2025年新高考艺术生数学突破讲义专题03等式与不等式的性质

专题03等式与不等式的性质【知识点梳理】1、比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较或或2、不等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性【方法技巧与总结】1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.【典型例题】例1．（2024·陕西西安·西安中学校考一模）已知，则下列选项中是“”的充分不必要条件的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，当，满足，但不成立，当时，满足，但不成立，故A错误；对于B，当时，，但，故B正确；对于C，时，，但不成立，时，，但不成立，故C错误；对于D，因为指数函数在上单调递增，故，故D错误.故选：B例2．（2024·北京房山·高三统考期末）已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对A：若，则，故错误；对B：若，则，故错误；对C：若，则，，左右同除，有，故错误；对D：由且，为非零实数，则，即，故正确.故选：D.例3．（2024·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）若则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A.因为，则，则，故A错误；B.因为，所以，故B错误；C.在R上单调递增，当时，，故C错误；D.因为，所以和都大于0，则，当时，即时等号成立，所以“=”不能取到，所以，故D正确.故选：D例4．（2024·江苏扬州·高三统考阶段练习）设，，为实数，且，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A选项，当时，，A错误；B选项，，因为，所以，则，故，，B错误；C选项，两边同乘以得，两边同乘以得，故，C正确；D选项，因为，所以，两边同除以得，D错误.故选：C例5．（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）“，是“”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由于，的正负性不确定，由“，”不能推出“”，故充分性不成立；同时当“”时也不能推出“，”，故必要性也不成立.故选：D.例6．（2024·陕西·校联考模拟预测）已知，则以下错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，对于A，，,,综上可得，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，当时，，故D错误；故选：D.例7．（2024·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【解析】令，则方程可化为，甲写错了常数b，所以和是方程的两根，所以，乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以，则可得方程，解得，所以原方程的根是或故选：D例8．（2024·云南昆明·校联考一模）人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度℃应满足的不等关系式是.【答案】【解析】依题意，.故答案为：例9．（2024·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，所以，则，又，所以，，由不等式的性质得：，则的取值范围为.故选：D.【过关测试】一、单选题1．（2024·全国·高三专题练习）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A中，由，可得，所以A错误；对于B中，例如：当，可得，所以B错误；对于C中，例如：当时，，所以C错误；对于D中，由，可得，又由，根据不等式的性质，可得，所以D正确.故选：D.2．（2024·北京西城·高三统考期末）设，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A选项，若，满足，但，所以A选项错误.B选项，若，满足，但，所以B选项错误.C选项，若，满足，但，所以C选项错误.D选项，对于函数，图象如下图所示，由图可知函数在上单调递增，所以D选项正确.故选：D3．（2024·四川成都·高三石室中学校考期末）若，，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，因为，，则，，所以，，即，所以，所以A，B错误；因为，所以，所以C错误；因，所以D正确.故选：D4．（2024·新疆喀什·高三校考期中）已知，，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，，故，即.故选：D5．（2024·福建福州·高三福建省福州延安中学校考开学考试）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为、、（单位：），这个规定用数学关系式可表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知．故选：D．6．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，，若，则，则，所以．故选：B．7．（2024·山东烟台·高三统考期末）已知且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于选项A：因为，所以，由，故，选项A错误；对于选项B：因为，所以，由，故，选项B错误；对于选项C：由指数函数可知，在定义域上单调性不确定，故无法确定的大小，比如当时，则，选项C错误；对于选项D：由幂函数可知，在定义域上单调递增，且，所以，选项D正确.故选：D.8．（2024·河南焦作·高三统考期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，，，所以，.故选：A9．（2024·重庆长寿·高三统考期末）已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知函数，对都有成立，即对恒成立，即，对恒成立，设，由于在上单调递减，在上单调递增，则，则，当且仅当时等号成立，故，即实数的取值范围为，故选：A10．（2024·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，由，得.故选：A.二、多选题11．（2024·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校联考学业考试）设，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A，当时，，故A错误；对于B，因为，所以，即，则，故B正确；对于C，取，则，故C错误；对于D，，则，即，则，故D正确.故选：BD.12．（2024·江苏扬州·高三校考阶段练习）下列不等关系成立的是（

）A．若，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】BC【解析】A选项：，当时，，A选项错误；B选项：，即，又，即，所以，B选项正确；C选项：，即，又，即，所以，所以，C选项正确；D选项：，即，又，即，所以，无法判断与是否异号，D选项错误；故选：BC.13．（2024·安徽淮北·统考一模）已知，，，下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【解析】当为负数时A可能不成立，例如但是错误的.因为根据不等式性质可得正确.因为，所以所以即所以故C错误.因为，所以，所以正确.故选：BD14．（2024·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）已知实数，，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】因为，所以，故A错误；又，所以，故B正确；因为，所以，故C对；因为，又，所以，故D对.故选：BCD15．（2024·湖南长沙·高三统考阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【解析】对于中，由不等式，可得，所以，不等式的两边同乘，可得，所以A正确；对于B中，因为，所以，即，所以，所以B正确；对于中，由，则，所以，所以C错误；对于D中，因为，所以，则，即，所以，所以D正确.故选：ABD.16．（2024·河南信阳·高三河南宋基信阳实验中学校考阶段练习）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】依题意，，所以，所以，所以A选项错误，B选项正确.所以，所以，所以C选项正确，D选项错误.故选：BC17．（2024·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表矩形菱形圆总数A531055B12613125该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，所以，因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，所以.故选：BC.18．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）若，则下列说法一定正确的是（

）A． B．C． D．若，则【答案】BCD【解析】对于A，当时，，A错误；对于B，由，得，B正确；对于C，由，得，则，C正确；对于D，由，，得，，D正确.故选：BCD19．（2024·全国·模拟预测）正数、满足，则下列不等式成立的有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】对于A，因为，，所以，所以，故A正确；对于B，因为，，所以，所以，故B正确；对于C，当、时满足，但是，故C不正确；对于D，因为，，，所以，故D正确．故选：ABD．20．（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c满足，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】选项A：由，得，则，所以，A错误．选项B：因为，所以，B正确．选项C：由，得，，所以，当且仅当时取等号，C正确．选项D：因为，当且仅当时取等号，所以，D正确．故选：BCD21．（2024·江苏苏州·高三统考期末）已知，则是“”的充分不必要条件有（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A，取，此时有，故A不符合题意；对于B，由对数函数单调性可知，故B符合题意；对于C，，故C不符合题意；对于D，，故D符合题意.故选：BD.三、填空题22．（2024·全国·高三专题练习）实数满足，，则的取值范围是【答案】．【解析】设，则，解得，所以，因为，，所以，，可得，即的取值范围为．故答案为：．23．（2024·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是.【答案】【解析】因为，所以，又因为，所以，所以.即的取值范围为.故答案为：.24．（2024·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为.【答案】【解析】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为万本，则提价后销售的总收入为万元，所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为：.故答案为：25．（2024·上海嘉定·高三校考期中）若关于，的方程组与的解集相等，则.【答案】/3.5【解析】∵方程组与的解集相同，∴方程组的解也是它们的解，由得，∴即，∴.故答案为：26．（2024·全国·高三专题练习）糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是