x）=4x2+4x+3的图象向右平移2008.5个单位而得到。

∴最值相同。

∵g（x）=4x2+4x+3=

当x=-时；g（x）有最小值2

f（x）最小值也为2

故答案为：228、略

【分析】【分析】（1）直接由函数f（x）为奇函数且过点（1，-3），得到a=c=0，b=-4，代入并整理；再结合基本不等式即可求出其最大值；

（2）先求出其导函数，根据函数在x=1处取得极值-2，得到；在代入其导函数；通过比较导数等于0的两个根的大小求出函数的单调递减区间；

（3）先设直线BD的方程为y=f′（xB）（x-xB）+f（xB），结合D点在直线上又在曲线上，得到xD+2xB+a=0；同理得到xA+2xC+a=0；进而求出（xA-xB）+（xC-xD）=（xB-xC），最后结合直线BD∥AC得到，结合上面所找的结论即可证得（xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）=1：2：1．【解析】【解答】解：（1）由已知得a=c=0，b=-4；

当x＜0时当且仅当x=-2时取得最大值-4（3分）

（2）f′（x）=3x2+2ax+b，依题意有（5分）

从而f′（x）=3x2+2cx-（2c+3）=0=（3x+（2c+3））（x-1）；

令f′（x）=0有x=1或

由于f（x）在x=1处取得极值，因此；得到c≠-3

①若；即c＜-3；

则当时，f′（x）＜0，因此f（x）的单调递减区间为；（7分）

②若；即c＞-3；

则当时，f′（x）＜0，因此f（x）的单调递减区间为．（8分）

（3）证明：设直线BD的方程为y=f′（xB）（x-xB）+f（xB）因为D点在直线上又在曲线上；

所以f（xD）=f′（xB）（xD-xB）+f（xB）

即（xD3+axD2+bxD+c）-（xB3+axB2+bxB+c）=（3xB2+2axB+b）（xD-xB）

得到：xD2+xDxB-2xB2+axD-axB=0从而xD+2xB+a=0；①

同理有xA+2xC+a=0②；

由于AC平行于BD，因此f′（xB）=f′（xC），得到

进一步结合①②化简可以得到，从而xA-xB=xC-xD

又由①②得：（xA-xB）+（xC-xD）=（xB-xC）；

因此（xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）=1：2：1（14分）六、综合题(共2题，共20分)29、略

【分析】【分析】（1）由题意知，每年的费用是以4为首项，2为公差的等差数列，设纯收益与使用年数n的关系为f（n），f（n）=28n-[4n+]-100；由此能够求出引进这种设备后，第5年末的收益与支出恰好相等，故从第6年起该公司开始获利．

（2）年平均收益为≤25-2×10=5．由此能够求出这种设备使用10年，该公司的年平均收益最大．【解析】【解答】解：（1）由题意知；每年的费用是以4为首项，2为公差的等差数列；

设纯收益与使用年数n的关系为f（n）；

则f（n）=28n-[4n+]-100

=25n-n2-100．（4分）

由f（n）＞0，得n2-25n+100＜0；

解得：5＜n＜20；

又∵n∈N；所以6，7，8，，19．

且当n=5时；f（n）=0；

即第5年末的收益与支出恰好相等；故从第6年起该公司开始获利．（6分）

（2）年平均收益为：

≤25-2=5．（10分）

当且仅当n=