67-陪集和拉格朗日定理教学教案

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12025/1/186.7陪集和拉格朗日定理陪集：设<H,*>是群<G,*>的一个子群，a∈G,则集合aH={a*b|b∈H},称为由a确定的H在G中的左陪集。元素a∈aH称为左陪集aH的代表元素。同理，Ha={b*a|b∈H}称为由a确定的H在G中的右陪集。

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22025/1/186.7陪集与拉格朗日定理【例题】<{0,2,4},+6>是<N6,+6>的子群，求<{0,2,4},+6>的所有左陪集。解答：由0确定的左陪集：{0,2,4}

由1确定的左陪集：{1,3,5}

由2确定的左陪集：{0,2,4}

由3确定的左陪集：{1,3,5}

由4确定的左陪集：{0,2,4}

由5确定的左陪集：{1,3,5}

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32025/1/186.7陪集与拉格朗日定理【例题】

设G=R×R,R为实数集，G上的一个二元运算+定义为<x1,y1>+<x2,y2>=<x1+x2,y1+y2>

显然，<G,+>是一个具有幺元<0,0>的阿贝尔群。设H={<x,y>|y=2x,x,y∈R},很容易验证<H,+>是<G,+>的子群。对于<x0,y0>∈G,求H关于<x0,y0>的左陪集。

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52025/1/186.7陪集性质『定理』设<H,*>是群<G,*>的一个子群，aH和bH是任意两个左陪集，那么aH=bH或aH∩bH=φ

。证明：假设aH∩bH≠φ,则存在元素h1∈H,h2∈H使得a*h1=b*h2=c。则有a=b*h2*h1-1。任取x∈aH,存在h3∈H,使得a*h3=x=b*(h2*h1-1*h3)

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62025/1/186.7陪集性质而h2*h1-1*h3∈H,所以x∈bH。因此,aHbH

。同理可以得到bHaH。这样，可以得到aH=bH。又aH和bH都是非空集合，aH=bH或aH∩bH=不可兼得。所以定理得证。

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72025/1/186.7陪集性质『定理』设<H,*>是群<G,*>的一个子群，aH和bH是任意两个左陪集，那么|aH|=|bH|=|H|。证明：a∈G,对于H中任意元素h1,h2∈H,若h1≠h2,则必有

a*h1≠a*h2所以|aH|=|H|。同理也有|bH|=|H|。

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82025/1/186.7陪集性质『定理』设<H,*>是群<G,*>的一个子群，a,b∈G,aH是由a确定的H在G中的左陪集。b∈aH当且仅当a-1*b∈H。证明：b∈aH当且仅当存在h∈H,使得a*h=b,即h=a-1*b∈H。

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92025/1/186.7拉格朗日定理『定理』(拉格朗日定理)设<H,*>是群<G,*>的一个子群，那么有(1)R={<a,b>|a∈G∧b∈G∧a-1*b∈H}是G中的等价关系，且有[a]R=aH。(2)若G是有限群，|G|=n,|H|=m,则m|n。证明：(1)(i)(证明R是自反的)任取a∈G,则a-1∈G,可得a*a-1=e∈H因此<a,a>∈R，R是自反的。1736－1813

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102025/1/186.7拉格朗日定理(ii)(证明R是对称的)若<a,b>∈R,则a-1*b∈H。因为<H,*>是<G,*>的子群，则有(a-1*b)-1∈H,即b-1*a∈H,即<b,a>∈R。因此R是对称的。(iii)(证明R是传递的)若<a,b>∈R,<b,c>∈R,则a-1*b∈H,且b-1*c∈R。因此有(a-1*b)*(b-1*c)=a-1*c∈R所以<a,c>∈R。因此R是传递的。

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112025/1/186.7拉格朗日定理由(i)、(ii)、(iii)可知，R是G上的一个等价关系。(2)由于R是G上的一个等价关系，所以必将G划分成不同的等价类[a1]R,[a2]R,…,[ak]R，使得

G==又因为|aH|=|H|=m，故有n=|G|=||==k|H|=km即m|n。

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122025/1/186.7拉格朗日定理的推论『推论1』任何质数阶的群没有非平凡子群。

这是因为，如果有非平凡子群，那么该子群的阶必定是原来群阶的一个因子，这与原来群的阶是质数相矛盾。『推论2』设<G,*>是n阶有限群，那么对于任意a∈G,a的阶数必是n的因子,并且an=e。证明：设a是G中任意元素，以a为生成元生成的循环群为

H={ai|i∈I}

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132025/1/186.7拉格朗日定理的推论显然<H,*>是<G,*>的一个子群。设|H|=m(m∈I,m>0)，根据拉格朗日定理，可知n=mk，k∈I+。根据循环群的性质有am=e且H={a,a1,…,am-1,e}证毕。