高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理课件新人教A版选修

2.1.2演绎推理第二章

§2.1合情推理与演绎推理学习目标1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一演绎推理思考分析下面几个推理，找出它们的共同点.(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除.答案

问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理.定义从一般性的原理出发，推出

的结论的推理特点由

的推理梳理演绎推理的概念某个特殊情况下一般到特殊思考所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案

分为三段.大前提：所有的金属都能导电.小前提：铜是金属.结论：铜能导电.知识点二三段论

一般模式常用格式大前提________________M是P小前提__________________S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P梳理三段论的基本模式已知的一般原理所研究的特殊情况1.演绎推理的结论一定正确.(

)2.在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况做出的判断.(

)3.大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的.(

)[思考辨析判断正误]√×√题型探究类型一演绎推理与三段论例1将下列演绎推理写成三段论的形式.①平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；解

平行四边形的对角线互相平分，

大前提菱形是平行四边形，

小前提菱形的对角线互相平分. 结论解答②等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；解

等腰三角形的两底角相等，

大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，

小前提∠A＝∠B. 结论解答③通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.解

在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，

大前提当通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，

小前提通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列. 结论解答反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.跟踪训练1下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是

无限不循环小数B.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结

论：π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结

论：π是无理数D.大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循

环小数是无理数解析答案√解析

对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式.类型二演绎推理的应用证明命题角度1证明几何问题例2如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理.证明

因为同位角相等，两直线平行，

大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，

小前提所以FD∥AE. 结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，

大前提DE∥BA，且FD∥AE，

小前提所以四边形AFDE为平行四边形. 结论因为平行四边形的对边相等，

大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，

小前提所以ED＝AF. 结论反思与感悟

(1)大前提的正确性：几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提正确，才能得到正确的结论.(2)大前提可省略：在几何证明问题中，每一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论.跟踪训练2已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.证明证明

因为三角形的中位线平行于底边，

大前提点E，F分别是AB，AD的中点，

小前提所以EF∥BD. 结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，

大前提EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，

小前提所以EF∥平面BCD. 结论命题角度2证明代数问题例3设函数f(x)＝

，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.解答解

若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R，

大前提因为f(x)的定义域为R，

小前提所以x2＋ax＋a≠0恒成立. 结论所以Δ＝a2－4a<0，所以0<a<4.即当0<a<4时，f(x)的定义域为R.引申探究

若本例的条件不变，求f(x)的单调递增区间.解答由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a.∵0<a<4，∴当0<a<2时，2－a>0.∴在(－∞，0)和(2－a，＋∞)上，f′(x)>0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a，＋∞).当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).当2<a<4时，2－a<0，∴在(－∞，2－a)和(0，＋∞)上，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，2－a)，(0，＋∞).综上所述，当0<a<2时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a，＋∞)；当a＝2时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当2<a<4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，2－a)，(0，＋∞).反思与感悟应用演绎推理解决的代数问题(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等.(3)三角函数的图象与性质.(4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质.(5)不等式的证明.证明证明

方法一

(定义法)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2，因为x2－x1>0，且a>1，所以

>1，而－1<x1<x2，所以x1＋1>0，x2＋1>0，所以f(x2)－f(x1)>0，所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数.方法二

(导数法)又因为a>1，所以ln

a>0，ax>0，所以axln

a>0，所以f′(x)>0.达标检测1.下面几种推理过程是演绎推理的是A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁

内角，则∠A＋∠B＝180°B.某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数

超过50人C.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质√公式1234解析答案1234解析

A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理.12342.指数函数y＝ax(a>1)是R上的增函数，y＝2|x|是指数函数，所以y＝2|x|是R上的增函数.以上推理A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误 D.正确解析

此推理形式正确，但是，函数y＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B.解析答案√3.把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________________________；小前提：___________________________；结论：___________________________________.1234答案二次函数的图象是一条抛物线

函数y＝x2＋x＋1是二次函数

函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线证明4.设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根.证明

因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，那么方程有两个相异实根. 大前提方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式Δ＝4m2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m