2025年岳麓版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年岳麓版高二数学下册阶段测试试卷498考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、设等差数列an的前n项之和为Sn，已知S10=100，则a4+a7=（）

A.12

B.20

C.40

D.100

2、已知向量=（2，-3，5）与向量=（3，k，）平行；则实数k为（）

A.

B.-

C.

D.-

3、【题文】某射手一次射击中，击中环、环、环的概率分别是则这位射手在一次射击中不够环的概率是()A.B.C.D.4、【题文】一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A.63B.108C.75D.835、【题文】已知平面上直线l的方向向量=点O（0，0）和A（1，－2）在l上。

的射影分别是O1和A1，若则λ=（）A.B.－C.2D.－26、已知抛物线上一点P到y轴的距离为5，则点P到焦点的距离为()A.5B.6C.7D.87、已知点P的坐标为则过点P且垂直极轴的直线方程是()A.B.C.D.8、设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），则|z|=（）A.4B.2C.D.19、阅读如图所示的程序框，若输入的n

是100

则输出的变量S

的值是(

)

A.5051

B.5050

C.5049

D.5048

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)10、采用系统抽样从含有8000个个体的总体（编号为0000，0001，，7999）中抽取一个容量为50的样本，已知最后一个入样编号是7900，则最前面2个入样编号是____．11、在△ABC中，AB=BC=1，cosC=

（1）则sinA=____；

（2）•=____．12、的二项展开式中，所有项的系数和与项的系数之差为____.13、【题文】已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若++=m则实数m=____.14、在复平面内，复数z=﹣1+2i对应的点所在的象限是____．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共12分)22、【题文】某同学在一次研究性学习中发现；以下五个式子的值都等于同一个常数.

（1）试从上述五个式子中选择一个；求出这个常数；

（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.23、【题文】已知其中

（1）求证：与互相垂直；

（2）若与（）的长度相等，求24、已知函数f(x)=alnx+x2(a

为实常数)

．

(1)

当a=鈭�4

时；求函数f(x)

在[1,e]

上的最大值及相应的x

值；

(2)

当x隆脢[1,e]

时；讨论方程f(x)=0

根的个数．

(3)

若a>0

且对任意的x1x2隆脢[1,e]

都有|f(x1)鈭�f(x2)|鈮�|1x1鈭�1x2|

求实数a

的取值范围．25、在直角坐标系xOy

中，曲线C1

的参数方程为{y=2sin伪x=2cos伪(娄脕

为参数)

以原点O

为极点，以x

轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2

的极坐标方程为娄脩sin(娄脠+娄脨4)=32

(1)

求曲线C1

的普通方程与曲线C2

的直角坐标方程；

(2)

设P1P2

分别为曲线C1C2

上的两个动点，求线段P1P2

的最小值．评卷人得分五、计算题(共3题，共30分)26、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．27、1.本小题满分12分）对于任意的实数不等式恒成立,记实数的最大值是（1）求的值；（2）解不等式28、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】

由等差数列的前n项和的公式得：s10=10a1+d=100，即2a1+9d=20；

而a4+a7=a1+3d+a1+6d=2a1+9d=20

故选B

【解析】【答案】要求a4+a7就要得到此等差数列的首项和公差，而已知S10=100；由等差数列的前n项和的通项公式可得到首项与公差的关系．代入求出即可．

2、B【分析】

设则（3，k，）=λ（2；-3，5）

∴λ=k=-

故选：B．

【解析】【答案】根据两个向量平行，写出向量平行的向量形式的充要条件（）；建立等式关系，解之即可求出所求．

3、A【分析】【解析】

试题分析：由已知某射手一次射击中，击中环、环、环的事件是互斥的，而事件：“这位射手在一次射击中不够环”的对立事件为：“这位射手在一次射击中环或10环”；故所求概率P=1-(0.28+0.24)=0.48.故选A.

考点：互斥事件的概率和公式与对立事件.【解析】【答案】A4、A【分析】【解析】

试题分析：因为，等比数列中，依次k项和成等比数列。即成等比数列，所以，解得，=63；故选A。

考点：本题主要考查等比数列的性质。

点评：简单题，等比数列中，依次k项和成等比数列。【解析】【答案】A5、D【分析】【解析】不妨设方程为点到直线距离为又则又由位置关系知

故选D【解析】【答案】D6、C【分析】【解答】因为抛物线的焦点坐标为（2,0），因为P（5，y）到焦点距离等于到准线的距离，又因为抛物线的准线方程为所以P点到准线的距离为5+2="7."即点P到焦点的距离为7.故选C.7、C【分析】【解答】由点P的坐标可知，过点P且垂直极轴的直线方程在直角坐标中为即故答案选C

【分析】本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据极坐标的意义互化即可8、B【分析】【解答】解：复数z满足z（2﹣3i）=6+4i；

可得|z||2﹣3i|=|6+4i|；

即|z|•==2

可得|z|=2．

故选：B．

【分析】直接利用复数的模的性质求解即可．9、C【分析】解：根据流程图所示的顺序；

该程序的作用是累加并输出S=100+99+98++2

隆脽100+99+98++2=5049

故选C．

根据流程图所示的顺序；逐框分析程序中各变量；各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=100+99+98++2

的值。

根据流程图(

或伪代码)

写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：垄脵

分析流程图(

或伪代码)

从流程图(

或伪代码)

中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(

如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)?垄脷

建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型垄脹

解模．【解析】C

二、填空题(共5题，共10分)10、略

【分析】

利用系统抽样从8000个个体中抽取50个个体；

因此分段后每一段的人数是160人；

∴最后一段的第一个编号是7999-160+1=7840；

∴最后一段的编号是7840～7999；

∵最后一个入样的编号为7900；7900-7840+1=61；

故入样的应是每组第61个数。

则最前面2个入样编号是0060；0220

故答案为：0060；0220．

【解析】【答案】根据总人数和分的段数得到分段后每一段的人数是160人；得到最后一段的第一个编号是7999-160+1，写出最后一组的号，根据最后一个入样的编号为7900，则前2个入样的第一个编号为7900-7840，依次写出结果．

11、略

【分析】

（1）在△ABC中，由得

又由正弦定理：得：．

（2）由余弦定理：AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cosC得：

即解得b=2或（舍去）；所以AC=2．

所以，=BC•CA•cos（π-C）=

即．

故答案为：（1）（2）-．

【解析】【答案】（1）利用同角三角函数基本关系；根据cosC，求得sinC，进而利用正弦定理求得sinA．

（2）先根据余弦定理求得b，进而根据=BC•CA•cos（π-C）求得答案．

12、略

【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于的二项展开式中令x=1，得到所有项的系数和为0，而含有项的系数为即为所求，故答案为-190.考点：二项展开式的通项公式【解析】【答案】-19013、略

【分析】【解析】解：由于G是三角形ABC的重心，则有用向量表示并结合++=m可知++=3故可得λ=3

故答案为：3【解析】【答案】314、第二象限【分析】【解答】解：因为复数z=﹣1+2i的实部﹣1＜0；虚部为2＞0，所以复数z=﹣1+2i对应的点所在的象限是第二象限．故答案为第二象限．

【分析】直接根据复数z的实部和虚部的符号进行判断．三、作图题(共7题，共14分)15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共12分)22、略

【分析】【解析】

试题分析：(1)寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；（2）掌握一些常规技巧：“1”的代换，和积互化等，异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊角与特殊角的三角函数互化；（3）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到的形式；灵活转化.

试题解析：解：（1）3分。

（2）=5分。

左边

8分。

考点：(1)三角函数的求值，（2）证明恒等式.【解析】【答案】(1)

(2)证明见解析23、略

【分析】【解析】

试题分析：解：（1）因为2分。

4分。

所以与互相垂直。6分。

（2）8分。

9分。

所以10分。

11分。

因为

所以

有12分。

因为故13分。

又因为

所以14分。

考点：向量的垂直；三角方程。

点评：主要是考查了向量的垂直以及三角方程的求解，属于基础题。【解析】【答案】（1）要证明与互相垂直；则只要证明其数量积为零即可。

（2）24、略

【分析】

(1)

把a=鈭�4

代入函数解析式；求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义[1,e]

分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1,e]

上的最大值及相应的x

值；

(2)

把原函数f(x)=alnx+x2

求导，分a鈮�0

和a<0

讨论打哦函数的单调性，特别是当a<0

时；求出函数f(x)

在[1,e]

上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F(e)

的值的符号讨论在x隆脢[1,e]

时，方程f(x)=0

根的个数；

(3)a>0

判出函数f(x)=alnx+x2

在[1,e]

上为增函数，在规定x1<x2

后把|f(x1)鈭�f(x2)|鈮�|1x1鈭�1x2|

转化为f(x2)+1x2<f(x1)+1x1

构造辅助函数G(x)=f(x)+1x

由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于0

恒成立，分离a

后利用函数单调性求a

的范围．

本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了构造函数求变量的取值范围，此题是有一定难度题目．【解析】解：(1)

当a=鈭�4

时；f(x)=鈭�4lnx+x2

函数的定义域为(0,+隆脼)

．

f隆盲(x)=鈭�4x+2x=2(x+2)(x鈭�2)x

．

当x隆脢[1,2)

时；f隆盲(x)0

所以函数f(x)

在[1,2)

上为减函数，在(2,e]

上为增函数；

由f(1)=鈭�4ln1+12=1f(e)=鈭�4lne+e2=e2鈭�4

所以函数f(x)

在[1,e]

上的最大值为e2鈭�4

相应的x

值为e

(2)

由f(x)=alnx+x2

得f隆盲(x)=ax+2x=2x2+ax

．

若a鈮�0

则在[1,e]

上f隆盲(x)>0

函数f(x)=alnx+x2

在[1,e]

上为增函数；

由f(1)=1>0

知；方程f(x)=0

的根的个数是0

若a<0

由f隆盲(x)=0

得x=鈭�鈭�a2(

舍)

或x=鈭�a2

．

若鈭�a2鈮�1

即鈭�2鈮�a<0f(x)=alnx+x2

在[1,e]

上为增函数；

由f(1)=1>0

知；方程f(x)=0

的根的个数是0

若鈭�a2鈮�e

即a鈮�鈭�2e2f(x)=alnx+x2

在[1,e]

上为减函数；

由f(1)=1f(e)=alne+e2=e2+a鈮�鈭�e2<0

所以方程f(x)=0

在[1,e]

上有1

个实数根；

若1<鈭�a2<e

即鈭�2e2<a<鈭�2

f(x)

在[1,鈭�a2]

上为减函数，在[鈭�a2,e]

上为增函数；

由f(1)=1>0f(e)=e2+a

．

f(x)min=f(鈭�a2)=a2ln(鈭�a2)鈭�a2=a2[ln(鈭�a2)鈭�1]

．

当鈭�a2<e

即鈭�2e<a<鈭�2

时，f(鈭�a2)>0

方程f(x)=0

在[1,e]

上的根的个数是0

．

当a=鈭�2e

时；方程f(x)=0

在[1,e]

上的根的个数是1

．

当鈭�e2鈮�a<鈭�2e

时，f(鈭�a2)<0f(e)=a+e2鈮�0

方程f(x)=0

在[1,e]

上的根的个数是2

．

当鈭�2e2<a<鈭�e2

时，f(鈭�a2)<0f(e)=a+e2<0

方程f(x)=0

在[1,e]

上的根的个数是1

(3)

若a>0

由(2)

知函数f(x)=alnx+x2

在[1,e]

上为增函数；

不妨设x1<x2

则|f(x1)鈭�f(x2)|鈮�|1x1鈭�1x2|

变为f(x2)+1x2<f(x1)+1x1

由此说明函数G(x)=f(x)+1x

在[1,e]

单调递减，所以G隆盲(x)=ax+2x鈭�1x2鈮�0

对x隆脢[1,e]

恒成立，即a鈮�鈭�2x2+1x

对x隆脢[1,e]

恒成立；

而鈭�2x2+1x

在[1,e]

单调递减，所以a鈮�鈭�2e2+1e

．

所以，满足a>0

且对任意的x1x2隆脢[1,e]

都有|f(x1)鈭�f(x2)|鈮�|1x1鈭�1x2|

成立的实数a

的取值范围不存在．25、略

【分析】

(1)

用xy

表示出cos娄脕sin娄脕

根据cos2娄脕+sin2娄脕=1

得出曲线C1

的普通方程，利用和角公式将娄脩sin(娄脠+娄脨4)=32

展开；利用极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C2

的直角坐标方程；

(2)

求出P1

到直线C2

的距离d

利用三角函数的性质得出d

的最小值即线段P