2025届高考数学一轮复习第三章第8讲解三角形应用举例基创馈训练含解析

PAGE1-基础学问反馈卡·3.8时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共25分)1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°2．两灯塔A，B与海洋视察站C的距离都等于akm，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为()A.eq\r(2)akmB.eq\r(3)akmC．akmD．2akm3．如图J3­8­1，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50eq\r(2)mB．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)mD.eq\f(25\r(2),2)m图J3­8­1图J3­8­2图J3­8­34．如图J3­8­2，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则肯定能确定A，B间的距离的全部方案的序号为()A．①②B．②③C．①③D．①②③5．(2024年云南红河质检)如图J3­8­3，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝()A．5eq\r(6)B．15eq\r(3)C．5eq\r(2)D．15eq\r(6)二、填空题(每小题5分，共20分)6．某视察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在视察站C北偏东30°方向，灯塔B在视察站C正西方向，则两灯塔A，B间的距离为________米．7．某人从A处动身，沿北偏东60°行走3eq\r(3)km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，C两地间的距离为________km.8．在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.9．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.三、解答题(共15分)10．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发觉在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．

基础学问反馈卡·3.81．B2.A3.A4.D5．D解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，∴BC＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).故选D.6．700解析：由题意，△ABC中，AC＝300，BC＝500，∠ACB＝120°，利用余弦定理可得，AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos120°，∴AB＝700.7．7解析：如图DJ8，由题意，可知AB＝3eq\r(3)km，BC＝2km，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×3eq\r(3)×2×cos150°＝49，AC＝7km.故A，C两地间的距离为7km.图DJ88.eq\f(400,3)9．10eq\r(3)解析：如图DJ9，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，由余弦定理，得MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．图DJ910．解：如图DJ10，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，图DJ10则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.依据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.依据正弦定理，得eq\f(BC,sinα)＝eq