2025届高考数学一轮知能训练第三章三角函数与解三角形第7讲正弦定理和余弦定理含解析

PAGE5-第7讲正弦定理和余弦定理1．(2024年四川成都诊断)在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2eq\f(B,2)＝eq\f(c－a,2c)，则△ABC的形态为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形2．(2024年山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满意sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A3．(2024年新课标Ⅲ)在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，BC边上的高等于eq\f(1,3)BC，则sinA＝()A.eq\f(3,10)B.eq\f(\r(10),10)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(3\r(10),10)4．(2024年江西赣州模拟)锐角△ABC中，若B＝2A，则eq\f(b,a)的取值范围是()A．(eq\r(2)，eq\r(6))B．(1，eq\r(2))C．(eq\r(2)，eq\r(3))D．(eq\r(3)，eq\r(6))5．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，A＝45°，则eq\f(bsinB,c)＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(3,4)6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，b＝2，则△ABC的面积的最大值是()A．1B.eq\r(3)C．2D．47．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是()A．a2＝b2＋c2－2bccosAB．asinB＝bsinAC．a＝bcosC＋ccosBD．acosB＋bcosC＝c8．(2024年新课标Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积为________．9．(2024年浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq\r(7)，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________.10．(2024年北京)若△ABC的面积为eq\f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________，eq\f(c,a)的取值范围是________．11．(2024年新课标Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC的值；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．12．(2024年新课标Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若eq\r(2)a＋b＝2c，求sinC.

第7讲正弦定理和余弦定理1．B解析：方法一，由题意，得eq\f(1－cosB,2)＝eq\f(c－a,2c)，即cosB＝eq\f(a,c).又由余弦定理，得eq\f(a,c)＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac).整理，得a2＋b2＝c2.∴△ABC为直角三角形．故选B.方法二，cosB＝eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(sinB＋C,sinC)，∴sinBcosC＋cosBsinC＝cosBsinC.∴sinB·cosC＝0.∵sinB>0，∴cosC＝0.又0<C<π，∴C＝eq\f(π,2).∴△ABC为直角三角形．故选B.2．A3．D解析：设BC边上的高线为AD，则BC＝3AD，DC＝2AD.∴AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝eq\r(5)AD.由正弦定理，知eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，即eq\f(\r(5)AD,\f(\r(2),2))＝eq\f(3AD,sinA).解得sinA＝eq\f(3\r(10),10).故选D.4．C解析：∵B＝2A，∴eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝2cosA.又∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＝3A>eq\f(π,2)，∴A>eq\f(π,6)，B＝2A<eq\f(π,2)，∴A<eq\f(π,4)，∴eq\f(π,6)<A<eq\f(π,4)，∴eq\f(\r(2),2)<cosA<eq\f(\r(3),2)，∴eq\r(2)<eq\f(b,a)<eq\r(3).故选C.5．C解析：方法一，由题意可知b2＝ac，∴sin2B＝sin45°·sinC，∴eq\f(sin2B,sinC)＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(bsinB,c)＝eq\f(sin2B,sinC)＝eq\f(\r(2),2)，故选C.方法二，由题意可知b2＝ac，则eq\f(bsinB,c)＝eq\f(b2sinB,bc)＝eq\f(acsinB,bc)＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(sinAsinB,sinB)＝sinA＝eq\f(\r(2),2).方法三，由题意可知b2＝ac，则eq\f(bsinB,c)＝eq\f(absinB,ac)＝eq\f(absinB,b2)＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(sinAsinB,sinB)＝sinA＝eq\f(\r(2),2).6．B解析：∵2bcosB＝acosC＋ccosA，∴2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB．∵0<B<π，∴cosB＝eq\f(1,2)，∴B＝eq\f(π,3).∵cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，b＝2，∴a2＋c2－4＝ac.∵a2＋c2≥2ac，∴2ac－4≤ac，即ac≤4，当且仅当a＝c时等号成立，∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB≤eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故△ABC的面积的最大值为eq\r(3).7．ABC8．6eq\r(3)解析：若b＝6，a＝2c，B＝eq\f(π,3)，36＝a2＋c2－2accosB＝4c2＋c2－2c2＝3c2，c＝2eq\r(3)，a＝4eq\r(3)，S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×4eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3)，则△ABC的面积为6eq\r(3).9.eq\f(\r(21),7)3解析：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)⇒eq\f(\r(7),\f(\r(3),2))＝eq\f(2,sinB)⇒sinB＝eq\f(\r(21),7).由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA,7＝4＋c2－2×2c×eq\f(1,2)，c2－2c－3＝0，∴c＝3.10.eq\f(π,3)(2，＋∞)解析：△ABC的面积为eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)⇒eq\r(3)×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\r(3)cosB＝sinB⇒tanB＝eq\r(3)，∴B＝eq\f(π,3).又∠C为钝角，∴A<30°，eq\f(1,tanA)>eq\r(3)，eq\f(c,a)＝eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A)),sinA)＝eq\f(\f(\r(3),2)cosA＋\f(1,2)sinA,sinA)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,2)>eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＋eq\f(1,2)＝2.11．解：(1)由△ABC的面积为eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(a2,3sinA)，得eq\f(1,2)sinBsinCsinA＝eq\f(sin2A,3sinA)，∴sinBsinC＝eq\f(2,3).(2)由cosBcosC＝eq\f(1,6)，得cos(B＋C)＝cosBcosC－sinBsinC＝eq\f(1,6)－eq\f(2,3)＝－eq\f(1,2)，∴B＋C＝eq\f(2π,3)，A＝eq\f(π,3).由eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(a2,3sinA)，得bc＝8.又由余弦定理，得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝9，解得b＋c＝eq\r(33).∴△ABC的周长为3＋eq\r(33).12．解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).∵0°<A<180°，∴A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得eq\r(2)sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(120°－C))＝2sinC，即eq\f(\r(6),2)＋eq\f(\r(3),2)cosC＋eq\f(1,2)sinC＝2sinC，可得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋60°))＝－eq\f(\r(2),2).由于0°<C<120°，∴si