2023年新高考数学创新题型微专题（数学文化、新定义）专题06 向量专题（新定义）（解析版）

2023年新高考数学创新题型微专题（数学文

化、新定义）专题06向量专题（新定义）

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）定义平面向量之间的一种运算“如下：对任意的。=（m,〃）,b=（p,g）.令

aOb=mq-np,下面说法错误的是（）

A.若a与方共线，则aCA=O

B.a3b=b0a

C.对仟意的；l£R.（/la）o3=4（aO8）.

D.（。0人）+（〃m）=忖~埠

2.（2022春•湖南邵阳•高一统考期中）定义〃③匕=同2一〃心.若向量d=（2,6）,向量〃为单位向量，则"③人

的取值范围是（）

A.[0,6]B.[6,12]C.[0,6）D.（-1,5）

3.（2021春•云南昆明•高一云南师大附中校考期中）平面内任意给定一点0和两个不共线的向量e；,4,由

平面向量基本定理，平面内任何一个向量用都可以唯一表示成q,g的线性组合，m=xei+ye2（x,yeR）,

则把有序数组称为〃?在仿射坐标系[。涓刍]下的坐标，记为m=（%），）,在仿射坐标系[。弓©]下，〃，

方为非零向量，且a=（M，y）,〃=（/,%），则下列结论中（）

①〃+〃=（%+%2，乂+必）②若"JL。，则%也+乂为=。

③若口/必，则五必=/乂④8s2.=/2”一号2

4玉-+x

一定成立的结论个数是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2022・高一单元测试）若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向

量为“等模整向量”，例如向量a=（l，3）,b=（-3,-l）,即为“等模整向量”，那么模为5及的“等模整向量”有（）

A.4个B.6个C.8个D.12个

5.（2017•四川广元•统考三模）对于门个向量％生,如q,若存在〃个不全为0的示数占冬，自，小，使

得：4%+&4+&%+,+K4=O成立；则称向量4，%,%，4是线性相关的，按此规定，能使向量4=（1,0）,

“2=（1,一1），生=（2,2）线性相关的实数4，*&,则4+4自的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

6.（2022秋•内蒙古鄂尔多斯・高三统考期中）对任意两个非零的平面向量a,0,定义a4=匆，若平面

PP

向量满足忖之忖＞0,的夹角且/石和.&都在集合仁l〃wz｝中，则/$=（）

A.~B.1C.—D.—

222

7.（2023・全国•高三专题练习）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系

中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点尸作两坐标轴的平行

线，其在x轴和y轴上的截距小人分别作为点P的x坐标和y坐标，记尸（附），则在x轴正方向和），轴正方

向的夹角为。的斜坐标系中，下列选项错误的是（）

A.当6=60。时4（1,2）与8（3,4）距离为

B.点A（L2）关于原点的对称点为H（T,-2）

C.向量：=（今乂）与b=（』，％）平行的充要条件是《再=%百

D.点A（l,2）到直线x+y-l=O的距离为近

8.（2022春•黑龙江大庆•高三大庆实验中学校考阶段练习）如图所示，设。心。），是平面内相交成《。工］

角的两条数轴，q，G分别是与x,），轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系宜k为。斜坐标系，若

0历=邛+以，则把有序数对（x，y）叫做向量0M的斜坐标，记为QM=a『）.在。="的斜坐标系中,

=（;‘孝）”=（&'_）.则下列结论中，错误的是（）

①d—b=3-石，当+1；②同=1；®Qj_b；④方在Q上的投影为一夜

A.②③B.②@C.③④D.②③④

9.（2021春•上海浦东新•高一华师大二附中校考阶段练习）如图，定义〃、。的向量积[。,可=忖•忖sina,a

为当°、力的起点相同时，由a的方向逆时针旋转到与3方向相同时，旋转过的最小角，对于）=（4凹），

）=（々。2），C=（W，%）的向量积有如下的五个结论：

①[温闷=同；

②["同=[4"];

③小%力一再乂；④[a,〃+e]=[.,/?]+[a,c]；

⑤[a,5+c]=[a,人一c]；

其中正确结论的个数为（)

a

a

h

A.1个B.2个

C.3个D.4个

10.（2022春・山西朔州•高一校考阶段练习）定义/肉=卜叫为两个向量j6间的“距离”，若向量a，b满

足下列条件：（ii）a";（适）对于任意的YR,恒有小词之小，。），现给出下面结论的编号，

①.a_L6②.叫③叫④.雁1⑤.（4+〃）“。叫

则以上正确的编号为（）

A.①③B.②④C.③④D.①⑤

11.（2018・湖南•统考一模）在实数集R中，我们定义的大小关系“〉”为全体实数排了一个“序”，类似的，我

们这平面向量集合。={a|a=（x,y）,xwR,ywR}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“定义如下：

对于任意两个向量4=（大,y），/=（格力），4>的当且仅当">42”或“芭=占且）'|>当"，按上述定义的

关系“>”，给出下列四个命题：

①若q=（l,0）,=（0,1）,0=（0,0）,则

②若q>出，出>/，则4>4；

③若q>/，则对于任意的ac。，4+a>/+。；

④对于任意的向量a>0，其中0=（0,0）,若4>出，则a・q>a・〃2.

其中正确的命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

12.（2017秋•河南郑州•高三郑州一中阶段练习）若非零向量a,b的夹角为锐角0,且：=8s0,则称d被力

O

“同余”.已知力被。“同余”，则4-匕在。上的投影是（）

A.

13.（2022春•陕西榆林•高一榆林市第一中学校考期中）设。=（%/）石=3，4）,定义一种向量积：

a®b=（av/）③（伪，4）=（哈她）•已知〃i=（2,；）,〃=信°），点尸3V）在丁=sinx的图象上运动，

点。在>=/&）的图象上运动，且满足OQ=〃?®OP+〃（其中。为坐标原点），则>=/（力的最大值A及最

小正周期r分别为（）

A.2,7TB.2,4a

C.y,4^D.7T

14.（2023•河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习）设向量q与匕的夹角为。，定义。㊉人=|小皿。+加os4.

已知向量a为单位向量，W卜&，k一0=1，则a㊉。=（）

A.也B.V2C.叵D.2丛

22

15.（2022春.浙江金华・高一浙江金华第一中学校考期中）记min｛乂y｝=""Ay,设a，6为平面内的非零

[x,x<y

向量，则（）

A.min1|a+Z?|,|«-/?||<min||a|,|/?||B.min||a+Z?|2|>«2+/>2

C.min{|n+5|,|G-5|}Nmin{同，愀D.min||tz+/?f^a-bf^<a2+b2

16.（2021・全国•高三专题练习）对于向量PA（i=l,2，…,«）,把能够使得附|+|尸4|+“川外|取到最小值的点

产称为AG=1，2，…,〃）的“平衡点”.如图，矩形ABCO的两条对角线相交于点。，延长BC至E，使得BC=CE,

联结4E,分别交加、CO于广,G两点.下列的结论中，正确的是（）

A.A。的“平衡点”为0.

B.D、C、E的“平衡点”为！>、E的中点.

C.ARG、E的“平衡点”存在且唯一.

D.AB、E、。的“平衡点”必为广

二、多选题

17.（2022春・浙江•高一期中）如图所示，在平面上取定一点。和两个以点0为起点的不共线向量q,e2,

称为平面上的一个仿射坐标系，记作｛。：巧4｝，向量。历=xq+ye；与有序数组（工，村之间建立了一一对应关

系，有序数组（x,y）称为0M在伤射坐标系｛。：4勺｝下的坐标，记作OM=（x,y）.已知q,6是夹角为。=7

的单位向量，。=。,2）,b=（2,T）,则下列结论中正确的有（）

B.,卜省

C.aLbD.♦在〃方向上的投影向量为

18.（2022春•河南•高一校联考阶段练习）对任意两个非零向量a,b,定义新运算:•已知非

零向量肛〃满足同＞3%且向量皿〃的夹角序会，若和4（〃区可都是整数，则机③〃的值可

能是：）

A.2B-IC.3D.4

19.（2023・全国•高三专题练习）已知向量q,与是平面。内的一组基向量，。为。内的定点，对于。内任

意一点p,当。n=咫+泗2时，则称有序实数对a＞）为点尸的广义坐标•若点的广义坐标分别为（为，%），

（花，匕），关于下列命题正确的是（）

A.线段A,B的中点的广义坐标为（受尹■，上产）

B.A,B两点间的距离为—/『+回一必『

C.若向量。4平行于向量OB，则引力=12,

D.若向量04垂直于向量OB，则占占+、y2=2

20.（2022•江苏南京•统考模拟预测）设机〃是大于零的实数，向量4=（wwsa,msina）为=（〃8s0〃sin/?）,

其中a,/7e[0,2乃），定义向量（a/=fVwcosy,Vmsiny2=（jGcos§、/£inf）,记6=。一尸，则（）

£2

A.（a）?（a）2=a

■-,0

B.(ay(by=\[mncos—

2

C.{aY-(b)2^4x//w7sin2—

4

G_

D.(a)2+(b)2>4\/w?cos

4

21.(2022•浙江温州・高一永嘉中学统考竞赛)设0、A、8是平面上任意三点，定义向量的运算:

det(OA,O8)=OA、O8,其中由向量OA以点。为旋转中心逆时针旋转直角得到(若OA为零向量，规定

04；也是零向量).对平面向量£、B、人下列说法正确的是()

A.det(a,A)=deta)

B.对仟意千sR.det(a+4^,)=det(a,b)

del仿,c)det|c,^)

C.若〃、b为不共线向量，满足m+^=c(x,yeR),则x=一/

det(a,adet(a,b)

D.dct(a,Z?)c+det(/>,c)a+det[,a)方=6

22.(2023春・湖北武汉•高一华中师大一附中校考阶段练习)对任意两个非零的平面向量a和夕，定义

aB=照，若平面向量久6满足同之也卜0，〃与6的夹角夕£。*，且〃b和b〃都在集合

{'IMwZ,〃ez}中.给出以下命题，其中一定正确的是()

A.若7%=1时，则ab=ba=I

B.若/w=2时，则ab=—

2

C.若加=3时，则a〃的取值个数最多为7

D.若帆=2014时，则°%的取值个数最多为竺日

2

23.(2023•全国•高三专题练习)定义平面向量的一种运算“。”如下:对任意的两个向量：=(/%),力=(法见)，

11

令㈤。=(石必一七51小七+5跖)，下面说法一定正确的是()

A.对任意的&R,有%)*

B.存在唯一确定的向量工使得对于任意向量〃，都有温3=为：=:成立

C.若〃与人垂直，则与力岷）共线

D.若〃与E共线，贝与h（后：）的模相等

三、填空题

24.（2023春・江苏泰州•高一靖江高级中学校考阶段练习）设向量d与b的夹角为。，定义力与6的“向量积”，

axb是一个向量，它的模等于向司=|珊sin。，若〃=（1,a，b=（-瓜-1）,则,xq=.

25.（2018春・安徽芜湖•高一芜湖一中校考阶段练习）在平面斜坐标系x0y中，Z^=60°,平面上任一点。

关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若。P=%+g（其中平6分别为X，＞轴方向相同的单位向量），

则P的坐标为（%,），），若P关于斜坐标系心的坐标为则|。耳=

26.（2019春・安徽芜湖•高一校联考期中）定义〃*力=厘，若）=（1,2）,6=（3,-2）,则与〃2方向相反的

ah

单位向量的坐标为.

27.（2022秋・湖南长沙•高三校考阶段练习）已知对任意平面向量A8=（x,y）,把他绕其起点沿逆时针方向

旋转6角得到向量4P=（vcos0-ysin0,xsin0+ycos0）.如图所示,顶角Z.Q=120°的等腰三角形PQR的顶点尸、

。的坐标分别为P（LO）、Q（3,J5）,则顶点H的坐标为.

28.（2022春•北京海淀•高一校考期中）设平面中所有向量组成集合C,c为C中的一个单位向量，定义

网切=-£+2（£拓”.则下列结论中正确的有（只需填写序号）.

①若则尸（布）•尸（万）=称%

②若/eC,伉4=5,则网尸（9）=尤；

③若d=(l,O),v=(O,l),尸仅)=",则e-有唯一解与，兴.

/

29.(2022春・江苏南通・高一海安市曲塘中学校考期中)小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如

下研究成果：若04=(%,X),。月=伍，%)，则与加=；归力一超川•试用上述成果解决问题：已知A(L1),

B(2,3),C(4,5),则S.c=.

30.(2022春・上海宝山•高一上海交大附中校考阶段练习)关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2

种u变换和4种卬变换

v,：模变为原来的3倍，同时逆时针旋转90。；

v2：模变为原来的g倍，同时顺时针旋转90。；

“：模变为原来的夜倍，同时逆时针旋转45。；

叱：模变为原来的血倍，同时顺时针旋转45。；

吗：模变为原来的夜倍，同时逆时针旋转135。；

切：模变为原来的&倍，同时顺时针旋转135。.

记集合s=N，a件吗，明，卬/，若每次从集合S中随机抽取一种变换.经过〃次抽取，依次将第i次抽取的

变换记为4«=0，1，2,…,〃)，即可得到一个〃维有序变换序列，记为。(如外，…，％)，则以下判断中正确的

序号是.

①单位向量i=(U))经过2022次y变换后所得向量一定与向量。=(0,1)垂直；

②单位向量:(1.0)经过2022次w变换后所得向量一定与向量。=(0,1)平行；

③单位向量\(1.0)经过G6变换后得到向量)=(-1,0),则Ge中有且只有2个y变换；

④单位向量”(1.0)经过G?变换后不可能得到向量力=(1,1)；

⑤存在小使得单位向量，=(1，0)经过G,次变换后，得至IJ1=(2022,2022).

31.(2022春•湖南株洲•高一株洲二中校考阶段练习)设V是已知平面M上素有向量的集合，对于映射

记日的象为/(d).若映射广丫一丫满足：对所有,、及任意实数人4都有

fSa+"b)=WS)+“(b),则/称为平面"上的线性变换，现有下列命题：

①设/•是平面M上的线性变换，a、OeV，则〃。+6)=/(。)+〃6)；

②若4是平面M上的单位向量，对deV,设/（〃）=〃+«,则，是平面”上的线性变换；

③对awV,设/3）=-".则/'是平面加上的线性变换：

④设/是平面M上的线性变换，atV,则对任意实数上均有/（3）=4（。）.

其中的真命题是（写出所有真命题的编号）.

32.（2021春・重庆南岸•高一重庆第二外国语学校校考阶段练习）定义平面非零向量之间的一种运算“※二

一一4-

记族b=acose+）sin。，其中。是非零向量。力的夹角，若百，电均为单位向量，且69=丁则向量q※/

与4※（-e；）的夹角的余弦值为.

33.（2021春・陕西宝鸡•高一统考期末）设必、3,是平面内相交成120。角的两条数轴，q,。；分别是与x轴，

y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=xq+*2,则把有序数对（x,y）叫做。尸在坐标系中的坐标.假

设OP=（2,2），则的大小为.

34.（2018春・浙江台州•高一台州中学校考期中）已知向量d及向量序列：吗，吗，满足如下条件：

|=2口卜2,4»=1,且％一4二=1（〃22,〃£1＜）,当1«女49且2€1＜时，的最大值为.

35.（2017春•北京东城•高二统考期末）已知平面向量。=（加,〃），平面向量b=（p,q）,（其中见〃，〃应£Z）.

定义：a®b=（mp-nq,mq+np）,若a=（1,2）,/?=（2,1）,则;

若a0〃=（5,0）,且忖＜5,W＜5,则",b=（写出一组满足此条件的a和6即可）.

36.（2014・安徽•高考真题）已知两个不相等的非零向量ag两组向量：％.，吗，均'尊帝和品，地,叫黑；阳均

由2个a和3个b排列而成.记S=.qI-X-"7：：:-二iJ-1：，S/表示S所有可能取值中

的最小值.则下列命题的是（写出所有正确命题的编号）.

①5有5个不同的值.

②若则S―与口无关.

③若5川2,则S―与口无关.

④若E＞小，则S-＞0.

2

⑤若W=2|4，Smin=8|a|,则［与Z的夹角为:

37.（2021春•重庆沙坪坝•高一重庆南开中学校考阶段练习）定义：对于实数用和两个定点M、N,在某图

形上恰有〃个不同的点玖”123,川），使得用=称该图形满足“〃度冏合】若在边长为4的正

方形A6CO中，BC=2BM，DN=3NA，且该正方形满足“4度冏合”，则实数小的取值范围是.

38.（2022・全国•高三专题练习）定义两个向量组X=（x，X2，W），y=（%%，%）的运算

X-y=x1yI+x^y2+xy-y3，设q©9为单位向量，向量组X=（与巧,刍）,卜=（升，％，%）分别为。©，色的

一个排列，则x-y的最小值为.

39.（2022・北京顺义・统考二模）向量集合5={m=（乂），）,居川/?},对于任意人派5,以及任意丸耳。』，

都有/ia+（l-4）beS,则称集合S是“凸集”，现有四个命题：

①集合M={4,=（乂y）,'之"2}是“凸集,,；

②若S为“凸集”，则集合N={2*C5}也是“凸集”；

③若AM都是“凸集”，则A〜&也是“凸集”；

④若A，4都是“凸集”，且交集非空，则AcA?也是“凸集”.

其中，所有正确的命题的序号是.

四、解答题

40.（2022秋・河北沧州•高二校考开学考试）平面内一组基底04,。8及任一向量

OC,OC=xOA+yOB^yeR）f若点C在直线AB上或在平行于48的直线上，我们把直线AB以及与直线

A3平行的直线称为“等和线”，此时x+y为定值，请证明该结论.

41.（2022秋・上海嘉定.高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，。为坐标原

点，定义非零向量OM=（冬。）的“相伴函数”为y=osinx+bcosx（xwR）,向量OM=3,加称为函数

y=a$inx+〃cosx（xeR）的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S

（1）已知aeR,Kr）=cos（x+a）+2cosx,若函数〃（幻为集合S中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；

⑵已知点M（a向满足条件：a=3,OvbWx/5,若向量OM的“相伴函数"V=g（x）在％=%处取得最大值，

当b在区间（0,6］变化时，求tan2%的取值范围；

（3）当何量OM=（6,1）时，“相伴函数”为f（x）,若xc0,学，方程r（x）+（2-a）/（x）+a-3=0存在4个

不相等的实数根，求实数。的取值范围.

42.（2022春•上海奉贤•高一校考期末）对于一个向量组…以“（〃之，,令”=4+%+…+勺，

如果存在使得14Hq-可，那么称《是该向量组的“好向量”

⑴若4是向量组4,电，生的“好向量”，且q=（〃，x+〃），求实数x的取值范围；

⑵已知％,%,%均是向量组4，%，4的.'好向量”，试探究4，%生的等量关系并加以证明.

43.（2021春・山西临汾•高一统考阶段练习）如图，在正方形A8CO中，点E是AB的中点，点尸，G分别是

A。，BC的二等分点.

（1）EF,EG有什么关系？用向量方法证明你的结论.

（2）已知对任意平面向量MN=（x,y）,把MN绕其起点沿逆时针旋转夕角得到向量

MP=（xcos0-ysin<9,xsin<9+ycos0）,现做把点N绕点M沿逆时针方向旋转。角得到点P.已知正方形

A股⑦中，点40.0）,点6（2,0）,0（0,2）,把点G绕点七沿顺时针方向旋转g后得到点P,求点尸的坐标.

44.（2021春•四川成都•高一四川省成部市盐道街中学校考阶段练习）定义非零句量0M=（。,3的“相伴函数”

为f（x）=asinx+Ocosx（xwR）,向量0M=（4,匕）称为函数/（力=45抽工+。881（不£2的“相伴向量”（其

中。为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数''构成的集合为S.

⑴设Mx）=6cos1+弓）+385（方-工）rwR）,请问函数力（X）是否存在相伴向量OM，若存在,求出与OM

共线的单位向量；若不存在，请说明理由.

（2）已知点M（a,b）满足：向量OM的“相伴函数”/（x）在％处取得最大值，求由2Ao的取值

范围.

专题06向量专题（新定义）

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）定义平面向量之间的一种运算“。”如下：对任意的。=（根，〃）*=（〃，q）.令

aCb=mq-np,下面说法错误的是（）

A.若a与加共线，则ab=O

B.ab=b0a

C.对任意的;leR,（/la）05=之

D.（aQ〃）+（a

【答案】B

【分析】根据给出的运算的新定义，结合已知的向量的数量积公式及模长公式逐项判断即可.

【详解】若。与b共线，则有a:_Z?=〃?g-叩=0,故A正确；

bja=pn-qtn,MaQb=mq-np,a~b^ba»故选项B错误：

对任意的2wH,（2。）b=Amq-Anp,

又aOb=mq-叩，：.（b）=痴勺-A叩,故C正确；

•«,（aT（a.b）=（mq叩+（/??/?Inq^=m2q2+n2p2+m2p2TrTq1,

又qZ>|'=（7M2+n2）（p2+）=m2p2+m2q2+n1p2+n2q2,故D正确.

故选：B.

2.（2022春・湖南邵阳•高一统考期中）定义力.若向量4二（2,逐），向量人为单位向量，则〃⑥b

的取值范围是（）

A.[0,6]B.[6,12]C.[0,6）D.（-1,5）

【答案】B

【分析】求得同，设<ag>=e,整理可得。合白为关于。的关系式，进而求解.

【详解】因为仪=（2,司，所以同=口。时=3,

设力>=。，6e[0,句，由向量g为单位向量，

所以4③b=\d^-ab=32-3xlxcos<a,Z?>=9-3cos^,

因为cosee[—l/],所以4③hw[6,12],

故选：B

3.（2021春•云南昆明・高一云南师大附中校考期中）平面内任意给定一点。和两个不共线的向量e；,“由

平面向量基本定理，平面内任何一个向量都可以唯一表示成q,6的线性组合，"7=xq+）宏2（x，y£R），

则把有序数组（x,y）称为用在仿射坐标系[。咫/]下的坐标，记为〃?=*,y），在仿射坐标系[。；6勺]下，。，

b为非零向量，且i=（ax）,%=（a力），则下列结论中（）

①白+6=（吞+々,乂+必）②若a_Lb,则%与+%>2=。

▲,▲xx,-y.Vo

③若□/区，则占%=再到④cosi'，:/22

一定成立的结论个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用向量的新定义结合向量的性质逐个分析判断即可

【详解】在仿射坐标系[。0,与]下，设（不弓"，因为：=（A，y）,}=（.，必），所以

h=x2ex+y2e2,所以a+b=（x+X）q+（）1+加）62，所以+/，X+g），①正确：

若aJ_5，则〃力=0，所以4心=（司6+/2>（通白+%62）=阳426|2+（百%+>丙）4仁+丫跖小，

e

=卬:?|4『+（Xy2+*）\\\同cose+了防k|~=°，故②不一定正确;

因为力必，所以存在唯一的实数4，使得>=肪，则耳0+了©=丸124+,'2/），所以司=九1凶二尤必，所

以占以=X2乂，所以③正确；

a•b.-2*.2

cos〈a,历=||’由②知，a-b=x{x2e^^-[xxy2+e2+yly2e2',所以④不一定正确，

所以正确的有2个,

故选：B

4.(2022・高一单元测试)若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向

量为“等模整向量”，例如向量”=(1,3)为=(-3,-1),即为“等模整向量”，那么模为5&的“等模整向量”有()

A.4个B.6个C.8个D.12个

【答案】D

【分析】把5五=同=J(±iy+(±7)2=J(±5『+(±5)2,分别写出向量即可.

【详解】因为5人=同、J(±l)2+(±7)2=J(±5)2+(±5尸

所以模为5五的等模整向量有

4=(1»7)，4=(1,-7),ciy=(-1,7),a4=(-1,-7)

4=(7/)，％=(7,-1),”(-7,1),^=(-7,-1)

%=(5,5)，=(5,-5),au=(-5,5),a]2=(-5,-5)

所以模为5板的等模整向量共有12个.

故选：D

【点睛】在求向量模的有关问题时通常的处理方法有:

(l)a2=a・a=|a|2或忖：

2

(2),±0=土b)2=y]a±2ah+b；

⑶若a—(x,y),则|a|—^Jx2+y2.

5.(2017•四川广元•统考三模)对于〃个向量q,%,%若存在麓个不全为0的示数4,心，&,•,心，使

得：g+&4+%%++knan=0成立；则称向量/出，%，4是线性相关的，按此规定，能使向量q=(1,0),

生=(1,-1),q=(2,2)线性相关的实数。内冬，则K+4%的值为()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

k+k+2k=0

【分析】由题可得3+内生+切广。，结合条件可得Y'即得.

【详解】由题可知4%+心〃2+勺％=0，4=(1,0),4=(1,-1),1=(2,2),

勺+&+2占=0

所以

4xO+&(-1)+2攵3=0

两等式两边相加可得K+4%=0.

故选：B.

6.（2022秋•内蒙古鄂尔多斯・高三统考期中）对任意两个非零的平面向量a,/5,定义aB=端,若平面

PP

向量也满足忖训>0,9的夹角夕电且.8和.&都在集合（自〃回中，则占方=（）

A.!B.IC.-D.一

222

【答案】C

【分析】由题意可可设meZ,teZ,a6=胃,ba=j,^cos2^=y对小,，进行赋值即可

得出小，/的值，进而得出结论.

【详解】解:

又由I。|…闻>0,可设机wZ,teZ,

令4b==,ba=4，^./«>/>0

22

又夹角q。（）所以cos?夕吟u，

对机，f进行赋值即可得出加=3,1=1

所以db===*.

故选：C.

7.（2023・全国•高三专题练习）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系

中两条坐标轴不垂宜，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点尸作两坐标轴的平行

线，其在x轴和），轴上的截距a,b分别作为点P的x坐标和y坐标，记尸（。回，则在x轴正方向和y轴正方

向的夹角为，的斜坐标系中，下列选项错误的是（）

y

A.当6=60。时A(l,2)与8(3,4)距离为26

B.点4(1,2)关于原点的对称点为4(-1,-2)

C.向量i=(XQ1)与&=(七,>2)平行的充要条件是用2=%%

D.点A(l,2)到直线x+y-l=0的距离为&

【答案】D

【分析】根据“斜坐标系’’的定义，结合向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】设％轴正方向的单位向量为耳，>轴正方向的单位向量为e；，

对于A选项：由已知得乐6)=60。，所以《乌=以吗=热

由A(1,2),B(3,4)及斜坐标的定义可知。4=0+么,08=招+狷，

=+e

|A@=|OB-O/4|=2pj+^2|2)=2/；+2%•s+4=2J1+1+1=2y/3，

故A选项正确；

对于B选项:根据“斜坐标系”的定义可知:点A(l,2),则OA=q+%,设A(l,2)关于原点的对称点为A(x,y),

则OA'=-OA=-e,~2e2=xex+ye2,

―—fx=-I

由于qg不共线，所以|),=_2，

故B选项正确；

对于C选项：a=xxe^+y,e2,b=x2et+y2e2,

若£是零向量，则;〃力成立，同时％=乂=0，所以不必=/,成立，

11

此时allb<=>x1y2=x2)\；

若£是非零向量，则£〃方=存在非零常数31$<=>x2el+y2e2=Xxxex+A,y\e2<=><_；=

11

Ax2yl=Ax]y2oy）x2=y2x},所以〃〃。<=>再％=£）1.

故C选项正确；

对于D选项：设直线4+y-1=0上的动点为尸（乂y）.OP=咫+），/,

因为x+y-l=0,所以x+y=l,

设加=e；,。力=e；,则点P（M），）在直线C。匕

所以直线x+y-1=0过点C（l,0）,。（0,1）,

因为

=q+2e2,M|AC|=|0C-0A|=2^2|=2,

卜£）|=1Of）-0/4]=k+6]=J（q+S）=&，

由于pq=|。4=1,（0Coo）=60°,所以「百=1.

所以,。『+欧]=罔,所以AOJ.CO，

所以点4到直线x+y-1=0的距离为卜4二6，

故D选项错误.

故选：D

8.（2022春•黑龙江大庆•高三大庆实验中学校考阶段练习）如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成

角的两条数轴，q，G分别是与x,），轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系宜k为。斜坐标系，若

0历=邛+以，则把有序数对(x，y)叫做向量0M的斜坐标，记为QM=(x,『).在。="的斜坐标系中,

=&'孝)*=(&'_).则下列结论中，错误的是()

①j二3一石，孚+11②同=1;③皿；④方在Q上的投影为一夜

A.②③B.②@C.③④D.②③④

【答案】D

【分析】借鉴单位向量夹角为9(r时的情况，注意夹角为。=f；

4

22

a-b=(xxe^^y[e2)-(x2e^y2e2)=(xx-x2)el+(y)-y2)e2；|«|=7^=7%+y；

数量积为=+乂62>(%2《+%/)；

5在£上的投影为|4cos6=M#j=^.

【详解】对于①..一匕=(gc+^^e2)_(6G-©2)=(3-6鸠+(^^+1把2，

所以。-6=上岭),故①正确；

对于②•卜卜J(gq+*弓)2=J；e：+2xgx孝q-e2+：e22=Jl+^cos^=J1+半>1，故②错误;

对于③.ab=(—e1+^-€2)-(>/3£1-e2)=^--^-+e2-e2=0+-^-^0,故③错误；

22222

72

对于④.占在£上的投影为整=各>0，故④错误,

H\a\

故选：D

9.（2021春•上海浦东新•高一华师大二附中校考阶段练习）如图，定义。、。的向量积［。,可=闻忖011。，a

为当£、力的起点相同时，由a的方向逆时针旋转到与3方向相同时，旋转过的最小角，对于”=（X1,y）,

力=（0%），。=（七,%）的向量积有如下的五个结论:

①［加同=沏［a间；②["同=[4"]；

③［a,小王%一工2%；④+cj=[a,可+[a,c]；

⑤［a,5+c］=［ag-c］；

其中正确结论的个数为（)

-------A

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【答案】C

【分析】结合题目中的新定义的概念逐项分析即可得出结论.

【详解】①九〃至少有一个为。时，显然成立；

都不为0时,

若2//>0,则/©11«=%〃„沙卜皿0=4/［4,力］；

若2//<0,则［痴,〃可=,〃］.|闻与113_乃）=即忖.怀$10=沏［4,可；

综上：［&/,同=初［。,可，故①正确；

②［。同=忖,Msina,忸,a］=%..sin（-a）=-M•忖sina,所以［a,可工［Aa］,故②错误；

③,同第1卜强二"%一占）;，故③正确；

X2%

④由③知：［。出+可=%回+必）-%（再+丹）=石、2fy+石%-劭=［〃同+［方同，故④正确;

⑤［2出+可=办（%+%）-%（马+动，［»-0=芭（%-%）-%（马一巧），石（%+%）—玳凡+丹）与

%|（%-%）-,（9-七）不一定相等，故⑤错误；

故选：c.

10.（2022春・山西朔州•高一校考阶段练习）定义d（a,b）=|a-4为两个向量£,6间的“距离”，若向量入坂满

足下列条件：（i）M=l;5）叱加⑺）对于任意的小火，恒有4，协）之小，冲，现给出下面结论的编号,

①.a_L6②/叫③④.忖21⑤.（a+/?）_!_（4-。）

则以上正确的编号为（）

A.①③B.②④C.③④D.①⑤

【答案】B

【分析】根据题意可得（。-可之,叫I转化为/-2加0+（24.力-1）之。对于任意的能/?恒成立，即△4（），

整理得（。力-1）2^0,再利用向量的数量积逐一判断即可.

【详解】由于小乃）=卜-小又对于XR,恒有水,仍）之小力），

显然有仍卜卜一q,即（”_法了之（〃_3）2,

则，2―2加4+（2«$_1/0对于任意的恒成立，

显然有△=（-%/）2-4（2a-b-l）W0成立，

即则°力=1，故序号①错误，

进而a.b=”.阵€«。=1,

♦・书=1，于是8S。=同G,得忖21,即序号④正确.

再由i力一1=0得＞力-j=o，得可£-q=。，

：.bl（a-b）t显然序号②正确.从而序号③错误,

再由②•工人故序号⑤错误.

综上妇本题正确的序号为②④.

故选：B.

【点睛】本题命制是以新定义为背景，考查向量长度及数量积等知识概念，同时考查了等价转换、不等式

恒成立问题，符合以生考熟的高考理念，考查知识内容源于教材，试题面向全体考生，不同思维能力层次

的考生度可以利用熟悉的通法来解决问题，从而增强考生的自信心，有利于考生正常发挥，属于中档题.

11.（2018.湖南.统考一模）在实数集A中，我们定义的大小关系“〉”为全体实数排了一个“序”，类似的，我

们这平面向量集合。={a|a=（x，y），xwR，），R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为定义如下：

对于任意两个向量q=（和y），/=（々，%），彳＞2当且仅当“百＞巧”或“％=/且%“2”，按上述定义的

关系”＞”，给出下列四个命题：

①若q=（1,0）,4=（0/），0=（0,0）,则q＞e；＞6；

②若4＞。2，a2＞a3,则4＞/；

③若4＞出，则对于任意的aw。，+a＞a2+a；

④对于任意的向量a＞0，其中0=（0,0）,若4＞生,则aqAa。％.

其中正确的命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】按照新定义，对每一个命题进行判断.

【详解】对于①，由定义可知①是正确的；

对于②，中q=（N，y）,q=（毛,必）吗=6，%），满足已知4＞/，则%之“2之七，只要有一个没有

等号，则一定%＞七，若％=刍，则都满足正确；

对于③，•••%＞与=＞%