2025高考数学二轮复习-专题4 概率与统计 第3讲 随机变量及其分布【课件】

第3讲随机变量及其分布2025基础回扣•考教衔接以题梳点•核心突破目录索引

基础回扣•考教衔接1.(人B选必二4.2.2节习题改编)下列表格可能是随机变量X的分布列的是(

)C解析

由0.3+0.4+0.4=1.1≠1,故A错误;由-0.1<0,故B错误;由0.3+0.4+0.3=1,故C正确;由0.3+0.4+0.4=1.1≠1,故D错误.2.(人A选必三7.4.1节例题改编)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,恰好出现5次正面朝上的概率是

.

3.(人A选必三7.3.2节习题改编)已知随机变量X的分布列为

X1234P0.20.30.40.1则D(X)=

.

0.84解析

由题意知,E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4,所以D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84.4.(人B选必二4.2.4节习题改编)已知随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,则p的值为

.

5.(人B选必二例题改编)学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教,设选出的女教师人数为X,则P(X≤1)=

.

真题体验1.(多选题)(2024·新高考Ⅰ,9)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值

=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(

)(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.8413)A.P(X>2)>0.2

B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8BC解析

由题意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).∵P(X<1.8+0.1)≈0.841

3,∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841

3=0.158

7.∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158

7,∴A错误;P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,∴B正确;∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841

3,∴C正确,D错误.故选BC.1以题梳点•核心突破考点一分布列的性质及应用例1(1)已知X的分布列为

D(2)(多选题)(2024·江苏盐城模拟)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示,则(

)ACD[对点训练1]设离散型随机变量X的分布列为

X01234P0.20.10.10.3m(1)求随机变量Y=2X+1的分布列;(2)求随机变量η=|X-1|的分布列;(3)求随机变量ξ=X2的分布列.解

(1)由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.首先列表为X012342X+113579从而Y=2X+1的分布列为

Y13579P0.20.10.10.30.3(2)首先列表为

X01234|X-1|10123∴P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3.故η=|X-1|的分布列为η0123P0.10.30.30.3(3)首先列表为

X01234X2014916从而ξ=X2的分布列为

ξ014916P0.20.10.10.30.3考点二二项分布例2(2024·广东韶关二模)小明参加社区组织的射击比赛活动,已知小明射击一次,击中甲、乙、丙区域的概率分别是,甲、乙、丙区域间均没有重复的部分.这次射击比赛的获奖规则如下:若击中甲区域,则获得一等奖;若击中乙区域,则有一半的机会获得二等奖,一半的机会获得三等奖;若击中丙区域,则获得三等奖;击中上述三个区域以外的区域不获奖.获得一等奖和二等奖的选手获得“优秀射击手”称号.(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率;(2)小明在比赛中射击4次,每次射击的结果相互独立,设获三等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.解

(1)记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件A;“射击一次获得一等奖”为事件B;“射击一次获得二等奖”为事件C,则有A=B∪C,[对点训练2](2024·山东泰安模拟)某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动,其中有两个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎.游戏规则如下:从平地开始,抛掷一枚质地均匀的骰子一次,出现3的倍数则连上三级台阶,否则上二级台阶,重复以上步骤,当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束.结束时,学生位于第8级台阶,可获得一本课外读物;位于第9级台阶,可获得一套智力玩具;位于第10级台阶,则被认定为游戏失败,无奖品.(1)某学生抛掷三次骰子后,按游戏规则位于第X级台阶,求X的分布列及数学期望E(X).(2)①某学生参加游戏,求他不能获得奖品的概率;②若甲、乙两名学生参加游戏,求恰有一人获得奖品的概率.(2)①由题意知,位于第10级台阶被认定为游戏失败,无法获得奖品,则该学生抛掷3次后位于第7级台阶,且第四次抛掷时出现3的倍数,连上三级台考点三超几何分布例3(2024·重庆模拟)在一种新能源产品的客户调查活动中,公司发现某小区10人中有4人是该产品的潜在用户.现由小刘负责这10人的联系工作,他先随机选择其中的5人上午联系,剩余的5人下午联系.(1)设上午联系的这5人中有ξ个潜在用户,求ξ的分布列与期望;(2)小刘逐一依次联系,直至确定所有的潜在用户为止,求小刘不超过6次即可确定所有潜在用户的概率.[对点训练3](2024·山东聊城二模)随着互联网的普及和大数据的驱动,线上线下相结合的新零售时代已全面开启,在新零售背景下,即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求,优化自身服务,提高客户满意度,在A,B两个分公司的客户中各随机抽取10人进行满意度评分调查(满分100分),评分结果如下:分公司A:66,80,72,79,80,78,87,86,91,91分公司B:62,77,82,70,73,86,85,94,92,89(1)求这20个满意度评分的第一四分位数;(2)规定评分在75分以下的为不满意,从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议,设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X,求X的分布列和数学期望.解

(1)将这20个满意度评分从小到大排列为:62,66,70,72,73,77,78,79,80,80,82,85,86,86,87,89,91,91,92,94.由25%×20=5,可知这20个满意度评分的第一四分位数为第5项数据,为73.(2)由题可知,分公司A中75分以下的有66分,72分;分公司B中75分以下的有62分,70分,73分.所以不满意的客户共有5人,其中分公司A的客户有2人,分公司B的客户有3人.X表示5名不满意客户中来自分公司B的人数,则X服从超几何分布,且所以X的分布列为

考点四正态分布例4(2024·河南洛平许济四市联考)某教学研究机构从参加考试的20000名考生中随机抽取200人,对其数学成绩进行整理分析,得到如下频率分布直方图:

附:≈2.4;若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解

(1)抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为s2=(80-110)2×0.02+(90-110)2×0.09+(100-110)2×0.22+(110-110)2×0.33+(120-110)2×0.24+(130-110)2×0.08+(140-110)2×0.02=150.故估计这20

000名考生数学成绩的方差为150,标准差(2)由题可知,X~N(110,122).因为Y=5X-10,所以P(600≤Y≤660)=P(600≤5X-10≤660)=P(122≤X≤134)=P(110+12≤X≤110+2×12)=P(μ+σ≤X≤μ+2σ)故这20

000名考生中成绩在[600,660]的人数约为20

000×0.135

9=2

718.[对点训练4](2024·广东深圳模拟)某单位准备通过考试招录300人,其中275个高薪岗位和25个普薪岗位,考试满分为400分,依据考生的考试成绩从高分到低分依次选岗.共有2000人报名参加考试,记考生的成绩为X,已知X~N(μ,σ2),且所有考生的平均考试成绩μ=180,且360分及其以上的高分考生有30名.(1)求σ的值;(结果保留整数)(2)该单位的最低录取分数约是多少?(结果保留整数)(3)考生甲的成绩为286分,若甲被录取,能否选择高薪岗位?若不能被录取,请说明理由.参考资料:①当X~N(μ,σ2)时,令Y=,则Y~N(0,1);②当Y~N(0,1),P(Y≤2.17)