2025版高考数学一轮复习核心考点精准研析1.3量词逻辑联结词文含解析北师大版

PAGE7-量词、逻辑联结词核心考点·精准研析考点一含有逻辑联结词命题的真假推断

1.若命题“p∨q”是真命题,“p为真命题”,则 ()A.p真,q真 B.p假,q真C.p真,q假 D.p假,q假【解析】选B.因为p为真命题,所以p为假命题,又因为p∨q为真命题,所以q为真命题.2.已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p且q;②p或q;③p且(q);④(p)或q中,真命题是 ()A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【解析】选C.当x>y时,-x<-y,故命题p为真命题,从而p为假命题.当x>y时,x2>y2不肯定成立,故命题q为假命题,从而q为真命题.由真值表知,①p且q为假命题;②p或q为真命题;③p且(q)为真命题;④(p)或q为假命题.3.“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)

【解析】p或q为真命题p且q为真命题;p且q为真命题⇒p或q为真命题.答案:必要不充分1.推断含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假(1)弄清构成它的命题p,q的真假;(2)弄清结构形式;(3)依据真值表来推断新命题的真假.2.推断复合命题的真假关键是精确推断p,q的真假,本部分内容可和其他学问建立广泛的联系,因此,要留意相关学问的娴熟驾驭.考点二全称命题与特称命题

【典例】1.(2024·西安模拟)下列命题中,真命题是 ()A.∃x∈R,sin2x3+cos2x3B.∀x∈(0,π),sinx>cosxC.∃x∈R,x2+x=-2D.∀x∈(0,+∞),ex>x+12.命题“∀x>0,xx-1>0”A.∃x≥0,xx-B.∃x>0,0≤x≤1C.∀x>0,xx-D.∀x<0,0≤x≤13.(2024·武汉模拟)命题“∃x∈(0,+∞),lnx=x-1”的否定是 世纪金榜导学号A.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1C.∃x∈(0,+∞),lnx≠x-1D.∃x∉(0,+∞),lnx=x-1【解题导思】序号联想解题1由全称命题正确,想到对全部实数都成立,由特称命题正确,想到只要存在一个实数让命题成马上可2由全称命题的否定,想到换量词,否结论3由特称命题的否定,想到换量词,否结论【解析】1.选D.∀x∈R,均有sin2x3+cos2x当x∈0,π4因为方程x2+x+2=0对应的判别式Δ=1-8<0,所以x2+x+2=0无解,所以∃x∈R,x2+x=-2是假命题,故C是假命题;令f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1,当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0恒成立,则f(x)为增函数,故f(x)>f(0)=0,即∀x∈(0,+∞),ex>x+1.2.选B.因为xx所以xx-1>0的否定是0≤所以命题的否定是“∃x>0,0≤x≤1”3.选A.变更原命题中的两个地方即可得其否定,∃改为∀,否定结论,即lnx≠x-1.1.全称命题、特称命题的真假推断方法(1)要推断一个全称命题是真命题,必需对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要推断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x,使得p(x)不成马上可.(2)要推断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x,使p(x)成马上可,否则,这一特称命题就是假命题.(3)不管是全称命题,还是特称命题,其真假不简单正面推断时,可先推断其命题的否定的真假.2.对全称(特称)命题进行否定的两步操作(1)转换量词:找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再变更量词.(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.1.已知命题“∃x>0,使2x(x-a)>1”,则这个命题的否定是A.∀x>0,使2x(x-a)>1B.∀x>0,使2x(x-a)≤1C.∀x≤0,使2x(x-a)≤1D.∀x≤0,使2x(x-a)>12.下列命题中,真命题是 ()A.∀x∈R,x2-x-1>0B.∀α,β∈R,sin(α+β)<sinα+sinβC.∃x∈R,x2-x+1=0D.∃α,β∈R,sin(α+β)=cosα+cosβ【解析】1.选B.命题的否定为∀x>0,使2x(x-a)≤1.2.选D.因为x2-x-1=x-122-54≥-54,所以A是假命题.当α=β=0时,有sin(α+β)=sinα+sinβ,所以B是假命题.x2-x+1=x-122+34≥34,所以C是假命题.当α=考点三依据命题的真假求参数的取值范围

命题精解读1.考什么:(1)依据命题的真假,求参数的取值(取值范围)(2)考查学生的数学运算、逻辑推理的核心素养2.怎么考:与方程、不等式结合,依据命题的真假,求参数的取值范围学霸好方法1.求参数问题的解题思路:(1)不等式类问题,依据集合之间的关系求解(2)恒成立、存在性问题,求最值2.交汇问题:与方程、不等式、函数等问题结合,留意恒成立、存在性问题的解决方法复合命题真假的应用【典例】已知命题p:存在实数m,使方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;命题q:存在实数m,使方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,则m的取值范围为 世纪金榜导学号()A.[3,+∞) B.(1,2]C.(1,2]∪[3,+∞) D.[1,2)∪(3,+∞)【解析】选C.因为方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根,所以Δ=因为方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,所以Δ<0,解得1<m<3.因为“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,所以p与q一真一假.所以m>2,所以m的取值范围{m|m≥3或1<m≤2}.若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题能得到什么结论?提示:能得到p,q一真一假.依据特称命题、全称命题求参数取值范围【典例】1.(2024·太原模拟)已知命题p:∃x∈R,ex-mx=0,q:∀x∈R,x2+mx+1≥0,若p∨(q)为假命题,则实数m的取值范围是 ()A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.[0,2]C.R D.∅2.已知p:∃x∈R,mx2+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p和q都是假命题,则实数m的取值范围为 世纪金榜导学号()A.m≥2 B.m≤-2C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2【解析】1.选B.若p∨(q)为假命题,则p假q真.由ex-mx=0,得m=exx,设f(x)=exx,则f′(x)=(x-1)exx2,当x>1时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当0<x<1时,f′(x)<0,f(x)为减函数,当x<0时,f′(x)<0,f(x)为减函数,所以当x=1时,f(x)取微小值f(1)=e.所以f(x)∈(-∞,0)∪[e,+∞).所以命题p为假命题时,有0≤m<e;命题q为真命题时,有Δ=m2-4≤0,即-2≤m≤2.选A.依题意知,p,q均为假命题.当p是假命题时,∀x∈R,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.综上m≥2.若全称命题是假命题,则能得到哪个命题是真命题?同样,若特称命题是假命题,则能得到哪个命题是真命题?提示:若全称命题是假命题,则其否定——特称命题是真命题,若特称命题是假命题,则其否定——全称命题是真命题.1.命题“随意x∈R,13x>0A.存在x∈R,13x<0 B.随意x∈R,1C.随意x∈R,13x<0 D.存在x∈R,1【解析】选D.全称命题的否定是特称命题,“>”的否定是“≤”.2.设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为 ()A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n【解析】选C.因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,p(x)”,所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.3.已知命题“∃x∈R,x2+ax-4a<0”为假命题,则实数a的取值范围为A.[-16,0] B.(-16,0)C.[-4,0] D.(-4,0)【解析】选A.由题意可知“∀x∈R,x2+ax-4a≥0”为真命题,所以Δ=a2+16a≤0,解得-16≤a≤(2024·全国卷Ⅲ)记不等式组x+y≥6,2x-y≥0表示的平面区域为D.命题p:∃