2025届高考数学二轮复习专题能力训练17椭圆双曲线抛物线理含解析

专题实力训练17椭圆、双曲线、抛物线专题实力训练第40页

一、实力突破训练1.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x2A.x28-y2C.x25-y2答案:B解析:由题意得ba=52又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为x24-2.(2024全国Ⅰ,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2 B.3 C.6 D.9答案:C解析:设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9,由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+p2=12,解得p=63.(2024全国Ⅱ,理5)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>A.y=±2x B.y=±3x C.y=±22x D.y=±3答案:A解析:∵e=ca∴c2a2=∴∵双曲线焦点在x轴上,∴渐近线方程为y=±bax∴渐近线方程为y=±2x.4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1A.x24-y212C.x23-y2答案:C解析:由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=bax.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EF⊥CD于点E由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以|EF|=12(d1+d2)=3又因为点F(c,0)到y=bax的距离为|bc所以b=3,b2=9.因为e=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=所以双曲线的方程为x23-y295.(2024全国Ⅱ,理8)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1A.2 B.3 C.4 D.8答案:D解析:∵y2=2px的焦点坐标为p2,0,椭圆x23p+y2p=1的焦点坐标为(±3p-p,0),∴36.(2024全国Ⅰ,理15)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB答案:2解析:由题意可得A(a,0),F(c,0),其中c=a由BF垂直于x轴可得点B的横坐标为c,代入双曲线方程可得点B的坐标为Bc∵AB的斜率为3,∴Bc∵kAB=b2ac-a=b27.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=答案:2解析:如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,∵∠MAN=60°,∴|AP|=32b,|OP|=设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为θ,则tanθ=|AP||OP|∴32ba2-34b∴e=1+8.如图,已知抛物线C1:y=14x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解:(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由y=k(x-t),y=14x由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故y02因此,点B的坐标为2(2)由(1)知|AP|=t·1+t2和直线PA的方程tx-y-t2点B到直线PA的距离是d=t设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=12|AP|·d=9.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求|PR|解:(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为yx+1,MB由题意,有yx+1·整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由y=x+m,4x2-y2-4=0消去y,可得对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),则xQ,xR为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|.因为xQ=m-2m2+33,xR=m+2所以|PR||PQ此时1+3m2>1,所以1<1+221+且1+22所以1<|PR||PQ综上所述,|PR|10.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上随意一点M(x,y)满意|MA+MB|=OM·(OA+(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线C上动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比.解:(1)由题意可知MA=(-2-x,1-y),MB=(2-x,1-y),OM=(x,y),OA+OB=∵|MA+MB|=OM·(OA∴4x2+4(1-y)2=∴曲线C的方程为x2=4y.(2)设点Qx0则S△QAB=21-x0∵y=x24,∴y'=12x,∴kl=1∴切线l的方程为y-x024=12x0(x-x0)与y轴交点H0,-直线PA的方程为y=-x-1,直线PB的方程为y=x-1,由y=-x-1由y=x-1,y∴S△PDE=12|xD-xE|·|PH|=1-x∴△QAB与△PDE的面积之比为2.二、思维提升训练11.(2024全国Ⅱ,理8)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODEA.4 B.8 C.16 D.32答案:B解析:由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=±bax因为直线x=a与双曲线的渐近线分别交于D,E两点,所以不妨令D(a,-b),E(a,b),所以|DE|=2b.所以S△ODE=12×2b·a=ab=所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=22时取等号.所以c≥4,所以2c≥8.所以双曲线C的焦距的最小值为8.故选B.12.(2024全国Ⅰ,理10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.x22+y2=1 BC.x24+y2答案:B解析:如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,得m-n∴|AF1|=a,|AF2|=a.∴点A为(0,-b).∴kA过点B作x轴的垂线,垂足为点P.由题意可知△OAF2∽△PBF2.又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.∴|F2P|=1又kAF∴|BP|=12b.∴点B把点B坐标代入椭圆方程x2a2+y2b2=1又c=1,故b2=2.所以椭圆方程为x23+13.已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,C为圆(x+1)2+(y-2)2=1的圆心,则|MF|+|MC|的最小值为.

答案:3解析:设抛物线x2=4y的准线方程为l:y=-1.因为点C为圆(x+1)2+(y-2)2=1的圆心,所以点C的坐标为(-1,2).过点M作l的垂线,垂足为点E,依据抛物线的定义可知|MF|=|ME|,所以|MF|+|MC|的最小值,即为|MC|+|ME|的最小值.由平面几何的学问可知,当C,M,E在一条直线上时,此时CE⊥l,|MC|+|ME|有最小值,最小值为CE=2-(-1)=3.14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若答案:y=±22解析:抛物线x2=2py的焦点F0,p2,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4·p2所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得x消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=2pb2a所以该双曲线的渐近线方程为y=±22x15.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M0,15,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△解:(1)由已知可得,点P满意|PB|+|PC|=|AC|=25>2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=25,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为x25+(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.联立方程组y=2tx-t2,x25+y24=1,消去y整理,得(4+20t2有Δ而|PQ|=1+4t2×|x1-x2点M到PQ的高为h=15由S△MPQ=12|PQ|h代入化简,S△MPQ=510-(t2-10)2+104≤510×16.已知动点C是椭圆Ω:x2a+y2=1(a>1)上的随意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=94的一条直径(A,B是端点),(1)求椭圆Ω的方程;(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设点C的坐标为(x,y),则x2a+y2=连接CG,由CA=CG+GA,CB=CG+GB=可得CA·CB=CG2-GA2=x2+(y-2)2-94=a(1-y2)+(y-2)2-94=-(a-1)y2-4因为a>1,所以当y=42(1-a)≤-1,取y=-1,得CA·CB有最大值-(a-1)+4+a+74=当y=42(1-a)>-1,即a>3时,CA即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是x25+y2=(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满意x