2024年上海高考数学高频考点 专题6-1 直线与圆的方程及位置关系（专题分层练）含详解

专题验收评价

专题6T直线与圆的方程及位置关系

内容概览

A-常考题不丢分

一.直线的倾斜角（共7小题）

二.直线的斜率（共1小题）

三.直线的截距式方程（共1小题）

四.直线的一般式方程与直线的平行关系（共1小题）

五.直线的一般式方程与直线的垂直关系（共1小题）

六.点到直线的距离公式（共1小题）

七.两条平行直线间的距离（共1小题）

八.圆的标准方程（共1小题）

九.轨迹方程（共1小题）

十.圆的方程的应用（共1小题）

十一.直线与圆相交的性质（共1小题）

十二.直线与圆的位置关系（共3小题）

十三.圆与圆的位置关系及其判定（共4小题）

B•拓展培优拿高分（压轴题）

C-挑战真题争满分

A•常考题不丢分、

一.直线的倾斜角（共7小题）

1.（2023春•黄浦区校级期中）若直线/的一个方向向量为（-1,V3），则它的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.（2023春•徐汇区校级期末〉已知直线/的方程为方卷=「则直线/的倾斜角a=.

3.（2023春•浦东新区期末）直线«x+y+l=0的倾斜角是.

4.（2023秋•宝山区校级月考）直线、”x+y-3=0的倾斜角为.

5.（2023春•黄浦区校级期中）过P（-2,/〃）、Q（m,4）两点的直线的倾斜角为45°,那么m=.

6.（2023春•静安区校级期中）直线小/§.、叶2023=0的倾斜角的大小为.

7.（2023春•宝山区期末）直线x=l为倾斜角为.

二.直线的斜率（共1小题）

8.（2023秋•宝山区校级月考）P（x,y）在线段/W上运动，已知A（2,4）,B（5,-2）,则四的取值

x+1

范围是.

三.直线的截距式方程（共1小题）

9.（2023•浦东新区校级开学）已知定点P（6,4）与定直线A：）=4斯过P点的直线/与人交于第一象限

Q点,与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线方程为.

四.直线的一般式方程与直线的平行关系（共1小题）

10.（2023春•浦东新区期末）过点4（2,3）且与直线x+2y・6=0平行的直线方程是.

五.直线的一般式方程与直线的垂直关系（共1小题）

II.（2023春•浦东新区期末）直线八：x+叫+7=0和直线注（〃L2）x+3y+2〃尸0互相垂直，则实数楸的

值为（）

A.m=-3B.m'C.机=1或机=3D.机=-1或机=3

2

六.点到直线的距离公式（共1小题）

12.（2023秋•奉贤区校级月考）已知直线/：ax-y+2-a=0恒过点P,且与x轴，），轴分别交于A,B两点,

。为坐标原点.

（I）求点P的坐标；

（2）当点。到直线/的距离最大时，求直线/的方程；

（3）当附|・|P8|取得最小值时，求AAOB的而积.

七.两条平行直线间的距离（共1小题）

13.〔2023春•徐汇区校级期中）若动点八（xi,户）、B（AZM分别在直线kx+y-7=0和/2：x+y-5=

0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为.

A.圆的标准方程（共1小题）

14.（2023秋•浦东新区校级月考）同心在第一象限，半径为1,且同时与x,y轴相切的圆的标准方程

为.

九.轨迹方程（共1小题）

15.（2023秋•浦东新区校级月考）阿波罗尼斯是古希月昔著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山

大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》

一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A,8的距离之比为入（人,

0,入H1）,那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点〃与两定点A3，0）.8（5,0）的距离之比

5

为5时的阿波罗尼斯圆为7+）2=9.下面，我们来研究与此相关的一个问题：己知圆。：/+『=4上的

5

动点M和定点A（-1，0）,8（1,1）,则21MAl+|M8|的最小值为1）

A.2+710B.V21c.V26D.V29

一十.圆的方程的应用（共1小题）

16.12023春•静安区校级期中）函数/（%）=Asin（o）x+（p）（A>0,u）>0,0<（p<n）的部分图象如图中实

线所示，图中圆C与/（x）的图象交于M、N两点，且M在），轴上，圆的半径为且L,则f（A）

126

一十一.直线与圆相交的性质（共1小题）

17.（2023春•浦东新区校级期中）已知直线/过点（7,0）且与直线产0垂直，则圆）+/-以+8），

=0与直线/相交所得的弦长为.

一十二.直线与圆的位置关系（共3小题）

18.（2023春•浦东新区校级期中）在平面直角坐标系xQy中，已知直线/：,，=依+8上存在点P,过点P作

圆。：/+,2=4的切线，切点分别为人（XI,yi）,B（X2，”），且人1¥2+户”=-2,则实数〃的取值范围

M是弦PQ的中点；且直线/与直线机：x+3尸'6=0相交于点N.

（I）当直线/与直线机垂直时，求证：直线/经过圆心C：

（2）当弦长|PQ=2%时，求直线/的方程:

（3）设，=标.讪，试问，是否为定值，若为定值，请求出/的值；若不为定值，请说明理由.

7.（2023春•浦东新区校级期中）已知直线/：y=kx（^0）与圆C：W+y2・2x-3=0相交于A、B两点.

（I）若|A3|=JT^，求A；

（2）在x轴上是否存在点M,使得当女变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0,若存在，求出点M

的坐标；若不存在，说明理由.

8.（2023春•杨浦区校级期中〉已知圆心在1轴上的圆C经过两点A（1,0）、B（3,2）.

（I）求此圆的标准方程：

（2）求过点P（5,4）且与此圆相切的直线/的一般式方程.

9.(2023春•黄浦区校级期中)已知圆M经过A(-1,0)、8(1,-2),C(3,0),圆N：/+/-公+24尸/

=0.

(1)求圆M的标准方程：

(2)若圆M与圆N相切，求a的值.

10.(2023春•长宁区校级期中)已知圆C：(x-2)2+/=],动直线/过点P(1,2).

(1)若直线/与圆C相切，求直线/的方程；

(2)若直线/与圆C相交于不同的A,8两点，求弦A8的中点"为轨迹.

C•挑战真题争满分

选择题(共6小题)

1.(2020•新课标川)点(0,-1)到直线y=A(x+1)距离的最大值为()

A.1B.V2C.V3D.2

2.（2023•乙卷）已知实数x,y满足d+y2-4x-2），-4=0,则x-y的最大值是（）

A.1+对1.B.4C.1+3&D.7

2

3.（2023♦全国）。为原点，。在圆C（x-2）2+（y-|）2=］上，。。与圆C相切，则|OP|=（）

A.2B.273C.V13D.V14

4.（2023•新高考I）过点（0,-2）与圆/+）2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=（）

A.1B.C.2/12.D.2^

444

5.（2022•北京）若直线Zr+厂1=0是圆（x-a）2+y2=l的一条对称轴，贝lja=（）

A.—B.—C.1D.-1

22

6.（2023•乙卷）己知OO的半径为1,直线附与。。相切于点A,直线与00交于8,C两点，D为

8C的中点，若|PO|=J5，则有•而的最大值为（）

A.B.C.I+V2D.2+V2

22

二.填空题（共8小题）

7.（2022•甲卷）设点M在直线1=0上，点（3,0）和（0,1）均在OM上，则G）M的方程

为.

8.（2022•乙卷）过四点（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三点的一个圆的方程为.

9.（2022•天津）若直线4-产m=0（加>0）与圆（x-l）2+（y-1产=3相交所得的弦长为则m=.

10.（2022•全国）已知O为坐标原点，点。在圆（X+1）2+『=9上，则0*的最小值为.

11.（2022•新高考H）设点A（-2,3）,B（0,a）,若直线A6关于对称的直线与圆（A+3）2+（y+2）

2=1有公共点，则a的取值范围是.

12.12023•新高考II）已知直线x■〃厅+1=0与0C：（x・1）2+）2=4交于A,B两点,写出满足“△48C面

积为的，〃的一个值_______________________.

5

13.（2023•天津）过原点的—•条直线与圆C：（x+2）2+）2=3相切，交曲线）?=2〃x（p>0）于点P,若|OP|

=8,则〃的值为.

14.（2022•新高考I）写出与贝1+尸=1和（x-3）2+（y-G2=16都相切的一条直线的方

程.

三.解答题（共1小题）

15.：2017-上海）某景区欲建造两条恻形观景步道Mi、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知IABJ_AC,AB

=AC=AD=60（单位：米），要求圆Mi与AB、AO分别相切于点夙。，圆加2与人C、AD分别相切于

点C、。：

（I）若NBAD=6。：求圆Mi、"2的半径（结果精确到0.1米）

（2）若观景步道Mi与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆Mi、M2的大小，使

总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）

专题验收评价

专题6T直线与圆的方程及位置关系

内容概览

A-常考题不丢分

一.直线的倾斜角（共7小题）

二.直线的斜率（共1小题）

三.直线的截距式方程（共1小题）

四.直线的一般式方程与直线的平行关系（共1小题）

五.直线的一般式方程与直线的垂直关系（共1小题）

六.点到直线的距离公式（共1小题）

七.两条平行直线间的距离（共1小题）

八.圆的标准方程（共1小题）

九.轨迹方程（共1小题）

十.圆的方程的应用（共1小题）

十一.直线与圆相交的性质（共1小题）

十二.直线与圆的位置关系（共3小题）

十三.圆与圆的位置关系及其判定（共4小题）

B•拓展培优拿高分（压轴题）

C-挑战真题争满分

A•常考题不丢分

一.直线的倾斜角（共7小题）

1.（2023春•黄浦区校级期中）若直线/的一个方向向量为（-1,V3）,则它的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【分析】由方向向量可得直线/的斜率，再由攵=lana,得解.

【解答】解：由题意知，直线/的斜率为女=-«,

由A=tana=知，倾斜角a=120°.

故选：C.

【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，方向向量的概念，考查运算求解能力，属于基础题.

2.（2023春•徐汇区校级期末）已知直线/的方程为工茎=1，则直线2的倾斜角。=135°.

22

【分析】将直线方程化为斜截式，求出斜率，可得直线的倾斜角.

【解答】解：直线/的方程为x+y=2,即y=-x+2,

一线的斜率为・l=tana,ae（0,rr）,

则直线的倾斜角为135°,

故答案为：135°.

【点评】本题考查直线的方程，考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.

3.（2023春•浦东新区期末）直线«x+v+l=（）的倾斜角是一120。.

【分析】化直线方程的一般式为斜截式，利用倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角.

【解答】解：由如/y+l=0,得y=W^x-l,

设直线点x4y+l=0的倾斜角a（0°Wa<180°）,

则tana=-6,所以a=120°.

故答案为：120°.

【点评】本题考查了直线的一般式方程，考查了一般式化斜截式，考查了斜率是倾斜角的正切值，是基

础题.

4.（2023秋•宝山区校级月考）直线、3=0的倾斜角为

3

【分析】将直线方程化为斜截式，由斜率与倾斜角的关系即可求解.

【解答】解；直线J§x4y-3=0可化为），=-«卡3,

设直线的倾斜角为仇

则tan8=-V^,又8W[0,n),

所以。=空.

3

故答案为：

3

【点评】本题主要考查直线的倾斜角，考查运凫求解能力，属丁基础题.

5.（2023春•黄浦区校级期中）过P（・2,加）、。（皿4）两点的宜线的倾斜角为45°,那么〃尸1

【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解.

【解答】解:过户（-2,而、Q（m,4）两点的直线的倾斜角为45°,

则&PQ=tan45=1,

又kpQ=^inm=L

故答案为：1.

【点评】本题主要考查直线的斜率公式属于基础题.

6.（2023春•静安区校级期中）直线H«y+2023=0的倾斜角的大小为一旦匚_

6

【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系”算可得.

【解答】解:直线乂砥丫+2023=0的斜率卜=云=当，

设直线的倾斜角为a,则女二七㊀八0二雪，

O

又0°WaV1800,

所以a=150°.

故答案为：150°

【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属

于基础题.

7.（2023春•宝山区期末）直线尸17倾斜角为90°.

【分析］利用直线的性质求解.

【解答】解：•・•直线x=l垂直于x轴，

・•.直线x=l的倾斜角为90°.

故答案为：90c.

【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线性质的合理运用.

二.直线的斜率（共1小题）

8.（2023秋•宝山区校级月考）P（%,y）在线段A3上运动，已知A（2,4）,B（5,-2）,则？的取值

x+1

范围是「告,

^^6-3

【分析】画出图形，求出。C的斜率，即可得到工旦的取值范围.

x+l

【解答】解：如图：四表示线段上的点与c（-1,-1）连线的斜率,

x+l

：.KAC=—,KBC=-—,

36

则工旦的取值范围是[_2，1]

x+l63

【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查计算能力.

三.直线的截距式方程（共1小题）

9.（2023•浦东新区校级开学）已知定点?（6,4）与定直线A：y=4x.过户点的直线/与八交于第一象限

Q点，与x轴正半轴交于点M,求使△OOM面枳最小的直线方程为x+v-10=0.

【分析】本题通过引入参数，设出Q，M的坐标，建立关于目标函数SAOQM的函数关系式，再由基本不

等式求出目标函数的最值.

【解答】解：设。（AO,4m）,Mtm,0）»由题意xo>O,">0,

因为。，P,M共线，所以攵PQ=APM,

4-4xo45x0

所以，解之得：m=一"T

6-XQ6-mx0-1

因为xo>O,机>0,所以xo-l>O.

10x02

所以S^OQM-IOM|・4xo=2〃m=

乙x0-1

令.vo-l=r,则/>0,

S=W（t+1）_!=］（）（，+_l+2）240,

tt

当且仅当/=l,即xo=2时，等号成立,

此时Q（2,8）,

故使△OQM面积最小的直线方程为：x+y-10=0.

故答案为：x+y-10=0.

【点评】本题考查两点连线的斜率公式，直线方程，三角形面积及基本不等式，属中档题.

四.直线的一般式方程与直线的平行关系（共1小题）

10.（2023春•浦东新区期末）过点4（2,3）且与直线A2），-6=0平行的直线方程是x+218=（）.

【分析】由所求的直线与直线x+2），-6=0平行，设出直线的方程，再将点A（2,3）代入直线方程，求

出参数，可得答案.

【解答］解：由题意，所求的直线与直线x+2y-6=0平行，

不设为x+2y+m=0,又直线过点A（2,3）,贝lj2+2X3+m=0,解得机=-8,

因此过点A（2,3）且与直线x+2y-6=0平行的直线方程是x+2），・8=0.

故答案为：x+2y-8=0.

【点评】本题考查了两直线的平行关系，属于基础题.

五.直线的一般式方程与直线的垂直关系（共1小题）

11.（2023春•浦东新区期末）直线A：工+,〃产7=0和直线/2：。〃-2）4+3尹2m=0互相垂直，则实数m的

值为（）

A.ni=-3B.m,C.，〃=1或，〃=3D.〃?=-1或加=3

2

【分析】直接利用直线垂直的充要条件求出机的值.

【解答】解：由于直线/1：x+my+l=0和直线/2：（zn-2）x+3y+2m=0互相垂直,

故〃2+3卅=0,

故〃尸

2

故选：B.

【点评】本题考杳的知识要点：直线垂直的充要条件，•元•次方程的解法，主要考查学生的运算能力

和数学思维能力，属于基础题.

六.点到直线的距离公式（共1小题）

12.《2023秋•奉贤区校级月考）已知直线/：办-）叶2-。=0恒过点以且与x轴，y轴分别交于A,8两点，

O为坐标原点.

（1）求点。的坐标；

（2）当点。到直线/的距离最大时，求直线/的方程：

（3）当|网"明取得最小值时,求△AOB的面积.

【分析】（1）将直线方程化为“（1・1）・）叶2=0,即可确定定点；

（2）由题意。到直线/的距离d=|OP|,列方程求参数，即可得直线方程：

（3）由题意A（亘2，0），8（0,2-a）,且aWO、“W2,结合基本不等式求|网|P用最小值，确定取

a

值条件，进而求aAOB的面积.

【解答】解：（1）直线/：a1.y+2-a=0,整理可得：a（x-1）-），+2=0,

可得直线恒过产（1,2）；

（2）要使点。到直线/的距离最大，则OPJJ,可得|0/1=正7=4可，

即O到直线I的距离d-/2~a।=|0P|=V5♦

Va2+1

两边平方可得：1f+4=5,整理得4/+4a+l=(2.+1)2=0,

a2+l

所以a=」，

2

,

所以-yx-y+-^-=0BPx+2y-5=0.

乙乙

（3）由题意，直线的截距均不为0,由题意和（1）可得A（总工，0）,B（0,2-“），且“WO、“H2,

因为0(1,2),所以陷=J(呼T)2+(O_2)2=2出■+1,|PB\=V(l-0)2+(2-a-2)2=Va2+1，

所以|PA|-|PB|=2^-y+l*Va2+l=2(Ia|仅当a=±1时等号成立，

所以a=±l时照||PB|取最小值,

当a=l,则4(7,0),B(0,1),此时aAOB的面积为工;

2

当。=-1,则A(3,0),8(0,3),此时△AOB的面积为❷：

2

【点评】本题考查点到直线的最大距离的求法，属于基础题.

七.两条平行直线间的距离(共1小题)

13.(2023春•徐汇区校级期中)若动点A(Xi,yi).B(X2,")分别在直线八：x+y-7=0和①x+y-5=

0上移动，则A8中点M到原点距离的最小值为3a.

【分析】根据题意可推断出M点的轨迹为平行于直线A、/2且到八、/2距离相等的直线/进而根据两直线

方程求得M的轨迹方程，进而利用点到直线的距离求得原点到直线的距离为线段AB的中点M到原点的

距离的最小值为，求得答案.

【解答】解：由题意知，M点的轨迹为平行于直线力、/2且到人、/2距离相等的直线/,故其方程为什)，

-6=0,

：.M到原点的距离的最小值为"=3=3'5.

V2

故答案为：372.

【点评】本题主要考查了两点间的距离公式的应用.考查了数形结合的思想的应用，基本的运算能力.

A.圆的标准方程(共1小题)

14.(2023秋•浦东新区校级月考)圆心在第一象限，半径为1,且同时与轴相切的圆的标准方程为(.r

-1)2+(y-1)2=1.

【分析】由题意利用待定系数法求出圆的标准方程.

【解答】解：♦.•圆心在第一象限，且同时与尤，y轴相切，

可设圆心为C(a,«),«>0,则半径为小由题意可得。=1,

故圆的标准方程为(x-1)2+(>>-1)2=1,

故答案为：（X-1）2+（＞'-1）2=1.

【点评】本题主要考查用待定系数法求圆的方程，属于基础题.

九.轨迹方程（共1小题）

15.（2023秋•浦东新区校级月考）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧儿里得、阿基米德被称为亚历山

大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》

一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A,3的距离之比为入（入,

0,人手1）,那么点M的凯迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M与两定由Al1"，0），4（5,。）的距离之比

为3时的阿波罗尼斯圆为f+『=9.下面，我们来研究与此相关的一个问题：己知圆O：/+『=4上的

5

动点M和定点A（-1,0）,8（1,1）,则21MAi+|M8|的最小值为（）

A.2W10B.V21C.V26D.V29

【分析】取点N（-4,0）,推理证明得|MM=2|MA|,把问题转化为求点M到定点8,N距离和的最小值

作答.

【解答】解：如图，点M在圆O：/+『=4上，取点N（-4,0）,连接MO,MM有QM=2|OM]=4，

OMON

当点O,M,N不共线时,=2，又NAOM=NMOM因此△AOMs/^MOM

OAOM

IHN|_|OM=2，当点O,历，N共线时，有-p叫=2，则|MM=2|M4|,

则有=

IMAIIOAINAI

因此2|MA|+|MB|=|MN|+|MB|)|BN|=V(-4-l)2+l2=V26>当且仅当点”是线段与圆

。的交点时取等号,

所以21MAi+|MB|的最小值为倔.

【点评】本题主要考查了圆中最值或范围问题，常见解法：（1）儿何法，若题目的条件和结论能明显体

现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决：(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函

数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围.属于中档题.

一十.圆的方程的应用(共1小题)

16.：2023春•静安区校级期中)函数/(%)=Asin(o)x+(p)(A>0,w>0,0<(p<TT)的部分图象如图中实

线所示，图中圆C•与/■)的图象交于M、N两点，且M在)，轴上，圆的半径为空，则ff)=

126

兀

T-,

【分析】求解圆的圆心坐标，通过周期求解0),然后求解初相,

【解答】解：圆。与/(x)的图象交于M、N两点，且M在)，轴上，圆的半径为旦L,点c二，0).

123

故工」L.(工)JL,即

因丁邛土，所以3=2.

I3I

由f(?)=Asin岑+。)=5得等+0=k兀，k€2.

J3o

7?

又因ov(pvn,所以0=——，故f(x)=Asin(2x=")•

3

由图可知O"2+OC2=MC2,

又因c(4-，0)旦圆的半径为爷，所以

oJL/*

rj-t.I,、7T^3TT口,1^3口

因“匕f(0)=Asi-nA=~r，即A=~~-，

所以f(x)“VLsin(2x+).因此聋=4

63bb34

故答案为：—.

4

【点评】本题考查圆的方程的应用，三角函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

一十一.直线与圆相交的性质（共1小题）

17.（2023春•浦东新区校级期中）已知直线/过点（・1,0）且与直线）=0垂直，则圆入2+『-4卢8），

=0与直线/相交所得的弦长为」后

【分析】先求出直线/的方程，再求出圆心C与半径r,计算圆心到直线/的距离4由垂径定理求弦长

\AB\.

【解答】解：由题意可得，/的方程为x+2y+l=0,

•••/+）2-4才+8），=0可化为（x-2）2+（）叶4）2=20,

圆心（2,-4）,半径，=2函，

・•・圆心（2,-4）至山的距离d=2-*！'ll=爬,

V5

22

.,.4fi=2^r.J=2420-5=2^^15.

故答案为：2^15.

【点评】本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问

题，是基础题.

一十二.直线与圆的位置关系（共3小题）

18.（2023春•浦东新区校级期中）在平面直角坐标系入。\，中，已知直线/：>，=匕+8上存在点P,过点户作

圆。：/+）2=4的切线，切点分别为4（xi,yi）,B（X2,"），且xix2+yi”=-2,则实数〃的取值范围

为（-8,］川心+8）.

【分析】根据题意，设NAO8=e,分析圆。的圆心和半径，表示向量正、正的坐标，由向量夹角公式

可得cos。的值，进而可得8的值，结合直线与圆的位置关系分析可得IOPI的值，进而可得若直线/：>'=

心+6上存在点P,必有。到直线/的距离dW4,由点到直线的距离公式可得关于女的不等式，解可得A

的取值范围，即可得答案.

【解答】解：根据题意，设NA08=B,圆。：»+/=4的圆心为(0,0),半径r=2：

又由A(xi,yi)、B(xz,")，则赢=(xi,yi),0B=(xz,y2)>|0A|=|0B|=r=2,

则cose=¥•迫=2=-1,

10AIIOBI42

又由0°SOW180°，则0=120。，

则NA。尸=60°,则有|OP|=2|OA|=4,

若直线/：)，=心+8即质-y+8=0上存在点P,必有O到直线/的距离dW4,

即,*w4,解可得攵2«或2W■愿,

则实数%的取值范围为(-8,-V3]U[V3,+«>),

故答案为：(-8,-V3]U(V3,+~).

【点评】本题考查宜线与圆的位置关系，注意将原问题转化为点到直线距离的最值问题，属于中档题.

19.(2023秋•徐汇区校级月考)圆/+陕_2「8>+13=0的圆心到直线at+y-1=0的距离为1,则。的值

为二.

-3—

【分析】由己知圆的方程求出圆心坐标，代入点到直线距离公式，即可求得。值.

【解答】解：圆/+/-2X-8尸■门二。的圆心坐标为：(1,4),

故圆心到直线or+\，-[=0的距离।=1，

Va2+1

解得：〃=-£,

3

故答案为：~4.

3

【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，是基础题.

20.（2023春•思明区校级期末）若直线/：%-2），+/〃=0与圆。：/+¥2-2,-4=0相切，则实数,〃=7或

-3.

【分析】由直线/：x-2.y+/〃=0与圆『+（y-1）2=5,相切，可得圆心（0,1）到直线x-2y+m=0的

距离d=』0-±m1=病,可求.

V5

【解答】解：由圆C：2y-4=0,得f+（y・I）2=5,

二圆心为（0,1）,半径为西，

一直线/：x-2y+m=0与圆C相切,

・•・圆心（0,1）到直线X-2a7〃=0的距离d=।=返,

炳

即向-2|=5,

m=l或m=-3,

故答案为：7或-3.

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系：相切关系的应用，解题的关键是利用圆心到直线的距离

d=r,解答本题也可联立方程进行求解，属中档题.

一十三,圆与圆的位置关系及其判定（共4小题）

21.（2023春•黄浦区期末）圆01：/+./-4.r-6y+12=0与R102：『+9-8x-6y+16=0的位置关系是（）

A.相交B.外离C.内含D.内切

【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，根据两圆圆心之间的距离和半径之间的关系进行判断.

【解答】解：圆0/乂2+丫2-4乂・6丫+12=0的标准方程为（x-2）2+（＞--3）2=1,圆心0|（2,3）,

半径r=l,

1^1o：x2+y2-8x-6y+16=0的标准方程为（公4）2+（y-3）2=9,圆心3（4,3）,半径R=3.

两圆心之间的距离|OIO2|=4-2=2=R-r,

J两圆内切.

故选：O.

【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，利用圆心距离和半径之间的关系是解决圆与圆位置关

系的主要依据.

22.12023春•静安区校级期中)若圆Ci：f+)2=l和圆C2：，+)2-6-8)，-&=0没有公共点，则实数2的

取值范围是()

A.(-9,11)B.(-25,-9)

C.(-8,-9)U(11,+oo)D.(-25,-9)U(11,+OO)

【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解.

22

【解答】解：化圆。2：-6A-Sy-k=0为(A-3)+<>,-4)=25+A.

则Q>-25,圆心坐标为(3,4),半径为“25+k,

圆Ci：/+)2=］的圆心坐标为(0,0),半径为1.

要使圆C1：八/=1和圆C2：『+y2-6x-8)，r=0没有公共点，

则|。心|>V25+k+l»k|CiC2|<V25+kT,

即5>V25+k+1或5——25+k-1,

解得-25v&v-9或k>11.

・•・实数女的取值范围是(-25,-9)U(11,+OO).

故选：

【点评】本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是基础题.

23.(2023春•虹口区校级月考)圆7+)2-2x=0和圆x2+y^+4y=0的位置关系是相交.

【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心

的距离d,然后求出R-r和R+/•的值，判断d与R-，•及R+，的大小关系即可得到两圆的位置关系.

【解答】解：把圆/+)，2-2*=0与圆/+)2+4y=0分别化为标准方程得：

(X-I)2+)2=］,+()42)2=4,

故圆心坐标分别为(1,0)和(0,-2),半径分别为R=2和r=l,

:圆心之间的距离d=yj(1-0)2+(0+2)2=V5，则R+r=3，R-r=I,

：.R-r<d<R+r,

・••两圆的位置关系是相交.

故答案为：相交.

【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，圆与圆的位置关系有五种，分别是：当OWdVR-「时，两圆内

含：当［=!<-/•时，两圆内切：当R-rVdVR+r时，两圆相交：当4=1<+「时，两圆外切：当d>R+r

时，两圆外离（其中d表示两圆心间的距离，R,「分别表示两圆的半径），是基础题.

24.12023春•徐汇区校级期中）设两圆。：?+/-1=0与圆。2：f+『-2计4），=0的公共弦所在的直线方

程为2r-4y-l=0.

【分析】利用两圆的方程相减即可求解.

【解答】解：因为圆：/+）2-1=0（1）,圆。2：f+）?-2t+4y=0@,

由①-②得，2M-4.v-1=0，

所以两圆的公共弦所在的直线方程为2人一4），-1=0.

故答案为：2x-4y-1=0.

【点评】本题考查两个圆的位置关系，考查公共弦所在的直线方程，是中档题.

B•拓展培优拿高分、

一.填空题（共5小题）

1.（2023春♦闵行区校级月考）已知在△4BC中，其中8（1,4）,C（6,3）,N84C的平分线所在的直线

方程为x-）叶1=0,则A点坐标为（0，1）

【分析】求出8关于直线x-y+l=0的对称点可得CB，的直线方程，联立解出即可得出A的坐标.

【解答】解：B（I,4）关于直线i-y+l=0的对称点8（小〃）；

a+1_b+4

+1=0

~2Ta=3

b=2'

：.K(3,2),C(6,3),

••.CB'的直线方程为x-3.y+3=O,

则由角平分线以及对称可知*（〃，b）一定在直线AC上,

晔,x-3y+3=0x=0

联乂,，解得〈，

x-y+l=0Iy=l

（0,1）,

故答案为：（0,1）.

【点评】本题考查了对称性、直线方程、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力

与计算能力，属于中档题.

2.（2023秋•浦东新区校级期中）圆/+/+纨+2,八升2"2+。-|=0的半径的最大值为2返.

'-3—

【分析】首先把圆的一般式转换为标准式，进一步利用二次函数的性质求出/■的最大值.

【解答】解：圆9+『+办+初叶2/+。-1=0,转换为标准式为：(x玲)2+(y+a)2=Va2-a+l.

17,232q_3,2x22

以r=-^-a-a+1---(a-^y)7：

当〃=-2时，/取得最大值为2,即r的最大值为2近.

333

故答案为：率.

3

【点评】本题考查的知识要点：圆的方程之间的转换，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能

力和数学思维能力，属于中档题.

3.(2023春•静安区校级期中)若圆(x-a>2+(>--3)2=20上有四个点到直线2x->+1=0的距离为祈，

则实数。的取值范围是(笈，工).

—'22

【分析】将圆a-a)2+(厂3)2=20上有四个点到直线2x-y+l=0的距离为泥，转化为圆心到直线

的距离J<V5,从而利用点到直线的距离公式求出结果.

【解答】解：因为圆的方程为(A-«)2+(y-3)2=20,所以圆心为(«,3),半径为2市，

又圆(x-a)2+()，-3)2=20上有四个点到直线2A•-尸d=0的距离为西，

所以圆心到直线2t-产1=0的距离J<V5,

所以」2%2j_<遥,即2|<5,得至lj-l<a<l.

V522

故答案为：(得，1).

【点评】本题考查了点到直线的距离公式，属于中档题.

4.(2023春•杨浦区校级期中)已知乂(.ri,)，|)、8(刈，)吆)是圆/+f=9上的两个不同的动点，且xi)2=

xiyi,贝lj5.MI+X2+4.W+”的最大值为15.

【分析】利用参数表示A，B,然后利用三角函数求解表达式的最大值即可.

【解答】解：A(xi,yi)、B(AZ”)是国/+y2=9上的两个不同的动点，且xi.y2=x2yi,

可设A(3cosa,3sina)、B(3cos。，3sinp),a、0的终边不重合,

可得9sinacosP-9cosasinP=0,即sinacosP-cosasinp=0.

即sin(a-p)=0,，a=2Kr+n+B,kEZ,

则5xi+x2+4yi+)^