偏导数与全微分

偏导数与全微分一、偏导数

引例在报纸上经常会看到关于城市大气污染指数P的数据，其常用的运算模型为P=x2+2xy+4xy2，其中x表示单位体积空气中固体污染物的数量，如粉尘；y表示单位体积空气中气体污染物的数量，如汽车尾气.那么这些污染物在空气中含量的变化对指数的影响程度如何呢？下面通过偏导数来进行分析.一、偏导数偏导数的定义1.当考察圆柱体体积函数Vr,h=πr2h时，若底面半径r保持不变，体积V主要取决于高h的取值，也就是说当自变量r固定时，Vr,h就是关于h的一元函数，从而体积V关于高h的变化率可视为Vh对h的导数.像这样，多元函数中一个自变量发生变化，其余自变量固定，考虑函数对于该自变量的变化率就称为该函数对于这个自变量的偏导数.偏导数的引入有利于逐一研究多元函数中每个变量对函数的影响.一、偏导数定义1

设二元函数z=fx，y在点x0,y0的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时,相应地，函数z=f(x,y)有增量（称为函数对x的偏增量）f(x0+Δx,y0)－f(x0,y0)，若极限一、偏导数存在,则称函数z=fx，y在点x0，y0处对x可导，此极限为函数z=fx，y在点x0，y0处对x的偏导数,记为即类似地，当x固定在x0，而y处有增量Δy时，相应地，函数z=f(x,y)有增量（称为函数对y的偏增量）一、偏导数f(x0,y0+Δy)－f(x0,y0),若极限存在,则称函数z=fx，y在点x0，y0处对y可导，此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数，记为一、偏导数定义2

如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点处对x(或对y)的偏导数都存在，那么这个偏导数也是关于x，y的二元函数，就称这个函数为z=f(x,y)对x(或对y)的偏导函数（简称偏导数），记为一、偏导数偏导数的记号

是一个整体的记号，不能看作分子分母之商.注意一、偏导数

偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.一、偏导数偏导数的计算方法2.由偏导数的定义知，函数对哪个自变量求偏导数，就先把其他变量看作常数，从而变成一元函数的求导问题.以二元函数z=f(x,y)为例，求

时，只要把y暂时看作常量而对x求导数；求

时，则只要把x暂时看作常量而对y求导数.一、偏导数求z=xsinx+y的偏导数.

解【例1】求z=x2+2xy+4xy2在点1,2处的偏导数．

解因为所以【例2】一、偏导数求的导数

解【例3】一、偏导数偏导数的几何意义3.设M0(x0,y0,f(x0,y0))为曲面z=f(x,y)上的一点.过M0作平面y=y0，它与曲面的交线

是在平面y=y0上的一条曲线，故其方程为z=f(x,y0)，则导数,即偏导数fx(x0,y0)就是该曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率（见图8-10）.同样，偏导数fy(x0,y0)的几何意义是平面x=x0与曲面z=f(x,y)的交线

在点M0处的切线M0Ty对y轴的斜率.一、偏导数图8-10一、偏导数偏导数与连续性4.若一元函数在某点连续，则它在该点未必具有导数，这点在多元函数中显然同样成立，即多元函数在某点连续，则它在该点未必具有偏导数.例如，

为上半圆锥面，显然在点(0,0)连续即,但故fx(0,0)不存在.由x,y的对称性，fy(0,0)也不存在.一、偏导数若一元函数在某点具有导数时，则它在该点必定连续.但对于多元函数来说，即使函数在某点存在对所有自变量的偏导数，也不能保证函数在该点连续.例如，f(x,y)=在（0，0）不连续，但却存在偏导数，即一、偏导数这是因为偏导数只刻画了函数沿坐标轴方向的变化特征.一、偏导数高阶偏导数5.定义3

设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数那么在D内fx(x,y),fy(x,y)仍是关于x，y的二元函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数.二元函数的二阶偏导数按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：一、偏导数类似地可定义更高阶的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数，既有关于x又有关于y的高阶偏导数称为混合偏导数，如一、偏导数设

解【例4】一、偏导数设

解在例4和例5中，两个二阶混合偏导数都相等，即这是偶然还是必然的呢？不妨再观察一个例子.【例5】一、偏导数设求fxy(0,0)和fyx(0,0).

解因为

【例6】一、偏导数所以同理可求得fyx(0,0)=1.显然，此例中fxy(0,0)≠fyx(0,0)，事实上二阶混合偏导数相等是有条件的.一、偏导数如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那么在D内该定理的结论对n元函数的混合偏导数也成立.定理1一、偏导数设f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2，求各二阶偏导数及fzzx(x,y,z).

解因为

【例7】一、偏导数

引例说明由例2的结果知，当单位体积空气中固体污染物的数量为1个单位，气体污染物的数量为2个单位时，固体污染物每增加1个单位时，大气污染指数将增大22个单位.同样，当气体污染物的数量增加1个单位时，大气污染指数将增大18个单位.二、全微分在第二章我们已经学习了一元函数y=f(x)微分的概念，现在用类似的思想和方法，通过多元函数的全增量，把一元函数微分的概念推广到多元函数．在研究多元函数的偏导数时，只是某一个自变量变化，而其他的自变量视为常量，但在实际问题中，往往是几个自变量同时在变动，下面我们就来研究多元函数各个自变量同时变化时函数的变化情形．以二元函数为例，为此，我们引入二元函数全微分的概念．二、全微分全微分的概念1.

一般来说，计算函数的全增量是比较麻烦和复杂的，能否找到一个计算简单且准确度较高的近似表达式呢？请看二元函数的全微分概念．二、全微分定义4

设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有定义，如果函数在(x0,y0)处的全增量Δz可以表示成

Δz=AΔx+BΔy+α，（8-2）其中A,B与Δx,Δy无关仅与x0,y0有关，α是的高阶无穷小，即为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分，记为dz，即二、全微分

dz=AΔx+BΔy．（8-3）这时也称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微．如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都可微，则称函数z=f(x,y)在区域D内是可微的．在第二章的学习中，我们知道了一元函数连续、可导与可微三者之间的关系，那么，对于二元函数连续、可导与可微三者之间的关系又如何呢？在第二节我们知道了函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在，不能保证函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续，若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微能否保证函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续且偏导数存在呢？二、全微分如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续．证由函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，可得其中A,B与Δx,Δy无关仅与x0,y0有关，且定理2二、全微分所以故友即函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续．二、全微分定理2也告诉我们，如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处不连续，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处一定不可微．连续是可微的必要条件．上面讨论了可微与连续的关系，下面来分析二元函数可微与偏导数存在的关系．如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，如何求A，B呢？二、全微分（可微的必要条件）如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数存在，而且证因为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，所以其全增量可以表示为

Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)－f(x0,y0)=AΔx+BΔy+α，定理3二、全微分其中A,B与Δx,Δy无关，上式对任意的Δx,Δy都成立，则当Δy=0时也成立，这时全增量转化为偏增量

Δzx=f(x0+Δx,y0)－f(x0,y0)=AΔx+α，而ρ=|Δx|，两端同除以Δx得二、全微分两边取极限得即同理可证由此可知，当z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微时，必有二、全微分像一元函数一样，我们规定Δx=dx,Δy=dy，则有由证明过程可知

（8-4）

（8-5）上面两式的右端我们分别称其为二元函数z=f(x,y)对x和对y的偏微分．二、全微分一元函数中，可微与可导是等价的，但在多元函数中，这个结论并不成立．例如，由前面的知识容易知道，函数在点(0,0)处的两个偏导数都存在，但是g(x,y)在点(0,0)处不连续，由定理2知g(x,y)在点(0,0)处不可微．因此，两个偏导数存在只是函数可微的必要条件．那么，全微分存在的充分条件是否存在呢？注意二、全微分（可微的充分条件）如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数

连续，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微．证明略.常见的二元函数一般都满足定理4的条件，从而它们都是可微函数．二元函数全微分的概念可以推广到三元及其以上的函数．定理4二、全微分例如，设三元函数u=f(x,y,z)，如果三个偏导数

都连续，则它可微且其全微分为

（8-6）二、全微分求函数

在点（2，1）处当Δx=0.1,Δy=－0.2时的全增量与全微分．

解全增量为因为所以全微分为【例8】二、全微分求函数z=x2y的全微分．

解因为，所以全微分为【例9】二、全微分求函数的全微分．

解因为所以全微分为【例10】二、全微分全微分形式的不变性2.设函数z=f(u,v)具有连续的一阶偏导数，则有全微分如果u,v又是x,y的函数u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)，且两个函数也具有连续的一阶偏导数，则复合函数的全微分为二、全微分

又因为二、全微分所以由此可见，无论u,v是自变量还是中间变量，全微分形式都是一样的．这个性质就是全微分形式的不变性．利用全微分形式的不变性可以降低复合函数求导的难度，在第六章学习微分方程时已经用到过相关知识．二、全微分利用全微分形式的不变性，求复合函数

的偏导数

解

dz=d(e－ucosv)=－e－ucosvdu－e－usinvdv，du=dx－dy，dv=ydx+xdy．于是【例11】二、全微分又已知所以三、全微分在近似计算中的应用与一元函数类似，当ρ→0时，二元函数z=f(x,y)的全增量与全微分之差是ρ的高阶无穷小.由二元函数z=f(x,y)的全微分定义和全微分存在的充分条件可知，当二元函数z=f(x,y)在点P(x,y)的两个偏导数f′x(x,y),f′y(x,y)连续，并且|Δx|和|Δy|都较小时，就有如下的近似计算公式

（8-7）三、全微分在近似计算中的应用如果所考虑的是点(x0,y0)，则有

（8-8）这是求全增量的近似表达式．上式也可以写成f(x0+Δx,y0+Δy)≈f(x0,y0)+f′x(x0,y0)Δx+f′y(x0,y0)Δy.(8-9）令x=x0+Δx,y=y0+Δy，得函数值的近