第38讲推理与证明二讲义资料

新课标高中一轮总复习第五单元数列、推理与证明第38讲推理与证明(二)1.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的()AA.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件分析法是执果索因，允许原因能推出结论即可，并不一定需要充要条件，故必须为充分条件.2.若a,b∈R,且a≠b，有下列四个式子①a2+ab>2b2;②a5+b5>a3b2+a2b3;③a2+b2≥2(a-b-1);④

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>2.其中一定成立的有()DA.4个B.3个C.2个D.1个因为a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以a2+b2≥2a-2b-2,③一定成立，①②④均可找到反例.3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是()BA.假设三内角都不大于60°B.假设三内角都大于60°C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60°“至少有一个不大于的否定”为“都大于”.4.设a=,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系是

.a>c>b因为b=-=,c=-=,所以b<c，又a==，所以a>c，故a>c>b.也可用分析法.5.若a+b>a+b，则a、b应满足的条件是

.a≥0,b≥0,且a≠b由已知，a-a+b-b>0,则a(-)+b(-)>0,即(-)(a-b)>0,故a≥0，b≥0，且a≠b.1.综合法一般的，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P

Q1→Q1

Q2→Q2

Q3→…→Qn

Q2.分析法一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明的方法叫做分析法.用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q

P1→P1

P2→P2

P3→…→得到一个明显成立的条件3.反证法(1)定义：一般的，假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.(2)用反证法导出的矛盾主要有：①与假设矛盾；②与数学公理、定理、定义、公式或与已被证明了的结论矛盾；③与公认的简单事实矛盾.4.应用在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立.在证明一个问题时，如果不容易从条件到结论证明时，可采取分析的方法或者是间接证明的方法——反证法.有时证明一道题需多法并用.题型一用综合法证明

例1已知点P是直角三角形ABC所在平面外的一点，O是斜边AB的中点，并且PA=PB=PC，求证：PO⊥平面ABC.要证明PO⊥平面ABC，也就是要证明PO垂直于平面ABC内的两条相交直线.连接OC,OP，如图所示，因为AB是Rt△ABC的斜边，O是AB的中点，所以OA=OB=OC.又因为PA=PB=PC，所以△POA≌△POB≌△POC,所以∠POA=∠POB=∠POC.因为∠POA+∠POB=180°,所以∠POA=∠POB=90°,所以∠POC=90°.即PO⊥OA，PO⊥OC，所以PO⊥平面ABC.综合法证明立体几何问题，以立体几何的公理、定理、定义为基础，以递推的性质为依据进行推理论证，因此，关键是找到与要证结论相匹配的公理、定理、判定定理及其性质.同时综合法必须保证前提是正确的，推理形式合乎逻辑，才能保证结论成立.已知a>0,b>0，且a+b=1，试用分析法证明不等式(a+)(b+)≥.题型二用分析法证明例2题目条件要求使用分析法证明不等式，只需要注意分析法证明问题的步骤即可.要证(a+)(b+)≥,只需证ab+≥,只需证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,只需证4(ab)2-8ab-25ab+8≥0,只需证4(ab)2-33ab+8≥0,即证ab≥8或ab≤,由a+b=1,只需证ab≤,而由1=a+b≥2，所以ab≤显然成立，所以原不等式(a+)(b+)≥成立.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件(不一定是充要)，直到最后，把要证明的结论归结到判定一个明显成立的条件为止，这种证法也是直接证法中一种常用的方法，特别是当从已知条件推证要证的结论有困难时，往往采用分析法.题型三用反证法证明例3已知a,b,c∈R,a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0.利用反证法证明：

.a>0,b>0,c>0假设a,b,c不同时为正数，不妨先考虑a不是正数，从而有a=0和a<0两种情况.若a=0，则abc=0，与已知abc>0矛盾，故a=0不可能;若a<0,因为abc>0,所以bc<0.又因为a+b+c>0,所以b+c>-a>0,所以ab+bc+ac=a(b+c)+bc<0.这与已知ab+bc+ac>0矛盾,所以a<0也不可能.综上述，a>0成立.同理可知b>0,c>0成立.所以原命题得证.反证法证明问题的一般步骤是：(1)反设：假设所要证明的结论不成立，也就是假设在已知条件下，存在与要证明的结论相反的情形；(2)归谬：由反设出发，结合已知条件，通过正确的逻辑推理，推得矛盾；(3)存真：由所得的矛盾断言反设不真，从而肯定原命题的正确性.在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若+=,试问：A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由；若成等差数列，请给出证明.

A，B，C成等差数列，下面用综合法给出证明.因为+=,所+=3,所以+=1，所以c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，所以b2=a2+c2-ac.在△ABC中,由余弦定理,得cosB===.因为0°<B<180°，所以B=60°，所以A+C=2B=120°,所以A、B、C成等差数列.1.综合法的特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上寻找它的必要条件.2.分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件.3.反证法的步骤：①分清命题的条件和结论；②作出命题结论不成立的假设；③由假设出发，应用正确的推理方法，推理出矛盾的结果；④否定假设，从而间接的证明结论.学例1(2009·四川卷)设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn=(n∈N*).

(1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Rn.是否存在正整数k，使得Rk≥4k成立？若存在，找出一个正整数k;若不存在;请说明理由;(3)记cn=b2n-b2n-1(n∈N*)，设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n，都有Tn＜.(1)当n=1时，a1=5a1+1,所以a1=-.又因为an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1，所以an+1-an=5an+1，即an+1=-an.所以数列{an}是等比数列，其首项a1=-,公比q=-.所以an=(-)n(n∈N*).所以bn=(n∈N*).(2)不存在正整数k，使得Rk≥4k成立.下证：对任意的正整数n，都有Rn＜4n成立.由(1)知bn=4+.因为b2k-1+b2k=8++=8+-=8-＜8，所以，当n为偶数时，设n=2m(m∈N*)，则Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-1+b2m)＜8m=4n;当n为奇数时，设n=2m-1(m∈N*),则Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1＜8(m-1)+4=8m-4=4n.所以对一切的正整数n，都有Rn＜4n.所以不存在正整数k，使得Rk≥4k成立.(3)证明：由(1)知b