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文档简介

北京市丰台区北京第十二中学2023届高考最新原创信息试卷数学试题(七)注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知定义在上的函数,若函数为偶函数,且对任意,,都有,若,则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.在直三棱柱中,己知,,,则异面直线与所成的角为()A. B. C. D.3.已知为虚数单位,若复数,,则A. B.C. D.4.如图是函数在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将的图象上的所有的点()A.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变B.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变C.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变D.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为11,则图中的判断条件可以为()A. B. C. D.6.关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值:先用计算机产生个数对,其中,都是区间上的均匀随机数,再统计,能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若,则的估计值为()A. B. C. D.7.已知复数满足(是虚数单位),则=()A. B. C. D.8.已知复数满足,且,则()A.3 B. C. D.9.已知等差数列的公差为-2,前项和为,若,,为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为,则的最大值为()A.5 B.11 C.20 D.2510.设椭圆:的右顶点为A,右焦点为F,B、C为椭圆上关于原点对称的两点,直线BF交直线AC于M,且M为AC的中点,则椭圆E的离心率是()A. B. C. D.11.已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是()A. B. C. D.12.已知正项等比数列的前项和为,则的最小值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.集合,,若是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则下列说法正确的为________①的值可以为2;②的值可以为;③的值可以为;14.若满足,则目标函数的最大值为______.15.有以下四个命题:①在中,的充要条件是;②函数在区间上存在零点的充要条件是;③对于函数,若,则必不是奇函数;④函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为______.16.已知两圆相交于两点,,若两圆圆心都在直线上,则的值是________________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图在棱锥中,为矩形,面,(1)在上是否存在一点,使面,若存在确定点位置,若不存在,请说明理由;(2)当为中点时,求二面角的余弦值.18.(12分)已知函数,.(1)当时,①求函数在点处的切线方程;②比较与的大小;(2)当时,若对时,,且有唯一零点,证明:.19.(12分)已知多面体中,、均垂直于平面,,,,是的中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.20.(12分)已知函数(,)满足下列3个条件中的2个条件:①函数的周期为;②是函数的对称轴;③且在区间上单调.(Ⅰ)请指出这二个条件,并求出函数的解析式;(Ⅱ)若,求函数的值域.21.(12分)2019年是五四运动100周年.五四运动以来的100年,是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的100年,是中口青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年.为继承和发扬五四精神在青年节到来之际,学校组织“五四运动100周年”知识竞赛,竞赛的一个环节由10道题目组成,其中6道A类题、4道B类题,参赛者需从10道题目中随机抽取3道作答,现有甲同学参加该环节的比赛.(1)求甲同学至少抽到2道B类题的概率;(2)若甲同学答对每道A类题的概率都是,答对每道B类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.现已知甲同学恰好抽中2道A类题和1道B类题,用X表示甲同学答对题目的个数,求随机变量X的分布列和数学期望.22.(10分)在平面直角坐标系中,已知点,曲线:(为参数)以原点为极点,轴正半轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(Ⅰ)判断点与直线的位置关系并说明理由;(Ⅱ)设直线与曲线的两个交点分别为,,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】

根据题意,分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数,则不等式等价于,解得的取值范围,即可得答案.【详解】解:因为函数为偶函数,所以函数的图象关于对称,因为对任意,,都有,所以函数在上为减函数,则,解得:.即实数的取值范围是.故选:A.【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于综合题.2.C【解析】

由条件可看出,则为异面直线与所成的角,可证得三角形中,,解得从而得出异面直线与所成的角.【详解】连接,,如图:又,则为异面直线与所成的角.因为且三棱柱为直三棱柱,∴∴面,∴,又,,∴,∴,解得.故选C【点睛】考查直三棱柱的定义,线面垂直的性质,考查了异面直线所成角的概念及求法,考查了逻辑推理能力,属于基础题.3.B【解析】

由可得,所以,故选B.4.A【解析】

由函数的最大值求出,根据周期求出,由五点画法中的点坐标求出,进而求出的解析式,与对比结合坐标变换关系,即可求出结论.【详解】由图可知,,又,,又,,,为了得到这个函数的图象,只需将的图象上的所有向左平移个长度单位,得到的图象,再将的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)即可.故选:A【点睛】本题考查函数的图象求解析式,考查函数图象间的变换关系,属于中档题.5.B【解析】

根据程序框图知当时,循环终止,此时,即可得答案.【详解】,.运行第一次,,不成立,运行第二次,,不成立,运行第三次,,不成立,运行第四次,,不成立,运行第五次,,成立,输出i的值为11,结束.故选:B.【点睛】本题考查补充程序框图判断框的条件,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略.6.B【解析】

先利用几何概型的概率计算公式算出,能与构成锐角三角形三边长的概率,然后再利用随机模拟方法得到,能与构成锐角三角形三边长的概率,二者概率相等即可估计出.【详解】因为,都是区间上的均匀随机数,所以有,,若,能与构成锐角三角形三边长,则,由几何概型的概率计算公式知,所以.故选:B.【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率,考查学生的基本计算能力,是一个中档题.7.A【解析】

把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解:由,得,.故选.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.8.C【解析】

设,则,利用和求得,即可.【详解】设,则,因为,则,所以,又,即,所以,所以,故选:C【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.9.D【解析】

由公差d=-2可知数列单调递减,再由余弦定理结合通项可求得首项,即可求出前n项和,从而得到最值.【详解】等差数列的公差为-2,可知数列单调递减,则,,中最大,最小,又,,为三角形的三边长,且最大内角为,由余弦定理得,设首项为,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前项和.故的最大值为.故选:D【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查求前n项和的最值问题,同时还考查了余弦定理的应用.10.C【解析】

连接,为的中位线,从而,且,进而,由此能求出椭圆的离心率.【详解】如图,连接,椭圆:的右顶点为A,右焦点为F,B、C为椭圆上关于原点对称的两点,不妨设B在第二象限,直线BF交直线AC于M,且M为AC的中点为的中位线,,且,,解得椭圆的离心率.故选:C【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,考查了运算求解能力,属于基础题.11.C【解析】试题分析:如下图所示,则,因为与的夹角为,即,所以,设,则,在三角形中,由正弦定理得,所以,所以,故选C.考点:1.向量加减法的几何意义;2.正弦定理;3.正弦函数性质.12.D【解析】

由,可求出等比数列的通项公式,进而可知当时,;当时,,从而可知的最小值为,求解即可.【详解】设等比数列的公比为,则,由题意得,,得,解得,得.当时,;当时,,则的最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法,考查等比数列的性质,考查学生的计算求解能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.②③【解析】

根据对称性,只需研究第一象限的情况,计算:,得到,,得到答案.【详解】如图所示:根据对称性,只需研究第一象限的情况,集合:,故,即或,集合:,是平面上正八边形的顶点所构成的集合,故所在的直线的倾斜角为,,故:,解得,此时,,此时.故答案为:②③.【点睛】本题考查了根据集合的交集求参数,意在考查学生的计算能力和转化能力,利用对称性是解题的关键.14.-1【解析】

由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】由约束条件作出可行域如图,化目标函数为,由图可得,当直线过点时,直线在轴上的截距最大,由得即,则有最大值,故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.①【解析】

由三角形的正弦定理和边角关系可判断①;由零点存在定理和二次函数的图象可判断②;由,结合奇函数的定义,可判断③;由函数图象对称的特点可判断④.【详解】解:①在中,,故①正确;②函数在区间上存在零点,比如在存在零点,但是,故②错误;③对于函数,若,满足,但可能为奇函数,故③错误;④函数与的图象,可令,即,即有和的图象关于直线对称,即对称,故④错误.故答案为:①.【点睛】本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断,考查判断能力和推理能力,属于中档题.16.【解析】

根据题意,相交两圆的连心线垂直平分相交弦,可得与直线垂直,且的中点在这条直线上,列出方程解得即可得到结论.【详解】由,,设的中点为,根据题意,可得,且,解得,,,故.故答案为:.【点睛】本题考查相交弦的性质,解题的关键在于利用相交弦的性质,即两圆的连心线垂直平分相交弦,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析;(2)【解析】

(1)要证明PC⊥面ADE,由已知可得AD⊥PC,只需满足即可,从而得到点E为中点;(2)求出面ADE的法向量,面PAE的法向量,利用空间向量的数量积,求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值.【详解】(1)法一:要证明PC⊥面ADE,易知AD⊥面PDC,即得AD⊥PC,故只需即可,所以由,即存在点E为PC中点.法二:建立如图所示的空间直角坐标系D-XYZ,由题意知PD=CD=1,,设,,,由,得,即存在点E为PC中点.(2)由(1)知,,,,,,设面ADE的法向量为,面PAE的法向量为由的法向量为得,得,同理求得所以,故所求二面角P-AE-D的余弦值为.【点睛】本题考查二面角的平面角的求法,考查直线与平面垂直的判定定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力.18.(1)①见解析,②见解析;(2)见解析【解析】

(1)①把代入函数解析式,求出函数的导函数得到,再求出,利用直线方程的点斜式求函数在点处的切线方程;②令,利用导数研究函数的单调性,可得当时,;当时,;当时,.(2)由题意,,在上有唯一零点.利用导数可得当时,在上单调递减,当,时,在,上单调递增,得到.由在恒成立,且有唯一解,可得,得,即.令,则,再由在上恒成立,得在上单调递减,进一步得到在上单调递增,由此可得.【详解】解:(1)①当时,,,,又,切线方程为,即;②令,则,在上单调递减.又,当时,,即;当时,,即;当时,,即.证明:(2)由题意,,而,令,解得.,,在上有唯一零点.当时,,在上单调递减,当,时,,在,上单调递增..在恒成立,且有唯一解,,即,消去,得,即.令,则,在上恒成立,在上单调递减,又,,.在上单调递增,.【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查利用导数研究函数的单调性,考查逻辑思维能力与推理论证能力,属难题.19.(1)见解析;(2).【解析】

(1)取的中点,连接、,推导出四边形为平行四边形,可得出,由此能证明平面;(2)由,得平面,则点到平面的距离等于点到平面的距离,在平面内过点作于点,就是到平面的距离,也就是点到平面的距离,由此能求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)取的中点,连接、,、分别为、的中点,则且,、均垂直于平面,且,则,且,所以,四边形为平行四边形,则,平面,平面,因此,平面;(2)由,平面,平面,平面,点到平面的距离等于点到平面的距离,在平面内过点作于点,平面,平面,,,,平面,即就是到平面的距离,也就是点到平面的距离,设,则到平面的距离,,因此,直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.20.(Ⅰ)只有①②成立,;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)依次讨论①②成立,①③成立,②③成立,计算得到只有

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