2025届高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲函数模型及其应用创新教学案含解析新人教版

PAGE1-第9讲函数模型及其应用[考纲解读]1.了解指数函数、对数函数及幂函数的增长特征，驾驭求解函数应用题的步骤．(重点)2．了解函数模型及拟合函数模型；在同一坐标系中能对不同函数的图象进行比较．3．建立函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍运用的)，要正确地确定实际背景下的定义域，将数学问题还原为实际问题．(难点)[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲是高考中的一个冷考点．预料2024年高考将主要考查现实生活中的生产经营、工程建设、企业的赢利与亏损等热点问题中的增长或削减问题，以一次函数、二次函数、指数、对数型函数及对勾函数模型为主，考查考生建模实力和分析解决问题的实力.1.七类常见函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)“对勾”函数模型f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)2．指数、对数、幂函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调eq\o(□,\s\up1(01))递增单调eq\o(□,\s\up1(02))递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的改变随x的增大渐渐表现为与eq\o(□,\s\up1(03))y轴平行随x的增大渐渐表现为与eq\o(□,\s\up1(04))x轴平行随n值改变而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax3．解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学学问，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：1．概念辨析(1)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．()(2)指数函数模型，一般用于解决改变较快，短时间内改变量较大的实际问题．()(3)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的改变规律．()答案(1)√(2)√(3)√2．小题热身(1)(2024·湖北八校联考)有一组试验数据如表所示：x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04则最能体现这组数据关系的函数模型是()A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1C．y＝2log2x D．y＝x3答案B解析依据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.(2)物价上涨是当前的主要话题，特殊是菜价，某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预料，这四种方案均能在规定的时间T内完成预料的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()答案B解析B中，Q的值随t的改变越来越快．故选B.(3)某市出租汽车的车费计算方式如下：路程在3km以内(含3km)为8.00元；达到3km后，每增加1km加收1.40元；达到8km后，每增加1km加收2.10元．增加不足1km按四舍五入计算．某乘客乘坐该种出租车交了44.4元车费，则此乘客乘该出租车行驶的路程可以是()A．22km B．24kmC．26km D．28km答案A解析设乘客坐车行驶了xkm，依据题意，得8＋(8－3)×1.4＋(x－8)×2.1＝44.4.8＋7＋2.1x－16.8＝44.4.2．1x＝46.2，x＝22.所以，此乘客乘该出租车行驶的路程是22km.(4)有一批材料可以建成200m长的围墙，假如用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________m2.(围墙厚度不计)答案2500解析设围成的矩形的长为xm，则宽为eq\f(200－x,4)m，则S＝x·eq\f(200－x,4)＝eq\f(1,4)(－x2＋200x)＝－eq\f(1,4)(x－100)2＋2500.当x＝100时，Smax＝2500m2.题型一用函数图象刻画改变过程1．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是()答案B解析当h＝H时，体积为V，故解除A，C；由H→0过程中，削减相同高度的水，水的体积从起先削减的越来越快到越来越慢，故选B.2．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为()答案D解析由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为eq\f(1,2)的扇形．因为矩形ABCD的周长为8，AB＝x，则AD＝eq\f(8－2x,2)＝4－x，所以y＝x(4－x)－eq\f(π,4)＝－(x－2)2＋4－eq\f(π,4)(1≤x≤3)，明显该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x＝2时，y＝4－eq\f(π,4)∈(3,4)，故选D.推断函数图象与实际问题中两变量改变过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当依据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．如举例说明2.(2)验证法：当依据题意不易建立函数模型时，则依据实际问题中两变量的改变特点，结合图象的改变趋势，验证是否吻合，从中解除不符合实际的状况，选择出符合实际状况的答案．如举例说明1.1．(2024·安阳模拟)如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷漫步行走的路途可能是()答案C解析依据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加，在其次段时间内，张大爷离家的距离不变，第三段时间内，张大爷离家的距离随时间的增加而削减，最终回到始点位置，对比各选项，只有C正确．2．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则肯定正确的是()A．① B．①②C．①③ D．①②③答案A解析由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的eq\f(1,2)，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，肯定正确的是①.题型二已知函数模型的实际问题某校学生探讨学习小组发觉，学生上课的留意力指标随着听课时间的改变而改变，老师讲课起先时，学生的爱好激增；接下来学生的爱好将保持较志向的状态一段时间，随后学生的留意力起先分散．设f(t)表示学生留意力指标．该小组发觉f(t)随时间t(分钟)的改变规律(f(t)越大，表明学生的留意力越集中)如下：f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100a\f(t,10)－600≤t≤10，,34010<t≤20，,－15t＋64020<t≤40))(a>0且a≠1)．若上课后第5分钟时的留意力指标为140，回答下列问题：(1)求a的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间留意力更集中？并请说明理由；(3)在一节课中，学生的留意力指标至少达到140的时间能保持多长？解(1)由题意得，当t＝5时，f(t)＝140，即100·aeq\f(5,10)－60＝140，解得a＝4.(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以f(5)>f(35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时留意力更集中．(3)①当0<t≤10时，由(1)知，f(t)＝100·4eq\f(t,10)－60≥140，解得5≤t≤10；②当10<t≤20时，f(t)＝340>140恒成立；③当20<t≤40时，f(t)＝－15t＋640≥140，解得20<t≤eq\f(100,3).综上所述，5≤t≤eq\f(100,3).故学生的留意力指标至少达到140的时间能保持eq\f(100,3)－5＝eq\f(85,3)分钟．求解所给函数模型解决实际问题的方法(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)依据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．1．某市家庭煤气的运用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满意关系f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C，0<x≤A，,C＋Bx－A，x>A.))已知某家庭2024年前三个月的煤气费如下表：月份用气量煤气费一月份4m4元二月份25m14元三月份35m19元若四月份该家庭运用了20m3A．11.5元 B．11元C．10.5元 D．10元答案A解析依据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝eq\f(1,2)，C＝4，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，0<x≤5，,4＋\f(1,2)x－5，x>5，))所以f(20)＝4＋eq\f(1,2)×(20－5)＝11.5，故选A.2．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与贮存温度x(单位：℃)满意函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．答案24解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eb＝192，,e22k＋b＝48，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eb＝192，,e11k＝\f(1,2)，))所以该食品在33℃的保鲜时间是y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×192＝24(小时)．题型三构建函数模型的实际问题角度1构造一次函数、二次函数模型1．(2024·商丘二中检测)如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．解(1)如图，作PQ⊥AF于点Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，在△EDF中，eq\f(EQ,PQ)＝eq\f(EF,FD)，所以eq\f(x－4,8－y)＝eq\f(4,2)，所以y＝－eq\f(1,2)x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x,2)))＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋50，所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增，所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米．角度2构造指数函数、对数函数模型2．某公司为激励创新，支配逐年加大研发资金投入．若该公司2024年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金起先超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2024年 B．2024年C．2024年 D．2024年答案B解析依据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2024年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，两边同时取对数，得n－1>eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)，又eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈eq\f(0.30－0.11,0.05)＝3.8，则n>4.8，即a5起先超过200，所以2024年投入的研发资金起先超过200万元，故选B.3．已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简洁起见，科学家用PA＝lgnA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：①PA≥1；②若今日的PA值比昨天的PA值增加1，则今日的A菌个数比昨天的A菌个数多10；③假设科学家将B菌的个数限制为5万，则此时5<PA<5.5(注：lg2≈0.3)．则正确的说法为________．(写出全部正确说法的序号)答案③解析当nA＝1时，PA＝0，故①错误；若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；设B菌的个数为nB＝5×104，∴nA＝eq\f(1010,5×104)＝2×105，∴PA＝lgnA＝lg2＋5.又lg2≈0.3，∴PA≈5.3，则5<PA<5.5，即③正确．角度3构造分段函数模型4．某景区供应自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁运用，管理这些自行车的费用是每日115元．依据阅历，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必需高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3，∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6<x≤20，x∈Z.∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x－1153≤x≤6，x∈Z，,－3x2＋68x－1156<x≤20，x∈Z.))(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，明显当x＝6时，ymax＝185；对于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)))2＋eq\f(811,3)(6<x≤20，x∈Z)，当x＝11时，ymax＝270.∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．角度4构造y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)型函数5．某企业每年须要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，确定安装一个可运用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采纳净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝eq\f(k,50x＋250)(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(1)试说明C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；(2)当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？解(1)C(0)表示担心装设备时每年缴纳的水费为4万元，∵C(0)＝eq\f(k,250)＝4，∴k＝1000，∴y＝0.2x＋eq\f(1000,50x＋250)×4＝0.2x＋eq\f(80,x＋5)(x≥0)．(2)y＝0.2(x＋5)＋eq\f(80,x＋5)－1≥2eq\r(0.2x＋5×\f(80,x＋5))－1＝7，当0.2(x＋5)＝eq\f(80,x＋5)，即x＝15时，ymin＝7，故当x为15平方米时，y取得最小值7万元．1．解函数应用题的一般步骤第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；其次步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学学问建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必需验证这个数学结果对实际问题的合理性．2．建模的基本原则(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，依据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等学问将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．1．国家对某行业征税的规定如下：年收入在280万元及以下部分的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税．有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是()A．560万元 B．420万元C．350万元 D．320万元答案D解析设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则由题意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x·p%，x≤280，,280·p%＋x－280·p＋2%，x>280，))依题有eq\f(280·p%＋x－280·p＋2%,x)＝(p＋0.25)%，解得x＝320.故选D.2．(2024·福建三明联考)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg2≈0.3010)()A．3 B．4C．5 D．6答案B解析设至少要洗x次，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))x≤eq\f(1,100)，∴x≥eq\f(1,lg2)≈3.322，因此至少须要洗4次，故选B.3．某人打算购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚四周均是宽为1米的小路(如图阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，则y＝________.答案45解析由题可得，xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3∴S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)eq\f(y－3,3)＝1808－3x－eq\f(8,3)y.解法一：S＝1808－3x－eq\f(8,3)×eq\f(1800,x)＝1808－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(4800,x)))(x>0)，≤1808－2eq\r(3x×\f(4800,x))＝1808－240＝1568.当且仅当3x＝eq\f(4800,x)，即x＝40时取等号，S取得最大值．此时y＝eq\f(1800,x)＝45.所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．解法二：设S＝f(x)＝1808－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(4800,x)))(x>0)，f′(x)＝eq\f(4800,x2)－3＝eq\f(340－x40＋x,x2)，令f′(x)＝0得x＝40，当0<x<40时，f′(x)>0，当x>40时，f′(x)<0.所以当x＝40时，S取得最大值．此时y＝45，所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．组基础关1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，其次个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100答案C解析对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x＝4时误差较大．对于C中的函数，当x＝1,2,3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C中的函数误差最小．2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似地满意关系y＝alog3(x＋2)，视察发觉2024年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只，估计到2024年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为()A．4000只 B．5000只C．6000只 D．7000只答案C解析当x＝1时，由3000＝alog3(1＋2)，得a＝3000，所以到2024年冬，即第7年，y＝3000×log3(7＋2)＝6000，故选C.3．如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用容器下面所对的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个答案C解析将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反映出来，①中的增长应当是匀速的，故下面的图象不正确；②中的增长速度是越来越慢的，正确；③中的增长速度是先慢后快，正确；④中的增长速度是先快后慢，也正确，故②③④正确．选C.4．汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油答案D解析依据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故A错误；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故B错误；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故C错误；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故D正确．5．(2024·泸州诊断)某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经验了3次涨停(每次上涨10%)又经验了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏状况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利 B．无法推断盈亏状况C．没有盈利也没有亏损 D．略有亏损答案D解析由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.993≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏状况为略有亏损．6．(2024·南充模拟)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x年后，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y＝f(x)的图象大致为()答案D解析设某地区起始年的绿化面积为a，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x年后，绿化面积g(x)＝a(1＋18%)x，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y，则y＝f(x)＝eq\f(gx,a)＝(1＋18%)x＝1.18x，因为y＝1.18x为底数大于1的指数函数，故可解除A，C，当x＝0时，y＝1，可解除B，故选D.7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间满意函数关系式y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，全部生产出来的产品都能卖完，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A．100台 B．120台C．150台 D．180台答案C解析设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000≥0，得x≥150，所以生产者不亏本时的最低产量为150台．故选C.8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，其次年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．答案eq\r(1＋p1＋q)－1解析设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.答案20解析设矩形花园的宽为ym，则eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20m时，面积最大．10．某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时间段进行计价，该地区电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答)答案148.4解析据题意有0.568×50＋0.598×150＋0.288×50＋0.318×50＝148.4(元)．组实力关1．国家规定个人稿费纳税方法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为()A．3000元 B．3800元C．3818元 D．5600元答案B解析由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≤800，,0.14x－800，800<x≤4000，,0.11x，x>4000，))明显稿费应为800<x≤4000，则0.14(x－800)＝420，解得x＝3800.2．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的eq\f([H＋],[OH－])可以为(参考数据：lg2＝0.30，lg3＝0.48)()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,10)答案C解析∵[H＋]·[OH－]＝10－14，∴eq\f([H＋],[OH－])＝[H＋]2×1014，∵7.35<－lg[H＋]<7.45，∴10－7.45<[H＋]<10－7.35，∴10－0.9<eq\f([H＋],[OH－])＝1014·[H＋]2<10－0.7,10－0.9＝eq\f(1,100.9)>eq\f(1,10)，lg(100.7)＝0.7>lg3>lg2，∴100.7>3>2,10－0.7<eq\f(1,3)<eq\f(1,2)，∴eq\f(1,10)<eq\f([H＋],[OH－])<eq\f(1,3).故选C.3．物体在常温下的温度改变可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过肯定时间t(单位：min)后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(t,h)，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期，现有一杯用85℃热水冲的速溶咖啡，放在21℃的房间中，假如咖啡降到37℃须要16min，那么这杯咖啡要从37℃降到29℃，还须要________min.答案8解析由题意知Ta＝21℃.令T0＝85℃，T＝37℃，得37－21＝(85－21)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(16,h)，∴h＝8.令T0＝37℃，T＝29℃，则29－21＝(37－21)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(t,8)，∴t＝8.4．候鸟每年都要随季节的改变进行大规模的迁徙，探讨某种鸟类的专家发觉，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3eq\f(Q,10)(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3eq\f(30,10)＝0，即a＋b＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故a＋blog3eq\f(90,10)＝1，整理得a＋2b＝1.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,a＋2b＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1.))(2)由(1)知，v＝a＋blog3eq\f(Q,10)＝－1＋log3eq\f(Q,10).所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，所以－1＋log3eq\f(Q,10)≥2，即log3eq\f(Q,10)≥3，解得eq\f(Q,10)≥27，即Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位．组素养关1．(2024·江西七校联考)食品平安问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来肯定的危害，为了给消费者带来放心的