第2章正投影法和基本几何元素的投影讲解材料

第2章正投影法和基本几何元素的投影2.1正投影法的基础正投影法和基本几何元素的投影2.2点的投影目录2.3直线的投影2.4平面的投影第1讲正投影法的基础首页2.1正投影法的基础投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法叫做投影法，所得到的图形叫做投影，选定的平面叫做投影面。正投影法的基础画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法首页2、平行投影法正投影法的基础斜角投影法投影特性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。投射线互相平行且垂直于投影面投射线互相平行且倾斜于投影面直角（正）投影法首页3、正投影法的投影特性:正投影法的基础1.直线、平面平行于投影面，投影反映实长或实形，称为实形性。2.直线、平面垂直于投影面，投影成为一点或一直线，称为积聚性。3.直线、平面倾斜于投影面，投影成为一短线或一小平面，称为类似形。实形性积聚性类似形abABCcabcABCABCEFacbe（f）首页2.2点的投影点的投影Pb

●●AP采用多面投影。过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。B1●B2●B3●点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。a

●解决办法？1、点在一个投影面上的投影首页点的投影2、点的三面投影HWV投影面正面投影面（简称正面或V面）水平投影面（简称水平或H面）侧面投影面（简称侧面或W面）投影轴oXZOX轴V面与H面的交线OZ轴V面与W面的交线OY轴H面与W面的交线Y三个投影面互相垂直（1）三面投影体系的建立首页点的投影（2）空间点在三个投影面上的投影WHVoXa

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a

●a●a

●A●ZY首页点的投影（3）投影面的展开WVH●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不动aaZaa

yayaXYYO

●●az●x首页点的投影（4）点的三面投影特性（规律）●●●●XYZOVHWAaa

a

①a

a⊥OX轴②aax=a

az=y=A到V面的距离a

ax=a

ay=z=A到H面的距离aay=a

az=x=A到W面的距离xaazay●●YZaza

XYayOaaxaya

●

a

a

⊥OZ轴首页点的投影（5）应用举例●●a

aax例：已知点的两个投影，求第三投影。●a

●●a

aaxazaz解法一:通过作45°线或画圆弧使a

az=aax解法二:用分规直接量取a

az=aaxa

●首页点的投影3、两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：▲x坐标大的在左▲y坐标大的在前▲z坐标大的在上b

aa

a

b

b●●●●●●B点在A点之前、之右、之下。XYHYWZ首页点的投影例：已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。985a

a

aZXYwYHb

b

bo首页点的投影4、重影点空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、C为H面的重影点●●●●●a

a

c

c

被挡住的投影加()()A、C为哪个投影面的重影点呢？ac首页小结小结1、点的投影特性。2、空间点的位置、重影点的判断方法。重点掌握：作业：P42－1（2）（3）首页2.3直线的投影直线的投影第2讲●●YZaza

XYayOaaxaya

●①a

a⊥OX轴②aax=a

az=y=A到V面的距离a

ax=a

ay=z=A到H面的距离aay=a

az=x=A到W面的距离

a

a

⊥OZ轴复习点的投影点的三面投影特性首页直线的投影aa

a

b

b

b●●●●●●两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。（1）直线的投影特性1、直线及直线上点的投影特性AB●●●●ab垂直于投影面的直线，其投影重合为一点积聚性平行于投影面的直线，投影反映线段的实长ab=AB倾斜于投影面的直线，其投影比空间线段短ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a(m)(b)●●●首页直线的投影（2）直线上点的投影特性

◆若点在直线上,则该点的投影必在直线的同名投影上。不垂直于投影面的直线段上的点，分割直线段之比，在投影后仍保持不变。即：

◆若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABCVHbcc

b

a

a定比定理注：依据上述投影特性可用来判断空间点与直线的相对位置首页直线的投影（3）应用举例点C不在直线AB上例1：判断点C是否在线段AB上。abca

b

c

①c

②abca

b

●点C在直线AB上首页直线的投影例2：判断点K是否在线段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。应用定比定理abka

b

k

●●另一判断法?首页直线的投影例2：判断点K是否在线段AB上。应用定比定理abka

b

k

●●另一判断法?k1

c

b1

因a

k

/k

b

≠

ak/kb，故点K不在AB上。首页直线的投影2、直线对投影面的各种相对位置投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ）侧垂线（垂直于Ｗ面）正垂线（垂直于Ｖ面）铅垂线（垂直于Ｈ）首页直线的投影b

a

aba

b

b

aa

b

ba

（1）投影面平行线①在其平行的那个投影面上的投影反映实长,与投影轴的夹角，分别反映直线与另两投影面的真实倾角。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，且长度缩短。水平线侧平线正平线γ投影特性：注：空间直线与H面的夹角:α；与V面的夹角:β；与W面的夹角:γ实长实长实长βγααβba

aa

b

b

首页直线的投影（2）投影面垂直线投影特性：铅垂线正垂线侧垂线●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)平行于相应的投影轴，并反映线段实长。②另外两个投影，①在其垂直的投影面上，积聚成一点。首页直线的投影（3）一般位置直线投影特性：三个投影都倾斜于投影轴；且小于直线的实长；与投影轴的夹角不反映直线与投影面的夹角。abb

a

b

a

首页直线的投影3、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：

平行、相交、交叉。空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

投影特性：（1）两直线平行首页直线的投影应用举例：例1：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CDcabdc

a

b

d

①首页直线的投影b

d

c

a

cbadd

b

a

c

对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。例2：判断图中两条直线是否平行。②求出侧面投影如何判断？首页直线的投影（2）两直线相交HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间点的投影规律。交点是两直线的共有点首页直线的投影应用举例：●●cabb

a

c

d

k

kd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影首页直线的投影（2）两直线交叉d

b

a

abcdc

1

(2

)3(4)投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。为什么？●12●●3

4

●●两直线相交吗？首页2.4平面的投影平面的投影1、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直线上的三个点●●●●●●abca

b

c

直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●d●d

●两平行直线abca

b

c

●●●●●●两相交直线●●●●●●abca

b

c

平面图形首页2、平面的投影特性平行垂直倾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把实形现★

平面垂直投影面-----投影积聚成直线

★平面倾斜投影面-----投影类似原平面实形性类似性积聚性平面对一个投影面的投影特性首页平面的投影平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面平面对投影面的相对位置首页平面的投影abca

c

b

c

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？γβ是什么位置的平面？（1）投影面垂直面首页平面的投影（1）投影面平行面a

b

c

a

b

c

abc积聚性积聚性实形性水平面在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。投影特性：首页平面的投影（3）一般位置平面a

b

c

a

c

b

abc三个投影都类似。投影特性：首页平面的投影3、平面上的直线和点判断直线在平面内的方法

定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。（1）平面上取任意直线首页平面的投影abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二根据定理二根据定理一有多少解？有无数解。首页平面的投影n

m

nm10c

a

b

cab唯一解！有多少解？例2：在平面