初二数学上学期期中知识点总结及对应例题VIP

/初二数学上学期期中知识点总结及对应例题初二数学上学期期中知识点总结及对应例题初二数学上学期期中知识点总结勾股定理、实数、平面直角坐标系概念勾股定理内容直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果三角形一边的平方等于另两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。若a、b、c三个正整数满足a2＋b2＝c2，则称a，b，c为一组勾股数。无限不循环小数。有理数和无理数统称为实数。如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称为二次方根。正数a有两个平方根，其中正数a的正的平方根，也叫做a的算术平方根。一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。一般地，形如a(a0)的二次根式式子，叫做二次根式，a叫做被开方数。解读（1）要在直角三角形中；（2）没有直角三角形，要先通过作辅助线来构造直角三角形，再利用勾股定理解决相关问题。（1）先要确定最大边（不妨设为c，另两条边长分别为a，b）；（2）计算并比较c与ab的值的关系。（1）三个数必须是正整数；（2）最大数的平方等于较小的两个数的平方和。（1）是小数；（2）是无限不循环的。（1）注意它的分类；（2）注意它的几种形式。（1）注意它的表示方法；（2）掌握它的性质。（1）注意它的表示方法；（2）掌握它的非负性。（1）注意它的表示方法；（2）掌握它的性质；（3）掌握它与平方根的同与异。（1）被开方数必须是非负数；（2）开的是二次方根。（3）注意a2及a的区别2222对应例题例1勾股定理的逆定理例2勾股数例6无理数实数平方根例7算术平方根立方根例4例14例3最简二次根式被开方数的因数是整数，因（1）被开方的每个因式的指数都低于根指数2；式是整式；被开方数中不含（2）被开方数中不含分母。例8、例5能开得尽方的因数或因式。在平面内，两条互相垂直且有公共点数轴组成平面直角坐标系（x轴、y轴、原点）关于x、y轴对称的点或者图形的坐标变化；关于原点对称的点或者图形的坐标变化图形的变化包括：等比扩大，等比缩小，横向压缩，纵向压缩，横向拉伸，纵向拉伸，平移，翻转（1）读出点的坐标及根据坐标找点（2）四个象限及坐标轴上点的坐标的特征（3）点到坐标轴的距离和到原点距离的求法；（点到点距离的求法）（1）关于坐标轴对称的点或图形的坐标变化（2）关于原点对称的点或图形的坐标变化例9例10例11例12例17例13例16平面直角坐标系对称与坐标变化坐标变化与图形形状变化之间的关系（1）图形横纵坐标扩大或缩小相同的倍数（2）图形横（纵）坐标不变，纵(横)坐标扩大（缩小）到原来的a倍（3）图形横(纵)坐标不变，纵(横)坐标加(减)a（4）图形横(纵)坐标不变，纵(横)坐标乘函数、一次函数、正比例函数考点常量和变量定义在某一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量；数值发生变化的量叫做变量。一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个确定的值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。表格、图形、数学式子函数的表示方法函数关系式表示两个变量之间关系的式子，通常称为函数关系式。在平面直角坐标系中，如果描出以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标的点，那么所有这样的点组成的图形叫做这个函数的图象。在一个变化过程中，自变量的取值通常有一定的范围。给定自变量的一个值，就可以求出对应的函数值。剖析①关键是看它们在变化过程中数值有没有改变；②常量和变量都是从变化过程中区分出来的，而不是单独判断的。①变化过程中；②两个变量；③一个变量随另一个变量的变化而变化；④对于自变量x的每一个确定的值，函数y都有唯一的值与它对应（但有可能有多个不同的自变量数值对应一个函数值）。①不是任何变化过程都能用数学式子表示；②表格的优点是准确、直观；图像的优点是直观、形象；解析法的优点是全面、准确；③由数学式子可以列出表格画出函数的图象。用数学式子表示变量之间的函数关系时，要抓住问题中所隐含的数量关系。作函数的图象必须要正确地描点，画图时要注意有的图形具有无限性，如直线不能画成线段。例22对应例题函数例20函数的图象自变量的取值必须考虑两点：①使函数关系式成立，如y＝x2，x必须大于等于2；②使实际问题有意义，如时间、距离、重量等应为非负数，人、物的个数应为正整数。例18例19自变量与函数值一次函数的概念一般地，如果两个变量x与y之①式中k、b是常数；间的函数关系式可以表示成为y②k不等于0，等于0并不是无意义，而是说该＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）式不是一次函数。的形式，那么称y是x的一次函数。两个变量x与y之间的函数关系式，可以表示成为y＝kx（k为常数，且k≠0）的形式，那么称y叫做x的正比例函数。正比例函数是一次函数①式中k是常数；②k不等于0，等于0并不是无意义，而是说该式不是一次函数。正比例函数是一次函数的特殊情形，但一次函数不一定是正比例函数。例15正比例函数正比例函数与一次函数的关系一次函数正比例函数例21初二数学上学期期中复习例题例1、如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8，BC＝10，求EC的长。例2、如图所示，△DEF中，DE＝17，EF＝30，EF边上的中线DG＝8，试说明△DEF是等腰三角形。例3、下列各式中，正确的是（）A.(3)23B.323C.(3)2＝±3D.323例4、已知312x与33y2互为相反数（y≠0），求12x的值。y12例5、①计算：202*12202*.②比较大小：56与65例6、在△ABC中，AB＝25，AC＝30，BC边上的高AD为24，试求第三边BC的长例7、求81的平方根和算术平方根。例8、计算：233111327812502483256862323例9、如果点A（2m，3－n）在第二象限，那么点B（m－1，n－4）在第几象限？如果点M（3a＋1，－a）在第四象限，那么a的取值范围是怎样的？例10、若点A（a，b）在第三象限的角平分线上，且它到x轴和y轴的距离之和为4，求点A的坐标。例11、填空1.若点A（n，2）与B（－3，m）关于原点对称，则n－m=2、已知点P（a，b），如果ab＝0，那么点P在3、点P（a，b）既在x轴上，也在y轴上，则a＝____；b＝__________．4、若点A（m，n），B（p，q）两点关于原点对称，则m、p关系为__________；n、q关系为________．5、点A在x轴上，位于原点的右侧，距离坐标原点5个单位长度，则此点的坐标为_______；点B在y轴上，位于原点下方，距离坐标原点5个单位长度，则此点的坐标为__________；点C在y轴左侧，在x轴下方，距离每个坐标轴都是5个单位长度，则此点的坐标为________．6、已知点P的坐标（x，x－1），则点A一定不在第________象限．7、在平面直角坐标系中，点P的横坐标是－3，且点P到x轴的距离为5，则点P的坐标为8、在直角坐标系中有点A在原点O北偏东30°方向上，且距离原点6个单位长度，则点A的坐标为_____________。例12、已知点P（m，4），Q（－3，n），根据下列条件求出m、n的值①PQ∥y轴，PQ=4②点P、Q在第二、四象限两条坐标轴夹角平分线之上例13、平面直角坐标系上有两点P（－1，－2）和Q（4，2），取点R（1，m），当m为多少时，PR＋RQ有最小值。例14、已知A＝mnB＝mn2是m＋n－2的算术平方根，m2n34m6n1是4m＋6n－1的立方根，求B－A的立方根。例15、已知一次函数y(k1)x＋3，则k＝。例16、已知点P1（a，3）和点P2（4，b）关于y轴对称，则（a＋b）202*的值为例17、如图，平行四边形ABCD（AB∥CD、AD∥BC，AB＝CD、AD＝BC）的边长AB＝4，BC＝2，若把它放在平面直角坐标系内，使AB在x轴上，点C在y轴上，点A的坐标是（－3，0），求：B、C、D的坐标。k例18、已知函数y2x5，当自变量增加m时，相应的函数值增加（）A.2m1B.2mC.mD.2m1例19、等腰三角形的周长为10，底边长为y，腰长为x，y关于x的函数解析式为y102x，则自变量x的取值范围是________________；例20、下列关于变量x和y的关系式：yx，y2x，y2x2，y2x2，y有（）A.1个x其中y是x的函数的xB.2个m3C.3个D.4个例21、当m、n为何值时，ym2xn2是一次函数？m、n为何值时为正比例函数？例22、如图所示的折线ABC为从甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y（元）与通话时间t（分）之间的变化关系图象。（1）这个图象反映了哪两个变量之间的关系？（2）取t的一个定值，相应的y值确定吗？y可以看作t的函数吗？（3）由图象可知，当通话时间为2分钟时，应付电话费多少元？当通话时间为5分钟时，应付电话费多少元？数学八年级上册知识点汇总及常考题型数学八年级上册知识点汇总及常考题型汇编人：高科寿第一章全等三角形【知识结构框图】命题、公理与定理全等三角形的判定三角形直角三角形全等的判定全等的尺规作图判逆命题与逆定理【知识点】一、定义及表示1、定义能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中相似比为1：1的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3)有公共边的，公共边一定是对应边；(4)有公共角的，角一定是对应角；（S．A．S．）（A．S．A．）（S．S．S．）（H．L．）作作线段角（A．A．S．）作角平分线作垂线作垂直平分线(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；2、表示全等用“≌”表示，读作“全等于”。如：△ABC全等于△DEF，写作：△ABC≌△DEF注意：若△ABC≌△DEF，点A的对应点是点D，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F二、判定定理1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。由3可推到4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA角角角和SSA(特例：直角三角形为HL，属于SSA)边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)。H是英文斜边的缩写（Hypotenuse），L是英文直角边的缩写（leg）。6.三条中线（或高、角分线）分别对应相等的两个三角形全等。三、性质三角形全等的条件：1、全等三角形的对应角相等。2、全等三角形的对应边相等3、全等三角形的对应顶点相等。4、全等三角形的对应边上的高对应相等。5、全等三角形的对应角平分线相等。6、全等三角形的对应中线相等。7、全等三角形面积相等。8、全等三角形周长相等。9、全等三角形可以完全重合。三角形全等的方法：1、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS)2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)【运用】1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。而全等的判定却刚好相反。2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。4、用在实际中，一般我们用全等三角形测相等的距离。以及相等的角，可以用于工业和事。5、三角形具有一定的稳定性，所以我们用这个原理来做脚手架及其他支撑物体。【做题技巧】一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以采取逆向思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件，要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。有时还需要画辅助线帮助解题。分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。【例题分析】例1：（202*浙江金华）如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母），使AC=BD，并给出证明.分析：要说明AC=BD，根据图形想到先说明△ABC≌△BAD，题目中已经知道∠1＝∠2，AB＝AB，只需一组对边相等或一组对角相等即可.解：添加的条件是：BC=AD.证明：在△ABC与△BAD中，∠1＝∠2，AB＝AB，∠A=∠A"∴△ABC≌△BAD（SAS）.∴AC=BD.小结：本题考查了全等三角形的判定和性质，答案不惟一，若按照以下方式之一来添加条件：①BC=AD，②∠C=∠D，③∠CAD=∠DBC，④∠CAB=∠DBA，都可得△CAB≌△DBA，从而有AC=BD.例2（202*攀枝花）如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.C所添条件为_______________.你得到的一对全等三角形是：EAB△≌△.证明：D分析：在已知条件中已有一组边相等，另外图形中还有一条公共边，因此再添这两边的夹角相等或另一组对边也相等即可得出全等三角形.解：所添条件为CE=ED.得到的一对全等三角形是△CAE≌△DAE.证明：在△CAE和△DAE中，AC=AD，AE=AE，CE=DE，所以△CAE≌△DAE（SSS）.小结：本题属于条件和结论同时开放的一道好题目，题目本身并不复杂，但开放程度较高，能激起同学们的发散思维，值得重视.例3.(202*年永州)下列命题是假命题的是（）．．．A．两点之间，线段最短．B．过不在同一直线上的三点有且只有一个圆．C．一组对应边相等的两个等边三角形全等．D．对角线相等的四边形是矩形．答案:D解析:考查假命题的判定.一般判定假命题采用对比定义或举反例.随意可以画出一个对角线相等但对角线不互相平分的四边形来,所以D是假命题.例4．具备下列条件的两个三角形，全等的是A．两个角分别相等，且有一边相等B．一边相等，且这边上的高也相等C．两边分别相等，且这两边的夹角也相等D．两边且其中一条对应边的对角对应相等知识点扫描:全等三角形的判定.注意对应！题目解析:A项没有对应，可举反例：两个三角形，一大一小，有两个角分别相等，但大三角形的短边=小三角形的长边.B项高的位置不唯一，可以垂直此边任意变动，故不能判定全等.C项两边及夹角相等，由全等公理可以得到.D项SSA不能判定全等.故选C例5.在△ABC与△A′B′C′中,∠A+∠B=∠C,∠B′+∠C′=∠A′,且b-a=b′-c,b+a=b′+c′,则这两个三角形()(A)不一定全等(B)不全等(C)根据“SAS”全等(D)根据“ASA”全等题目解析:∵∠A+∠B=∠C,∠B′+∠C′=∠A′,∴∠C=∠A′=90°.又∵b-a=b′-c′,b+a=b′+c′，两式相加，得b=b′，则a=c′.则△ABC≌△C′B′A′(SAS)故选C例6.一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图（16）所示的残片，你对图中作哪些数据测量后就可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃并说明理由．题目解析:全等三角形的实际应用问题，要测量的条件必须是可以证明三角形全等的.所以测量∠A，∠B的度数和线段AB的长度，用ASA得全等.解:测量∠A，∠B的度数和线段AB的长度，做∠A′=∠A，A’B’=AB∠B′=∠B，则△A′B′C′和原三角形全等，据ASA定理．例7．如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AF=CE，BE∥DF，BE=DF．求证：AB∥CD．知识点扫描:全等三角形的判定、性质.平行线的判定.题目解析:从图形来看，是一个典型的全等图形.所以想到由全等得到等角，再从等角推出两线平行.但是注意：在证△AEB≌△CFD中，不要错误地把AF与CE当成了这两个三角形的对应边．其实，AE与CF才是这两个三角形的对应边．证明：∵AF=CE，A、F、E、C共线，∴AE=CF.∵BE∥DF，∴∠AEB=∠CFD.AFCE∴在△AEB和△CFD中，AEBCFDBEDF∴△AEB≌△CFD，∴∠A=∠C，∴AB∥CD.例8．如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，AE⊥CD于E，BF⊥DC交CD的延长线于F．求证：BF=CE．知识点扫描:全等三角形的判定及性质.和同角互余的两角相等.题目解析:这个图形也是很典型的全等三角形图形.所以考虑证△ACE≌△CBF（AAS），从而由全等性质得到：BF=CE.证全等用AAS，直角相等，和AC=BC都是显见的，再找一角：∠EAC=∠FCB，这一相等由同角（∠ACE）的余角相等得到.证明：∵AE⊥CF，∴∠ECA＋∠CAE=90°．又∠BCA=90°，∴∠BCF＋∠ECA=∠ECA＋∠CAE．∴∠BCF=∠CAE．∵AE⊥CF，∴∠AEC=90°．∵BF⊥CF，∴∠BFC=90°．又AC=BC，∴△BCF≌△CAE．∴BF=CE．例9．已知：如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰三角形.求证：（1）BD=CE；（2）∠1=∠2.题目解析:图形复杂，要在复杂图形中找出全等三角形，问题就解决了.找全等要充分利用等边直角三角形的等边和直角条件.证△EAC≌△DAB.证明：∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC.即∠BAD=∠EAC.又∵AE=AD,AB=AC,∴△EAC≌△DAB,∴BD=CE,∠1=∠2.例10.如图，在△ABC中，∠C为直角，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE与正△ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD.题目解析:构造全等三角形，过E作EG⊥AB于G.证明△EFG≌△DFA即可.（AAS）.证明：过E作EG⊥AB于G.则∠AEG=30°.在△AEG与△ABC中，AE=AB，∠AEG=∠CAB=30°，∠BCA=∠EGA=90°，∴△EAG≌△ABC，∴EG=AC=AD.又在△ADF与△GEF中，AD=GE，∠AFD=∠GFE，∠DAF=∠EGF=90°∴△ADF≌△GEF，∴DF=EF.例11．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，求证：BA⊥AC．（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．题目解析:直接证明垂直无路，要“曲线救国”，设法证明∠DAB+∠EAC=90°，这还是不能直接达到，注意到∠DAB和∠EAC所在三角形均为直角三角形，所以再转化一下：证∠DAB=∠ACE，这由全等不难得到.第二问方法与第一问类似，故不赘述.证明：（1）在Rt△ABD和Rt△CAE中，ABCAADCE∴△ABD≌△CAE（HL），∴∠DAB=∠ACE．又∵∠ACE+∠CAE=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°∴∠BAC=90°，∴AB与AC垂直．（2）成立．证明同上．例12.(202*年湘潭)（本题满分6分）如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，D且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F.（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论.A解：（1）ADCF．（2）四边形ABCD是矩形，AEDFDC,DEABCDCFEB又CFDE,CFDA90,△ADE≌△FCDADCF解析:考查矩形的性质及直角三角形全等的判定.猜想AD与CF的关系,可以分析AD,CF所在的两个三角形ADE与三角形FCD的关系.由条件可归纳得:∠A=∠CFD=900,∠AED=∠FDC,DE=AB=CD,可证△ADE≌△FCD,从而AD=CF.【练习】：1、（202*年泰州市）27．在矩形ABCD中，AB=2，AD=3．（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（3分）．（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．①求证：点B平分线段AF；（3分）②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．（4分）2、（202*年南京市）21．（6分）如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，A且BECF，AFDE．D求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形．BCEF3、（202*福建福州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，求证：MBMC．4、（202*年遵义市）如图，OAOB，OCOD，O50，D35，则AEC等于（）OA．60C．45B．50BACD．30ED5、（202*年遵义市）22．（10分）在矩形ABCD中，AD2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转．当三角板的两直角边与AB，BC分别交于点M，N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论．A6、（202*年郴州市）如图，ΔABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到ΔDBC．请你判断四边形ABDC的形状，并说出你的理由．7．(202*年双柏县)如图，点P在∠AOB的平分线上，BCADPO8B若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是（只写一个即可，不添加辅助线）：8．（202*年荆州市）如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：DF＝DC．ADFBEC9．（202*年龙岩市）如图，在边