圆锥曲线离心率归类（老师版）

圆锥曲线离心率归类题型01离心率基础 1题型02第一定义求离心率 4题型03中点型求离心率 7题型04点差法型求离心率（第三定义型） 题型05渐近线型离心率 题型06渐近线中点型求离心率 题型07构造a、b、c齐次式型 题型08焦半径型离心率 题型09焦点三角形求离心率 题型10双焦点三角形余弦定理型 题型11焦点三角形双角度型 题型12共焦点型椭圆双曲线离心率 题型13借助均值不等式求共焦点型 40题型14焦点三角形内心型求离心率 43题型15焦点三角形重心型求离心率 47题型16小题大做型求离心率 高考练场 题型01离心率基础 求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.【典例1-1】.P是椭圆上的一点，F为椭圆的右焦点，PF丄x轴，过点P作斜率为的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为()【答案】C【分析】如图所示，求出|PF|=,|AF|=a+c，化简方程即得解.【详解】所以3c2+ac2a2=0,:3e2+e2=0,:e=故选：C【典例1-2】（2021秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）双曲线的离心率用e=f(k)来表示，则f(k)()A．在(0,+∞)上是增函数B．在(0,+∞)上是减函数C．在(0,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数D．是常数【答案】D【分析】根据双曲线的渐近线为坐标轴，结合等轴双曲线的离心率为定值，即可求解.【详解】由题意，双曲线的渐近线为x轴和y轴，即坐标轴，其中坐标轴互相垂直，即该双曲线为等轴双曲线，故选：D.【变式1-1】（2023秋·高三课时练习）实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心 【答案】A【分析】依题意可得a=b，即可得到c，从而求出离心率.【详解】依题意可得等轴双曲线中a=b，则c=·所以离心率故选：A且上PF1F2 【答案】D【分析】先根据PF2丄F2，且上P=30。求得P再根据勾股定理列出关于a,c的方程，解出e即可【详解】:P点椭圆C上的点，:PF1+PF2=2a=30。:P【变式1-3】已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，若△PF1F2的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为(). 34222【答案】B【分析】因为△PF1F2的周长为18，所以2a+2c=18，结合题意可得a=5,c=4，代入离心率公式运算求解.【详解】设焦距为2c.所以椭圆C的离心率为故选：B.题型02第一定义求离心率 解题时要把所给的几何特征转化为a,b,c的关系式．求离心率的常用方法有：（1）根据条件求得a,b,c，利用e=求解；（2）根据条件得到关于a,b,c的方程或不等式，利用e=将其化为关于e的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围.【典例1-1】已知椭圆的右焦点为F（5，0点A，B为C上关于原点对称的两点，【答案】【分析】根据题意可得AB=10，结合，AF丄BF求得|AF|=8，|BF|=6，继而可求出a，求得答案.【详解】因为点A，B为C上关于原点对称的两点，故连接AB，则AB过原点O，22【典例1-2】设椭圆的一个焦点F(2,0)点A(—2,1)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P，使得PA+PF=8，则椭圆E的离心率的取值范围是()AF1,:c=2,:即≤e≤,椭圆E的离心率的取值范围是，故选A. .椭圆C:的左右焦点分别为F1、F2，直线l:y=kx与C交于A、B两点，若iF=θ,当的离心率的最小值为() 【答案】D【分析】结合题干条件得到F2A丄F2B，表达出F2A=2c.cosθ,F2B=2c.sinθ,利用椭圆定义得到a,c关系，结合θ的范围求出离心率的最小值.【详解】连接AF1，由题知点A、B关于原点对称，AF1=BF2，AB=2OF2=2c，F2A丄F2B，则F2A=2c.cosθ,F2B=2c.sinθ,又F2A+F2B=F2A+F1A=2a，即2c.cosθ+2c.sinθ=2a，正确.故选：D22【变式1-2】.已知椭圆的右焦点为F（5，0点A，B为C上关于原点对称的两点，【答案】【分析】根据题意可得AB=10，结合，AF丄BF求得|AF|=8，|BF|=6，继而可求出a，求得答案.【详解】因为点A，B为C上关于原点对称的两点，故连接AB，则AB过原点O，又，所以|AF|=8，|BF|=6，取所以|AF|+AF,=14=2a，所以a=7，所以C的离心率为故答案为：【变式1-3】.设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，点Q在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且PF1+PQ<5F1F2恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为(),【答案】A【分析】利用点在椭圆的内部，以及PF1+PQ<5F1F2列不等式，化简后求得椭圆的离心率的取值范围.42所以形的性质可得，因为P是椭圆C上的动点，且PF1+PQ<5F1F2恒成立，所以<10c2a，所以a<4c，即所以椭圆离心率的取值范围是故选：A.题型03中点型求离心率 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题：（1）求中点坐标2）求中点轨迹方程3）求直线方程4）求曲线；0【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线的左，右焦点分别2为F1，F2，正六边形ABF2CDF1的一边AF1的中点恰好在双曲线M上，则双曲线M的离心率是()【答案】B所以双曲线M的离心率故选：B.22【典例1-2】（2021秋·福建厦门·高三福建省厦门集美中学校考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交双曲线的右支于A，B两点.点M为线段BF1的中点，且AF1=AB.若cos上A则双曲线C的离心率是() 【答案】A【分析】设AF1=m，根据双曲线的定义得出m=8a，从而求出F1B=4a,F2B=2a，在△BF1F2中利用余弦定理以及离心率的定义即可求解.【详解】点M为线段BF1的中点，且AF1=AB，则AM丄BF1,设AF1=m，则AB=m，:m=8a，,:c2=4a2，:离心率=2.故选：A22【变式1-1】（2022春·陕西安康·高三统考）已知双曲线的左，右焦点分别为F1、F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若AB=AF1，且双曲线C的离心率为2．则cosθ=()【答案】A【分析】结合双曲线的性质和余弦定理,即可求解.在△BF1F2中，由余弦定理知，cosθ=【变式1-2】（2021春·河北唐山·高三唐山市第十一中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别在其左、右两支上，且为线段AB的中点，若MF1【答案】AFM，在Rt△F1MF2中有F2M2+F1M2=F1F22得到关于a、c的齐次方程，即可求离心率.【详解】MF1nn2—4m2 FM2点．若P为C右支上的一点，且M为线段F1P的中点，F2M丄PF1，FM24533【答案】B【分析】由题意可得PF2=F1F2=2c，再由双曲线定义可得MF1=a+c，在Rt△F1F2M中，利用勾股定理可得(a+c)2+4a2=4c2，同除a2解方程即可求解.则PF1=2c+2a=2MF1，MF1=a+c．在Rt△F1F2M中，MF12+MF2:(a+c)2+4a2=4c2，解得或e=1故选：B题型04点差法型求离心率（第三定义型） 设直线和曲线的两个交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程，得将两式相减，可得同理，双曲线用点差法，式子可以整理成→1=k.设直线和曲线的两个交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得y12=2px1；2y2=2px2；x1—x2y1+y2一条直径，M为椭圆G上与A、B不重合的一点，且直线MA,MB的斜率之积为—，则椭圆G的离心率为.湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高三下学期数学试题【答案】332【分析】根据给定条件，设出点A，M的坐标，表示出点B的坐标，利用斜率坐标公式结合椭圆方程即可计算作答.x1x0x1x0x1x0a4a24所以椭圆G的离心率为 3故答案为：2线x2y=0上，则此椭圆的离心率为 【答案】试题分析：直线y=—x+1与x—2y=0的交点为M(,)，点M(,)即A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程，两式相减整理可得，即a2【变式1-1】（2023·四川雅安·统考三模）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，)在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为(1,-1)，则椭圆E的方程为()22222222【答案】D【分析】由离心率和点(2·i6,—5)求出双曲线的方程，进而求出焦点，设出椭圆的方程及A,B的坐标，由点差法得到结合中点坐标及斜率求得a2=2b2，再利用焦点坐标，即可求解.【详解】设双曲线方程为，则解得故双曲线方程为焦点为(±3,0)；设椭圆方程为则椭圆焦点为焦点为(±3,0)，故a2—b2=9，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则两式相减得整理得，即，解得a2=2b2，故a22【变式1-2】（2021秋·河南·高三校联考阶段练习）已知斜率为·i2的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为22，则双 【答案】C【分析】利用点差法，结合直线斜率公式、中点坐标公式、双曲线离心率公式进行求解即可.〔xyx2两式相减得所以2【变式1-3】（2022秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第一中学校考）已知双曲线C:x2—=1(b>0)的离心率为2，过点P(3,3)的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦AB的中点，则直线AB的方程为()【答案】C【分析】运用点差法即可求解则双曲线C的方程为1.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则两式相减得又因为点P恰好是弦AB的中点，所以x1+x2=6，y1+y2=6，所以直线AB的斜率为经检验满足题意故选：C题型05渐近线型离心率【典例1-1】（2021秋·重庆南岸·高三重庆市南坪中学校校考阶段练习）经过双曲线的左焦点作倾斜角为60o的直线l，若l与双曲线M的左支有两个不同的交点，则M的离心率的取值范围是()【答案】B【分析】只需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，再利用双曲线中a,b,c关系以及离心率的范围即得.【详解】要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率即c又双曲线e=>1故e的范围是(1,2)故选：Bca 【典例1-2】（2023春·黑龙江大庆·高三大庆中学校考开学考试）已知点P(—2,3)在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为()【答案】D【分析】将P点坐标代入渐近线方程，求出a与b的关系，再根据c2=a2+b2求出离心率.【详解】渐近线方程为：y=±x，由于P点坐标在第二象限，选用y=—，故选：D.则该双曲线的离心率为() 【答案】A【分析】根据渐近线方程求出=2，从而根据求出离心率.的渐近线方程为故选：A22则双曲线的离心率为() 【答案】D【分析】求出双曲线一条渐近线斜率，即从而求出离心率.【详解】由题意得：双曲线的一条渐近线方程的斜率=tan60。=故选：D22【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线则双曲线的离心率的最大值是() 【答案】D【分析】根据双曲线的几何性质可知：双曲线与y=2x没有公共点，则0<≤2，即可求解.【详解】双曲线的渐近线方程为：y=±若双曲线与直线y=2x无公共点，故选：D.题型06渐近线中点型求离心率【典例1-1】（2021秋·陕西渭南·高三统考）已知双曲线C：x2-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线分别交双曲线C的两条渐近线于点M、N.若点M是线段F2N的中点，且NF1丄NF2，则双曲线C 【答案】C【分析】根据三角形中位线得OM//NF1，又M是线段F2N的中点，又可得OM丄NF2，则可得渐近线y=bx的倾斜角为60。，从而求得b的值，即可得双曲线离心率.【详解】双曲线C：x2-的渐近线方程为y=±bx，因为O是线段F1F2的中点，M是线段F2N的中点，所以OM//NF1又NF122【典例1-2】（2023秋·河南安阳·高三校考）已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，两条渐近线为l1,l2.设F关于l1的对称点为P，且线段AP的中点恰好在l2上，则C的离心率为()【答案】C【分析】方法1：根据几何性质分析可得：OH2=HROF，运算求解；方法2：根据点关于线对称求点再求线段AP的中点Q，代入渐近线方程l2:y=-运算求解.【详解】方法1：如图，设O为坐标原点，F(-c,0),A(a,0)，直线FP与l1:bx+ay=0交于点H，则FH丄l1，且H为线段FP设直线HQ与y轴的交点为R，则R为线段HQ的中点，且HQⅡx轴，则∵△OHR~△OFH，则=，∴OH2=HROF，即=a2，整理得-4=0 即设线段PA中点为Q，点A将Q点坐标代入方程l2:y=-x得整理得-4=0，【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线与椭圆过椭圆上一点P作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的中点，则双曲线C的离心率为() 【答案】A【分析】设出切线方程，与椭圆方程联立后利用根的判别式求出求出切线方程，从而得到M点坐标，再联立渐近线得到N，Q的横坐标，利用中点得到方程，求出从而求出离心率.【详解】由题意得：渐近线方程为设切线方程为联立=1得：x2(2k-1)2=0，解得：所以切线方程为x+2，令y=0得：x=-4，所以M联立x与y=x+2，解得：联立x与y=x+2，解得：xN=-，因为N为MQ的中点，所以，解得：所以离心率为故选：A【变式1-2】（2022春·广西南宁·高三南宁二中校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON（其中O为坐标原点）的中点B，且ON=2BM，则双曲线C的离心率为().3【答案】A【分析】因为ON=2BM，且OB=BN，可得NF丄OM，再结合双曲线的知识可得OM=OA=a，利用几何知识可得△MNB为等边三角形=tan60。，进而求【详解】记M为双曲线的渐近线bx-ay=0上的点，因为ON=2BM，且右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且丄，且tan上P则说法错误的 A．C的离心率为2B．C的渐近线方程为x±·3y=0【答案】B【分析】由题设及双曲线性质可得|PF2|=且c=2a，即可判断A、B；根据角平分线性质只需判断由b2由角平分线性质易知：PM平分上F1PF2，C正确；D正确.故选：B 只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).【典例1-1】（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),F为双曲线的右焦点，C的离心率的取值范围是()【答案】C心率的取值范围.【详解】依题意可知M在第一象限，N在第二象限，F(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离为λM--≥2)得iMNi=λb,:tan上NOM=，故选:C22【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为()【答案】C【分析】先写出直线的方程，联立双曲线的方程消去y，由k＝1得到>0，即>1．由k＝3得到<0，即再求离心率的范围.【详解】双曲线右焦点为(sa2+b2,0)，设过右焦点的直线为y=k(x-··ia2+b2)，与双曲线方程联立消去y可得到：(b2-a2k2)x2+2a2k2·a2+b2x-a2(a2k2+b2k2+b2)=0，由题意可知，当k＝1时，此方程有两个不相等的异号实根，当k=3时，此方程有两个不相等的同号实根<0，得0＜b＜3a，<3；又离心率的取值范围为(·,i10)．故选：C.【变式1-1】（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：-=1(a>0,b>0)的左顶点为A，右坐标原点若圆M的面积S满足S∈则双曲线C的离心率e的取值范围是()【答案】B结合圆的相交弦定理得ac=2，由圆M的面积S满足S∈即可求出双曲线C的离心率e的取值范围.由圆的相交弦定理知，ac=OAOF=OBOD=2.222【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别是F1，F2若222>4a2+3b2，则其离心率的取值范围是()A．【答案】D【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】设P(x0,y0)，222-4a，故4(x+y)>3b2-4a2①,0,c-y0).(-x0,-c-y0)=x+y-c2=-4a2，2-4a2②,由①②得4(c2-4a2)>3b2-4a2，即4c2>3b2+12a2，又b2=c2-a2，所以4c2>3(c2-a2)+12a2，即c2>9a2，即>3所以双曲线离心率的值大于3，故选：D【变式1-3】（2008·湖南·高考真题）若双曲线上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是()【答案】B【分析】根据题设条件可得基本量的关系，从而可求离心率.【详解】根据双曲线的第二定义，双曲线上横坐标为a的点到右焦点的距离为而该点到左准线的距离为故由条件知整理得e-1>综合e>1，解得e>2．故选：B题型08焦半径型离心率 圆锥曲线焦半径统一结论，其中p为交点到准线的距离，对椭圆和双曲线而言对于抛物线，则1-cosθ对于抛物线，则1-cosθ若双曲线右支上存在点P使得则离心率的取值范围为())【答案】C【分析】在△PF1F2中，由正弦定理可得再由已知可得=，根据点P在双曲线右支上，得到关于e的不等式，从而可求出e的范围.【详解】由题意可得点P不是双曲线的顶点，否则无意义因为点P在双曲线右支上，所以PF1-PF2=2a，所以PF2-PF2=2a，得由双曲线的性因为e>1，所以1<e<s2+1【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线左、右焦点分别为F1(-c,0)，Fc,0)，若双曲线右支上存在点P使得则离心率的取值范围为()C．)【答案】C【分析】由正弦定理得=>1，可得P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，=2a，根据P在双曲线右支上，得关于e的不等式，从而求出e的范围【详解】解：由题意，点P不是双曲线的顶点，否则无意义，cPF1ac由双曲线的几何性质，知PF22a22a2【变式1-1】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上点P(x,y)到焦点F2的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为() 【答案】A【分析】由椭圆上的点到焦点的距离最大值为a+c，最小值为a—c，可求出a,c，即可计算出离心率【详解】设椭圆的半焦距为c，由题意可得，解得a=2，c=1，所以椭圆C的离心率故选：A.【变式1-2】设F是椭圆=1(a>b>0)的右焦点，A是椭圆E的左顶点，P为直线x=上一点，ΔAPF是底角为300的等腰三角形，则椭圆E的离心率为4323【答案】B【详解】如图，设直线x=与x轴的交点为C，因为由椭圆性质可知，,:cos上PFx=(c,0)分别为椭圆+=1(a>b>0)的左，右焦点，若直线x=上存在点=2c，则椭圆离心率的取值范围为.【分析】由题设易知|PF2|≥结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围.题型09焦点三角形求离心率22【典例1-1】已知F1,F2分别是椭圆1的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P,使得ΔPF1F2的面积为·,则椭圆C的离心率的取值范围是【答案】A 【分析】设椭圆的上顶点为A,问题转化为ΔAF1F2的面积大于3，解不等式即可.故选A.【答案】C【分析】根据椭圆定义得到F1P+F2P=2a，由PF1.PF2=0得到PF1丄2，两式结合求出PF1.PF2=2a22c2，结合S△FPF=c2得到a2=2c2，求出离心率.由椭圆定义可知：F1P+F2P=2a，又S△,所以a2c2=c2，即a2=2c222【变式1-1】.已知F是椭圆的一个焦点，若直线y=kx与椭圆相交于A,B两点，且【答案】A【分析】将A,B与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.【详解】如图设F1，F分别为椭圆的左、右焦点，设直线y=kx与椭圆相交于A,B，连接AF1,AF,BF1,BF.根据椭圆的对称性可得：四边形AF1BF为平行四边形.iAF当且仅当AF1=AF时取等号，又y=kx的斜率存在，故A，B不可能在y轴上.2c所以等号不能成立,即即ca2如图，椭圆C:的左右焦点分别是F1,F2，点P、Q是C上的两点，若【答案】A【分析】延长QF2交椭圆C于点M，在RtΔF1MQ和RtΔF1MF2两个直角三角形中结合勾股定理和椭圆的几何性质建立等量关系求解.【详解】延长QF2交椭圆C于点M，得RtΔF1MQ，RtΔF1MF2，设QF2【变式1-3】已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，直线y=kx与C交于点M，N，【答案】A【分析】根据题意可知四边形MF1NF2为平行四边形，设M(x1，y1)，进而得c+x1=y1，根据四边形面积求出点M的坐标，再代入椭圆方程得出关于e的方程，解方程即可.【详解】如图，不妨设点M(x1，y1)在第一象限，因为四边形MF1NF2的面积为，所以S△M×y1=cy1，得4=2cy1，由a2b2=c2，得4c2=2cy1，解得y1=2c，所以x1=c，即点M(c,2c)，代入椭圆方程， 解得e2+2e1=0，由e>0，得e=21.故选：A题型10双焦点三角形余弦定理型 圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：1.焦点四边形具有中心对称性质。2.焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。3.焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解【典例1-1】椭圆的两个焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，MF2=F1F2，则椭圆的离心率为.【答案】|=2a，即有2c+4t=2a，取MF1关系式，联立解得a，c，运用离心率公式计算即可得到答案.【详解】设椭圆|=2c，如图示：2121,=FF2,则AF2丄MN，由勾股定理可得|MF2|2|MA|2=|NF2|2|即为4c24t2=(2a3t)225t2，②由①②解得a=7t，c=5t，则离心率故答案为：22【典例1-2】已知椭圆以为左右焦点，点P、Q在椭圆上，且PQ过右焦点F2，【答案】A即可得解.【详解】解：根据题意可得如图椭圆，△F1PQ是直角三角形，sin上故选：A.段BF1上靠近F1的四等分点．若对于线段BF1上的任意点P，都有PF1.PD≥EF1.ED成立，则椭圆的离心率【变式1-1】如图所示，F1,F2段BF1上靠近F1的四等分点．若对于线段BF1上的任意点P，都有PF1.PD≥EF1.ED成立，则椭圆的离心率 【答案】【分析】取F1D的中点Q，连EQ．PQ．根据向量的加法和减法转化同理等价于|，由点P的任意性判断EQ丄BF1，得到DF1=|DB|，根据几何关系和椭圆定义得到边长，根据余弦定理建立方程求椭圆的离心率.【详解】解：取F1D的中点Q，连上的任意一 3故答案为：3【变式1-2】已知椭圆F1的左焦点F1和右焦点F2，上顶点为A，AF2的中垂线交椭圆于点B，若左焦点F1在线段AB上，则椭圆离心率为. 【答案】【详解】如图，设BF2=t，由椭圆的定义可得BFF2F2F上B=即椭圆的离心率为．故答案为：.【变式1-3】.已知椭圆C的焦点为F1，F2，过F1的直线与C交于A，B两点，若 【答案】C【解析】由题意可表示出AF1、BF1、BF2，在在ΔAF1F2和ΔBF1F2中利用余弦定理，再根据F2=0，得到方程，解得.在和中利用余弦定理可得2题型11焦点三角形双角度型 22设椭圆b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F222设双曲线0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2【典例1-1】（2023秋·河北保定·高三校考）已知椭圆E的两个焦点分别为F1,F2，点P为椭圆上一点，且4【答案】/1i1044PF=2a，得到=2a，即可求得椭圆的离心率.=FF2sin上P所以故答案为：.若椭圆上存在一点P使，且c=..【分析】根据正弦定理和已知条件可得结合椭圆的定义可得iPF2i=，再根据【详解】由正弦定理得，又所以=，所以因为ac<PF2<a+c(不等式两边不能取等号，否则题目中分式的分母为0，无意义)，所以λ=e∈.=π-4θ.然后根据正弦定理可求出根据椭圆的定义可推得=2a，化简整理可得=2cosθ-求出cosθ∈,令t=cosθ,构造函数=2t-根据函数的单调性，即可得出答案.FF=π-4θ.由正弦定理可得,且sin7PF2F1=3sin7PF1F2，则椭圆E的离心率为()【答案】B【分析】由题意得PF1=3PF2，利用椭圆定义及勾股定理求得椭圆参数关系，即可求离心率.【详解】由题意及正弦定理得：PF1=3PF2，2令PF122,F2为椭圆的两个焦点，则椭圆的离【答案】B【分析】设PF1=m,PF2=n，利用正弦定理，求得m,n与c的关系，进而求得椭圆的离心率，得到答案.在△PF1F2中，由正弦定理得可得题型12共焦点型椭圆双曲线离心率 椭圆与双曲线共焦点F1、F2，它们的交点P对两公共焦点F1、F2的张角为上F1PF2=2θ,椭圆与双曲线的【典例1-1】（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆C1和双曲线C2的焦点相同，记左、右焦点分别为F1，F2，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，设点P为C1与C2在第一象限内的公共点，且满足PF1=kPF2，若的值为()【答案】A【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，iPF2i=，(a1,a2分别为椭圆的长半轴长及双曲线的实半轴长)，从而得再代入中，求解即可.【详解】设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a1,b1，半焦距为c，双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为a2,b2，半焦距为c，又因为点P为C1与C2在第一象限内的公共点，且满足PF1=kPF2，所以k>0且k≠1，由双曲线的定义可得PF1-PF2=kPF2-PF2=(k-1)PF2=2a2，所以所以所以【典例1-2】（2022秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）已知椭圆双曲线的焦点，P为C1和C2的交点，若△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为1，C1和C2的离心率之积为，则实数a的值为()【答案】A【分析】设△PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1，PF2，F1F2的切点为M，N，K，由切线长相等，以及双曲线的定义，可得内切圆的圆心横坐标为b，运用离心率公式，可得a.【答案】D【详解】不妨设点P在第一象限，设△PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1，PF2，F1F2的切点为M，N，K，*可得|PM|=|PN|，F2K=F2N,MF1=F1K，又F1K+F2K=2c，可得F1K=c+b，可得内切圆的圆心I的横坐标为b=1，1和C2的离心率之积为，可得解得a=3，故选：A>0）有公共焦点F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P．若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，【答案】B【分析】设曲线C1，C2的焦距为2c，则可得PF2=F1F2=2c，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出a1,a2,c的关系，变形后可得结果.【详解】设曲线C1，C2的焦距为2c.△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，则PF2=F1F2=2c.【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1，F2，若C1，C2在第一象限内的交点为P，且满足上POF2=2上PF1F2，设e1，e2分别是C1，C2的离心率，则e1，e2的关系是 e2再结合椭圆和双曲线定义、勾股定理列式整理可得.记椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，PF1=m,PF2=n则由椭圆和双曲线定义可得：由勾股定理知，m2+n2=4c2，代入上式可得2c2=a+a整理得即=2所以e故选：D【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知F1,F2分别是椭圆C1和双曲线C2的公共的左右焦点，e1、e2是C1、C2的离心率，若C1、C2在第一象限内的交点为P，且满足上POF2=2上PF1F2，则e1、e2的关系是()e2【答案】A【分析】先确定PF1丄PF2，再利用勾股定理、椭圆、双曲线的定义，即可得出结论.【详解】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，PF1PFPF2PF所以PF1丄PF2，所以m2+n2=所以e+e=2ee.故选：A.题型13借助均值不等式求共焦点型【典例1-1】、已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们一个公共点，且上椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2，则e+e的最小值. 【解析】由题意，可设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，由椭圆和双曲线的定义可知，PF12a2，又PF22222(a1e2,)【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且上记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则当e1e2取最大值时，e1，e2的值分别是() 【答案】A根据上利用余弦定理得到a2+3a一4c2=0，进而得到再利用基本不等式求解.【详解】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为c=aa2b2设PF1111.所以2=时取等号.故选：A.>0)的一个交点，F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1,e2分别为椭圆和双曲线的离心 【答案】D【分析】利用椭圆的定义和双曲线的定义，以及余弦定理列方程，转化为离心率的形式，并用基本不等式求得最小值.【详解】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，那么PF1>PF2，半焦距为c，2a2，在△F1PF2中，由余弦定理，可得：F1F22=PF12+PF22一2PF1PF2cos，所以当且仅当e2=43e1取等号.故选：D.设椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2，P为两曲线的一个公共点，且PF1一PF2=2PO(设椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2，P为两曲线的一个公共点，且PF1一PF2=2PO(其中O为坐标原点【答案】C【分析】利用椭圆、双曲线的定义，确定a2+m2=2c2，利用离心率的定义，结合基本不等式，即可得出结论.【详解】解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上22将④代入③得a2+m2=2c2，当且仅当，即a=2m时取等号；故选：C>0)有相同的焦点F1、F2，P点是曲线C1与C2的一个公共点，e1,e2分别是C1和C2的离心率，若PF1丄PF2，则4e+e的最小值为()【答案】B【分析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长2a1，双曲线实轴长为2a2，取椭圆与双曲线在一象限的交点为P，由已知条件结合椭圆双曲线的定义推出a12+a22=2c2，可得再利用基本不等式即可求出4e+e的最小值.【详解】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长2a1，双曲线实轴长为2a2，取椭圆与双曲线在一象限的交点为P，由椭圆和双曲线定义分别有PF1+PF2=2a1，PF1一PF2=2a2，因为PF1当且仅当即e122最小值为，故选：B.题型14焦点三角形内心型求离心率 双曲线中，焦点三角形的内心I的轨迹方程为x=证明：设内切圆与PF1,PF2,F1F2的切点分别为M,N,T，则由切线长定理可得=FT+F2T=2c，所以F2T=ca，所以点T的坐标为(a,0)，所以点I的横坐标为定值a.【典例1-1】（2022秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考）已知双曲线一的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点M在C的右支上运动，△MF1F2的内心为I，若IO=IF2，则C的离心率为 【答案】A【分析】首先设双曲线C的右顶点为A，△MF1F2的内切圆I与MF1、MF2、F1F2分别相切于点P、Q、N，根据双曲线的概念得到F1A一F2A=F1N一F2N，从而得到A与N重合，再结合题意得到c=2a，即可得到答案.【详解】设双曲线C的右顶点为A，△MF1F2的内切圆I与MF1、MF2、F1F2分别相切于点P、Q、N，如图所示：.QFNF2N，而FAF2A=F1NF2N，即A与N重合，即内切圆I与F1F2相切于点A，所以IA丄F1F2，又IO=IF2，所以A为OF2的中点，【典例1-2】2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知双曲线22的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上的一点，I为△PF1F2的内心，且IF=2PI，则C的离心率为()【答案】D【分析】延长IP到A且|IP|=|PA|，延长IF2到B且|IF2|=|F2B|，结合向量的线性关系知I是△ABF1的重心，根据重心和内心的性质，进而得到|PF1|=|F1F2|=2|PF2|，由双曲线定义得到齐次方程，即可求离心率.【详解】如下图示，延长IP到A且|IP|=|PA|，延长IF2到B且|IF2|=|F2B|，故选：D别是双曲线C的左，右焦点，M为△PF1F2的内心，若双曲线C的离心率且S△MP=S△MP则λ=()24【答案】D结合双曲线的定义及离心率即可求解.【详解】设△PF1F2内切圆的半径为r，则S△MP,S△MPF2=,S△Mλ=.故选：D.【变式1-2】（2022秋·四川宜宾·高三宜宾市叙州区第一中学校校考）已知F1、F2分别为双曲线一的左、右焦点，且为双曲线右支一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF=S△IPF+λS△IFF成立，给出下列结论：②离心率1④点I的横坐标为定值a上述结论正确的是()【答案】D的内切圆半径为r，利用面积公式求得λ,可判定③正确；设内切圆与PF1,PF2,F1F2的切点分别为M,N,T，结合双曲线的定义，求得I的横坐标，可判定④正确.当P丄x轴时，可得，此时tan上P，所以①不正确；可得e2e1=0（其中e为双曲线的离心率，e>1所以e=5，所以②正确；设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义可得PF1PFPF2PFFFFF因为S△IP=S△IPF2+F2，所以设内切圆与PF1,PF2,F1F2的切点分别为M,N,T，可得F2T=ca，则点T的坐标为(a,0)，所以I点横坐标为a，所以④正确.故选：D.22【变式1-3】（2023秋·高三课时练习）已知F1、F2分别为双曲线一的左、右焦点，且为双曲线右支上一点，I为△PF1F2内心，若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2，则λ的值为()【答案】CPF+λFF2，结合双曲线的定义以及即可求解.【详解】如图所示：由题意I为△PF1F2内心，化简得PF1=PF2+λF1F2，由双曲线定义可知PF1一PF2=2a=λ.(2c)=λF1F2，因此有题型15焦点三角形重心型求离心率焦点，点A是双曲线C右支上一点，若△AF1F2的内切圆M的半径为a，且△AF1F2的重心G满足MG=λF1F2则双曲线C的离心率为() 【答案】C【分析】根据=λ2，得到yM=yG=a，yA=3yG=3aS△AFF,AF2，再利用距离公式得到xA=2a，进而得到A的坐标，代入双曲线方程求解即可.AF2(a,A221)，(a,A+exA，解得xA=2a，所以A(2a,3a)，代入双曲线方程得：a2a22【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）在双曲线C：一=1(a>0,b>0)的右支上存在点A，使得点A与双曲线的左、右焦点F1，F2形成的三角形的内切圆P的半径为a，若ΔAF1F2的重心G满足PG//F1F2，则双曲线C的离心率为 【答案】C【详解】如图，由PG平行于x轴得yG=yP=a，则yA=3yG=3a，所以△AF1F2的面积S=●2c●3a即故选C.【变式1-1】（2022春·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）设双曲线的左右焦点分别为F1,F2,若在曲线C的右支上存在点P，使得△PF1F2的内切圆半径为a，圆心记为M，又△PF1F2的重心为G，满足MG∥F1F2,则双曲线C的离心率为.【答案】C由MG∥,可得yG=yM=a，则yP=3yG=3a，由S△P.2c.结合双曲线的定义可求得P(2a,3a)，代入椭圆方程中化简可求出离心率2由MG//x轴得：yG=yM=a，则yP=3yG=3a，所以S△P.2c.3a=2又PF1=2a，得PFPF2PF1PFPF2PF(cxP)2，得(2c+a)2(xP+c)2=(2ca)2(cxP)2，化简得xP=2a，因此P(2a,3a)，代入椭圆方程得【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线=1(a>0,b>0)的左顶点为A，若在双曲线的右支上存在两点M，N，使△AMN为等边三角形，且右焦点为△AMN的重心，则该双曲线的离心率为()【答案】C【分析】设双曲线的右焦点为F，左焦点为F,，由重心性质可求MF，根据双曲线定义求MF,，在△MFF,中由余弦定理列方程可得a,c关系，由此可求离心率.【详解】设双曲线的右焦点为F，左焦点为F,，如图，连接MF，MF,.由△AMN为等边三角形，F为△AMN的重心，得AF=FM=a+c.2FM2FMFM22FM22【变式1-3】（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知双曲线一的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为M，若△MOF的重心G在双曲线上，则双曲线的离心率为【答案】B【分析】依次求出点M、G的坐标，然后由点G在双曲线上可建立方程求解.【详解】不妨设M在y=x，令M则有〔x0x02aab，所以M|(c,c,ab，所以M|(c,c,，c(a2) 题型16小题大做型求离心率【典例1-1】已知椭圆C:x2+my2=1(0<m<1)，若存在过点A(3,1)且互相垂直的直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C均无公共点，则该椭圆离心率的取值范围是()【答案】C【分析】判断l1，l2中一条斜率不存在和另一条斜率为0，两直线中有一条与椭圆相交，当两直线斜率存在且不为0时，可设l1:y—1=k(x—3)，联立椭圆方程，由于判别式小于0，以及求根公式，结合两直线垂直的条件，可将k换为—，解不等式，考虑不等式有解，可得m的范围，即可得到所求离心率的范围.过点A（3，1）的直线l1，l2中一条斜率不存在和另一条斜率为0时，斜率为0的直线与椭圆相交，当两直解得22如图，椭圆Γ:的离心率为e，F是Γ的右焦点，点P是Γ上第一象限内任意【答案】B【解析】根据题设条件求出λ,从而得到一个关于直线OP的斜率恒成立的不等式，故可得关于基本量的不等式，据此可求离心率的范围.【详解】因为点P是Γ上第一象限内任意一点，故上POF为锐角，所以tan上POF<1，设直线OP的斜率为k，则0<k<1.所以解得，因为λ>e对任意的0<k<1恒成立，【变式1-1】存在过椭圆左焦点F1的弦MN，使得|MN|=，则椭圆C的离心率的 【答案】D当MN丄x轴，即a2=4b2，结合e=·i即可求得离心率，②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为：y=k(x+c)，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出x1+x2和x1x2，即可求得弦长|MN|=设直线MN的倾斜角为α,化简得到进一步可得,利用cos2α的范围，即可取得离心率的最小值.所以，即a2=4b2，所以离心率②当MN不垂直于x轴时，F1(—c,0)，设MN的方程为：y=k(x+c)，(a2k2+b2)x2+2a2ck2x+a2c2k2a2b2=0，由弦长公式知：化简得：设直线MN