2024-2025学年福建省宁德市福鼎市高二上册12月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年福建省宁德市福鼎市高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知各项均为正数的等比数列中，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．92．下列说法中，错误的是（）A．经过点且与直线平行的直线方程是B．直线的一个方向向量为C．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为D．，，三点共线3．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．4．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（

）A． B．1 C． D．05．已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．6．已知为等差数列的前n项和，若，，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（

）

A． B． C． D．8．已知椭圆的长轴长大于，当m变化时直线与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知数列，满足为的前项和，且，则（

）A．数列为等差数列 B．C． D．或时，取得最大值10．已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（

）A．直线恒过定点B．直线与圆恒相交C．的最小值为D．若点在圆上，则的最小值是11．已知椭圆，分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点，点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A．存在4个点M，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值C．有最小值 D．的取值范围为三、填空题（本大题共3小题）12．若直线与直线平行，则它们之间的距离为.13．已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为.14．已知A，B是双曲线上的两个动点，动点P满足，O为坐标原点，直线OA与直线OB斜率之积为2，若平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆心为的圆与直线相切.(1)求圆的标准方程;(2)若圆与圆相交于两点，求直线的方程及弦长度.16．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点.当轴时，.(1)求的方程；(2)若，求直线的方程.17．记为数列的前项和，已知，且，.(1)证明：为等差数列；(2)求的通项公式；(3)若，求数列的前项和.18．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点的直线与椭圆交于不同的两点，且与坐标原点构成三角形，求面积的最大值．19．已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”．(1)判断数列是否为“凹数列”，请说明理由；(2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围；(3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”．

答案1．【正确答案】C【详解】∵各项均为正数的等比数列中，，∴.故选：C.2．【正确答案】C【详解】A：令过点且与直线平行的直线为，则，故所求直线为，对；B：直线的斜率为，则一个方向向量为，显然与向量平行，故向量也是一个方向向量，对；C：当直线过原点时，直线方程为，错；D：由，故三点共线，对.故选：C3．【正确答案】B【分析】根据已知先求得参数，进一步即可得解.【详解】已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，所以，解得，所以双曲线的渐近线方程为.故选B.【思路导引】根据题目条件，抛物线的焦点和双曲线的一个交点重合，则，解得，从而解得双曲线的渐近线方程.4．【正确答案】C【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，又两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，所以，即，解得．故选：C.5．【正确答案】B【详解】当直线斜率不存在时，由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上，而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意.故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为，即，代入椭圆的方程化简得，所以，解得，故直线方程为，即.故选：B.6．【正确答案】A【详解】设的公差d，由有，解得，所以，则，当且仅当时等号成立．故选：A7．【正确答案】B【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，又由双曲线的离心率为，有，可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.故选：B.8．【正确答案】B【详解】直线即，该直线过定点，所以点在C上，，即，设，则，所以，因为C的长轴长大于，所以，，所以，解得，所以.故选：B.9．【正确答案】ACD【详解】对A，，则数列为等差数列，故A正确，对B，，则，则，则，则，则，故B错误，对C，，则，故C正确，对D，，开口向下，对称轴为，，故当或时,取得最大值，故D正确，故选：ACD.10．【正确答案】ABD【详解】对于选项A，直线，可得当时方程恒成立，即直线恒过定点2,3，故A正确；对于选项B，因为直线恒过定点2,3，根据圆M的标准方程可得，，所以点在圆M内，所以直线与圆恒相交，故B正确；对于选项C，如图所示，设为点P，则，当直线l于MP的连线垂直时，取得最小值，此时由圆的弦长公式可得，，故C错误；对于选项D，可将其看成点到点距离的平方再减1，由于是圆上的点，如图所示，，连结，则ME于圆的交点即为,此时取得最小值，故此时的最小值为，故D正确.故选：ABD.11．【正确答案】AD【详解】对于A中，由椭圆，可得，由，以为圆心，为直径的圆，与椭圆C有4个交点，所以存在4个点M，使得，故A选项正确；对于B中，设，则，且，可得，则为定值，故B选项错误．对于C中，由椭圆的定义，可得，则，当且仅当时，即时等号成立，故C选项错误．对于D中，由点N在椭圆外，设直线与椭圆相交于，如图所示，则，因为，且，可知，即，当与重合时，等号成立，所以，所以，故D选项正确.故选：AD．12．【正确答案】/0.5【详解】由题意，可得，故可写为，所以两直线距离为.故13．【正确答案】【详解】由圆，则圆心为，故，则点P处的切线斜率为，所以圆在点P处的切线方程为，可得.故14．【正确答案】【详解】设,则由,得，则，，点,在双曲线上,，则，设分别为直线,的斜率,根据题意,可知,即，，即在双曲线上,设该双曲线的左、右焦点分别为，由双曲线定义可知||为定值，该定值为.故答案为.15．【正确答案】(1)；(2).【分析】（1）直线与圆C相切，可得直线l到点C的距离等于圆C的半径，用距离公式可以求得圆C的半径等于1，最后用圆的标准方程公式得到圆C的标准方程；（2）圆C与圆相交于A，B两点，线段即为两圆的公共弦．将两圆的方程的相减，得到二元一次方程，即为公共弦所在直线的方程，在利用圆的弦长公式求出线段的长度.【详解】（1）圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径.因此半径，圆的标准方程为.（2）圆与圆相交于两点，由两式相减得方程:，直线的方程即为.圆心到直线的距离为，所以.16．【正确答案】(1)(2)或.【详解】（1）由题意得，，把代入得，即，∴，解得，∴的方程为.（2）由（1）得直线斜率存在，F1,0，设，由得，，∴，由得，，解得，∴直线的方程为或.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）将原式两边同时除以，构造等差数列即可；（2）由（1）可得，根据得到与的关系式，再利用累乘法求解即可；（3）利用错位相减法求和即可.【详解】（1），，，，数列是首项为1，公差为的等差数列；（2），即，，两式作差得，即，，即，，，；（3），，，，.18．【正确答案】（1）；（2）．【详解】解：（1）抛物线的焦点坐标为，椭圆的半焦距由题可知解得，椭圆的标准方程为.（2）设点．三点构成三角形，所以直线的斜率存在且不为则可设直线的方程为联立消去整理得．由得即，=易知，点到直线的距离设则当且仅当即时等号成立，面积的最大值为19．【正确答案】(1)数列是“凹数列”，理由见解析(2)(3)证明见解析【详解】