2025版高考数学一轮复习核心考点精准研析4.2三角函数的同角关系诱导公式文含解析北师大版

PAGE10-三角函数的同角关系、诱导公式核心考点·精准研析考点一同角三角函数的基本关系式的应用

1.(2024·西安模拟)若sinα=-513,且α为第四象限角,则tan()A.125 B.-125 C.512【解析】选D.因为sinα=-513,α所以cosα=1-sin2α=1213,所以tan2.已知cosα=k,k∈R,α∈π2,π,则A.-1-k2C.±1-k2【解析】选B.因为α∈π2,π,所以cos所以sinα=1-cos【巧思妙解】(解除法)选B.因为α∈π2,π,所以sinα>0,解除A,C,又-1<k<0,所以1+若将题中的“cosα=k,k∈R,α∈π2,π”换为“sinα=k,k∈R,α∈π2,π”,【解析】因为α∈π2,π,所以coscosα=-1-sin3.已知tanα=12,则(1)sinα-3(2)sin2α+sinαcosα+2=________.

【解析】(1)sinα-3cosαsinα(2)sin2α+sinαcosα+2=3sin2α+sinαcosα+2cos2α=3=3tan2α+答案:(1)-53(2)同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互化,利用sinαcosα=tanα可以实现角(2)由一个角的随意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值,因为利用“平方关系”公式,需求平方根,会出现两解,需依据角所在的象限推断符号,当角所在的象限不明确时,要进行分类探讨.(3)分式中分子与分母是关于sinα,cosα的齐次式,往往转化为关于tanα的式子求解.【秒杀绝技】1.勾股数解T1,看到sinα=-513,想到勾股数5,12,13,所以cosα=±12tanα=±512,因为α为第四象限角所以tanα<0,tanα=-5122.转化代入法解T3,(1)将tanα=12转化为cosα=2sinα,将cosα=2sinα代入sinα-3cosαsin考点二诱导公式的应用

【典例】1.若f(x)=sinπ2x+α+1,且f(2020)=2,则f(22.已知cosπ6-θ=a,则cos5π6 世纪金榜导学号

【解题导思】序号联想解题1看到形如2020的数字,想到函数有周期性.三角函数可运用诱导公式求解2看到三角函数给值求值问题.想到找出已知角与未知角的关系,π6-θ+56π+θ【解析】1.因为f(2020)=sinπ2×2020+sinα+1=2,所以sinα=1,cosα=0.所以f(2021)=sinπ2=sin1=cosα+1=1.答案:12.cos5π6+θ=-a,sin2π3-θ=sin所以cos5π6+答案:01.利用诱导公式把随意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是:“负化正,大化小,化到锐角就好了”.2.利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形.(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简洁,能求值的要求出值.1.(2024·淮南十校联考)已知sinα-π3=13,则A.-13 B.13 C.22【解析】选A.因为sinα-π3所以cosα+π6=cosπ2+2.(2024·阜阳模拟)计算sin11π6+cos10A.-1 B.1 C.0 D.12-【解析】选A.原式=sin2π-=-sinπ6-cos=-12-1考点三同角关系与诱导公式的综合应用

命题精解读1.考什么:(1)同角关系整体代换,sinα±cosα与sinα·cosα之间的关系,同角关系与诱导公式综合应用等.(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.2.怎么考:诱导公式与同角关系结合考查求三角函数值,代数式的值等.3.新趋势:以考查同角关系与诱导公式综合应用为主.学霸好方法同角三角函数基本关系式的应用技巧1.切弦互化:主要利用公式tanθ=sinθcosθ化成正弦、余弦,或者利用公式sinθcosθ=tan2.“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ=tan3.和积转换:利用关系式(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ进行变形、转化整体代换问题【典例】(2024·合肥模拟)已知tanα=-34,则sinα(sinα-cosα)=世纪金榜导学号A.2125 B.2521 C.45【解析】选A.sinα(sinα-cosα)=sin2α-sinαcosα=sin2α-sinαcosαsin2α+co整体代换是如何实现的?提示:弦切互化法:主要利用公式tanx=sinxcosx进行切化弦或弦化切,如absinxcosx+ccos2x等类型可进行弦化切.sinα±cosα与sinα·cosα之间的关系【典例】(2024·苏州模拟)已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),则tanθ的值为________. 世纪金榜导学号【解析】因为sinθ+cosθ=15,两边平方,得1+2sinθcosθ=125所以2sinθcosθ=-2425,又θ∈(0,π所以sinθ>0,cosθ<0,因为(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=4925所以sinθ-cosθ=75,由①②得sinθ=45,cosθ=-35,所以tanθ=-答案:-4一般求值问题的步骤如何?提示:(1)将已知条件或所求式子利用诱导公式进行化简.(2)从已知条件中结合三角函数关系得出须要的结论.(3)代入化简后的所求式子,得出最终的结论.同角关系与诱导公式综合应用【典例】(2024·保定模拟)已知tan(3π+α)=3,则3sin 世纪金榜导学号()A.13 B.89 C.2【解析】选B.因为tan(3π+α)=3,所以tanα=3,所以3sinα-cosα2sin运用“切弦互化”时有哪些留意事项?提示:(1)弦化切:把正弦、余弦化成切的结构形式,统一为“切”的表达式,进行求值.常见的结构有:①sinα,cosα的二次齐次式(如asin2α+bsinαcosα+ccos2α)的问题常采纳“切”代换法求解;②sinα,cosα的齐次分式如a(2)切化弦:一般单独出现正切、余切的时候,运用公式tanα=sinα1.(2024·宝鸡模拟)若sin(π-θ)+cos(θA.1 B.-1 C.3 【解析】选D.因为sin(π-θ)+cos(θ-2sinθ-cosθ,所以sinθ=-3cosθ,所以tanθ=-3.2.(2024·唐山模拟)已知sin5π2+α=35,所以A.-43 B.-34 C.±43【解析】选C.sin5π2+α=sinπ2所以sinα=±45,tanα=sinαcosα3.已知α∈π2,3π2,tan(α-π)=-34,则sin【解析】已知tan(α-π)=tanα=-34,又α∈π所以sinα=35,cosα=-45,所以sinα+cosα=-答案:-11.(2024·南充模拟)设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数.若f(2019)=-1,则f(2020)= ()A.1 B.2 C.0 【解析】选A.因为f(2019)=asin(2019π+α)+bcos(2019π+β)=-asinα-bcosβ=-1,所以asinα+bcosβ=1,所以f(2020)=asin(2020π+α)+bcos(2020π+β)=asinα+bcosβ=1.2.(2024·淮安模拟)若tanα+1tanα=52,α∈π4,π【解析】因为tanα+1tanα=52,所以tanα=2或12所以sin(π=cosα(2sinα答案:13.(2024·通州模拟)如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的内角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是125,则sin2θ-cos2θ的值是________【解析】由题图知,每个直角三角形长直角边为cosθ,短直角边为sinθ,小正方形边长为cosθ-sinθ,因为小正方形的面积是125,所以(cosθ-sinθ)2=1又θ为直