福建省南平市浦城县第三中学高二数学理联考试卷含解析

/福建省南平市浦城县第三中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知随机变量ξ的分布列为：ξ﹣2﹣10123P若，则实数x的取值范围是（）A．4＜x≤9 B．4≤x＜9 C．x＜4或x≥9 D．x≤4或x＞9参考答案：A【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】由随机变量ξ的分布列，知ξ2的可能取值为0，1，4，9，分别求出相应的概率，由此利用P（ξ2＜x）=，求出实数x的取值范围．【解答】解：由随机变量ξ的分布列，知：ξ2的可能取值为0，1，4，9，且P（ξ2=0）=，P（ξ2=1）=+=，P（ξ2=4）=+=，P（ξ2=9）=，∵P（ξ2＜x）=，∴实数x的取值范围是4＜x≤9．故选：A．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列性质的应用问题，是基础题．2.已知命题：,，则是（

）（A）R,（B）R,（C）R,（D）R,参考答案：C3.设点F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F1F2|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M作x轴的垂线，垂足恰为线段OF2的中点，则双曲线的离心率是（）A．﹣1 B． C．+1 D．2参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意M的坐标为M（，），代入双曲线方程可得e的方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意点F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F1F2|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M作x轴的垂线，垂足恰为线段OF2的中点，△OMF2是正三角形，M的坐标为M（，），代入双曲线方程可得﹣=1∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故选：C．4.复数的共轭复数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.对于一个给定的数列{an}，定义：若，称数列为数列{an}的一阶差分数列；若，称数列为数列{an}的二阶差分数列．若数列{an}的二阶差分数列的所有项都等于1，且，则（

）A.2018 B.1009 C.1000 D.500参考答案：C【分析】根据题目给出的定义，分析出其数列的特点为等差数列，利用等差数列求解.【详解】依题意知是公差为的等差数列，设其首项为，则，即，利用累加法可得，由于，即解得，，故．选C【点睛】本题考查新定义数列和等差数列，属于难度题.6.某射手的一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1,则此射手在一次射击中成绩不超过8环的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：C7.设S为半径等于1的圆内接三角形的面积，则函数4S+的最小值是（

）（A）

（B）5

（C）7

（D）参考答案：C8.若直线l1：（t为参数）与直线l2：（s为参数）垂直，则k的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2参考答案：B【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】将直线l1与直线l2化为一般直线方程，然后再根据垂直关系求解即可．【解答】解：∵直线l1：（t为参数）∴y﹣2=﹣（x﹣1），直线l2：（s为参数）∴2x+y=1，∵两直线垂直，∴﹣×（﹣2）=﹣1，得k=﹣1，故选：B．9.（统计）如某校高中三年级的300名学生已经编号为0，1，……，299，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第60段所抽到的编号为298，则第1段抽到的编号为（

）A．2

B．3

C．4

D．5

参考答案：B略10.在棱长为1的正方体ABCD—中，若点P是棱上一点，则满足＋的点P的个数为（

）ks5u4

6

8

12参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.椭圆E：+=1内有一点P（2，1），则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为．参考答案：x+2y﹣4=0【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设所求直线与椭圆相交的两点的坐标，然后利用点差法求得直线的斜率，最后代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：设所求直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则，．两式相减得．又x1+x2=4，y1+y2=2，∴kAB=．因此所求直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+2y﹣4=0．故答案为：x+2y﹣4=0．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了点差法求与中点弦有关的问题，是中档题．12.已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为

．参考答案：36π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】正四棱柱的底面边长为x，高为y，则4x+y=18，0＜x＜4.5，求出正四棱柱的外接球的半径的最小值，即可求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正四棱柱的底面边长为x，高为y，则4x+y=18，0＜x＜4.5，正四棱柱的外接球半径为=，当且仅当x=4时，半径的最小值=3，∴外接球的表面积的最小值为4π×9=36π．故答案为36π．13.设α,β为两个不重合的平面,为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若α∥β,

,则∥②若,

,∥β,∥β，则α∥β；③若∥α,⊥β,则α⊥β;④若,且⊥m,⊥n,则⊥α.

其中正确命题的序号是-_______________.参考答案：（1）（3）14.数列的前项和则它的通项公式是__________；参考答案：15.设,其中实数满足,若的最大值为12,则实数*****

.参考答案：2略16.二项式的展开式中含的项的系数是

参考答案：17.下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出的图形的序号是_______．参考答案：①③三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在圆x2+y2=4上任取一点P，过P作x轴的垂线段，D为垂足，当点P在圆上运动时，记线段PD中点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设，试判断（并说明理由）轨迹C上是否存在点Q，使得成立．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设点M（x，y），P（x0，y0），则D（x0，0），由于点M为线段的PD中点，推出P的坐标代入圆的方程求解即可．（Ⅱ）轨迹C上存在点Q，使得成立，方法一：假设轨迹C上存在点Q（a，b），使得．得到a，b关系式，又Q（a，b）在上，然后求解a，b说明存在或使得成立．方法二：由（Ⅰ）知轨迹C的方程为，假设轨迹C上存在点Q（a，b），使得，即以AB为直径的圆与椭圆要有交点，则必须满足c≥b，得到结论．【解答】解：（Ⅰ）设点M（x，y），P（x0，y0），则D（x0，0），由于点M为线段的PD中点则即点P（x，2y）…所以点P在圆x2+y2=4上，即x2+4y2=4，即．…（Ⅱ）轨迹C上存在点Q，使得成立．…方法一：假设轨迹C上存在点Q（a，b），使得．因为，，所以…①…又Q（a，b）在上，所以…②…联立①②解得，即存在或使得成立．…方法二：由（Ⅰ）知轨迹C的方程为，焦点恰为，．…假设轨迹C上存在点Q（a，b），使得，即以AB为直径的圆与椭圆要有交点，…则必须满足c≥b，这显然成立，即轨迹C上存在点Q（a，b），使得．…19.（本小题满分13分）对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率100.252420.05合计1

（Ⅰ）求出表中及图中的值；（Ⅱ）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.参考答案：（Ⅰ）由分组内的频数是，频率是知，，所以.

……2分因为频数之和为，所以，.

……………3分.

……………………4分因为是对应分组的频率与组距的商，所以.

………6分（Ⅱ）因为该校高二学生有240人，分组内的频率是，所以估计该校高二学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人.

………8分（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，

………9分设在区间内的人为，在区间内的人为.则任选人共有，15种情况，

……11分而两人都在内只能是一种，

………12分所以所求概率为.

………13分20.在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．参考答案：（1）（2）没有解：(1)由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>，即k的取值范围为∪.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得x1＋x2＝－.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，③而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)，所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)．将②③代入上式，解得k＝.由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.21.（12分

）袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：(1)3只全是红球的概率；(2)3只颜色全相同的概率；(3)3只颜色不全相同的概率。

参考答案：解法一：由于是有放回地取球，因此袋中每只球每次被取到的概率均为．(1)3只全是红球的概率为P1＝··＝．（4分）(2)3只颜色全相同的概率为P2＝2·P1＝2·＝．（8分）(3)3只颜色不全相同的概率为P3＝1－P2＝1－＝．（12分）解法二：利用树状图我们可以列出有放回地抽取3次球的所有可能结果：，由此可以看出，抽取的所有可能结果为8种．

（6分）(1)3只全是红球的概率为P1＝．（8分）(2)3只颜色全相同的概率为P2＝＝．