非线性动力学讲义02(绪论2)-2-岳宝增

v<<c c=2.997925×108m/s

——光速相对论

h h=6.626×10-34JsPlanck常数E×t~h或更小尺度量子理论限制条件牛顿物理学能够预测三个世纪后火星在哪，却不能预测后天的天气。这是因为：牛顿物理学是建立在变量之间的线性关系上的。它假定：对于每个因，都有一个直接的果。所有系统都寻求系统在哪里可以安静下来的均衡点。自然是有序的。时钟是牛顿物理学的最好象征。精确地组合到一起的零件，以完美的和谐走向一个可预测的结果。然而，局限性是存在的。牛顿物理学能够解释两个物体如何相互作用，却不能预测三个物体的相互作用。在19世纪的大部分时间里，科学家们都为三体问题所困扰。最后庞加莱说，因为系统内在的非线性性质，这个问题无法求得单一解。庞加莱解释了为什么这些非线性性质是重要的：一个我们根本注意不到的非常小的因可以决定一个我们不可能注意不到的果，而那时我们会说这个果是处于偶然。。。。初始条件的很小差异产生出最终现象的极大不同的这种情况是会发生的。前者的很小的误差导致后者的极大的误差预测变得不可能。。。。。这个效应现在被称为“对于初始条件的敏感依赖”，并且已变成动力学系统的重要特征。一个动力学系统的内在地不可作长期预测。不可预测性是由于两个原因出现的。动力学系统是反馈系统。出来的东西会回去，经过变换，再出来，没完没了。出来变换是指数外，反馈系统非常像复利，他有一个高于1的幂。任何初始值的差别又都会按指数增长。复杂系统的另一个特征牵涉到临界水平的概念。一个经典的例子就是压断了骆驼背的最后一根稻草。骆驼突然垮下来是一个非线性反应，因为在骆驼垮掉和那根特定的稻草之间没有直接的关系。所有的重量的累计效应最后超过了骆驼站直的能力，使骆驼垮下来。P确定系统-非线性现象-不稳定-不确定性-貌似随机现象？庞加莱与动力系统

庞加莱（JulesHenriPoincaré,1854－1912）是法国数学家，由于他的贡献涉及数学、力学、物理学和天文学的许多方向，有人说他是数学上的最后一位通才。幼年时期曾遭遇普法战争，他自己又由于视力不好和运动协调性不好，并不顺利。但是他有一个惊人的记忆力，而且对数学有浓厚的兴趣。他的堂兄弟雷蒙·庞加莱曾在第一次世界大战第一次世界大战时期担任法国总统。1879年庞加莱获得博士学位。其后他在巴黎大学教学，讲授数学分析、数学物理、概率论、天文学等课。1887年他被选为法国科学院院士，1906年，他当选为法国科学院院长。他在天体力学方面的工作及对三体问题的贡献使他在1889年获得了瑞典国王奥斯卡二世的奖金。庞加莱针对天体力学提出的微分方程，研究它们的定性性质。他系统发展了研究微分方程的周期解和渐近解的方法。对微分方程所确定的曲线在奇点邻近的性质进行了分类，并创造了一套判定这类分类的方法。其中计算庞加莱截面法、分叉解的确定、至今仍是研究非线性系统的重要方法。

庞加莱将从力学提出的微分方程加以数学提高，提出了动力系统的概念。它概括了凡是知道当前状态，并给了到下一时刻的演化规律的系统都可以称为动力系统。动力系统是对自然界与社会现象变化的最一般的描述。至今，非线性动力系统已经成为数学、力学、与整个自然科学的重要研究领域。

庞加莱最早提出了动力系统转变为混沌状态的可能性。他在《科学与方法》中说的偶然性时对拉普拉斯的确定论作了如下的注解：“如果我们可以正确地了解自然定律及宇宙在初始时刻的状态，那么我们就能够正确地预言这个宇宙在后继时刻的状态。如果情况容许我们以同样的近似程度预见后继的状态，这就是我们要求的一切，那我们就说该现象被预言到了。它受规律支配。但是情况并非如此，可以发生这样的情况：初始条件的微小差别，在最后的现象中产生了极大的差别；前者的微小误差促成了后者的极大误差。”他他举绕太阳运行的小行星为例说，如果它们相差“平均每天超出千分之一秒，事实上三年将超出一秒，一万年超出一度，三四百万年将超出一个圆周！”这是人们从一般规律上对牛顿开始的自然哲学中的确定论的否定。目前关于混沌的研究也已成为新的各个领域都关心的研究课题。庞加莱与三体问题N体问题

N体问题可以用一句话写出来：在三维空间中给定N个质点，如果在它们之ji间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎样在空间中运动。三体问题最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不记，所以我们可以把它们看成质点。如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。限制性三体问题三体问题的特殊情况。当所讨论的三个天体中﹐有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比﹐小到可以忽略时﹐这样的三体问题称为限制性三体问题。一般地把这个小质量的天体称为无限小质量体﹐或简称小天体﹔把两个大质量的天体称为有限质量体。

把小天体的质量看成无限小﹐就可不考虑它对两个有限质量体的吸引﹐也就是说﹐它不影响两个有限质量体的运动。于是﹐对两个有限质量体的运动状态的讨论﹐仍为二体问题﹐其轨道就是以它们的质量中心为焦点的圆锥曲线。根据圆锥曲线为圆﹑椭圆﹑抛物线和双曲线等四种不同情况﹐相应地限制性三体问题分四种类型﹕圆型限制性三体问题﹑椭圆型限制性三体问题﹑抛物线型限制性三体问题和双曲线型限制性三体问题。若小天体的初始位置和初始速度都在两个有限质量体的轨道平面上﹐则小天体将永远在运动。求解m3在m1与m2所形成的引力场种的运动，假设坐标系和m1与m2一同旋转并假设原点和质心重合。m1距原点的距离为rμ/m1，m2距原点的距离为rμ/m2。则m3在旋转坐标系中的拉格朗日函数为：L=(1/2)m3[(x.-ωy)2+(y.+ωx)2]-V，其中V为m3在m1与m2引力场种的势能，V=-Gm1m3/r13-Gm2m3/r23。rμ/m1rμ/m2m2m1yxom3三体问题的起源在二十世纪的第一次数学家大会(1900年)上，二十世纪伟大的数学家希尔伯特(希尔伯特DavidHilbert)在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题，这些数学问题在二十世纪的数学发展中起了非常重要的作用。在同一演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美的数学问题的准则：问题既能被简明清楚的表达出来，然而问题的解决又是如此的困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现。为了说明他的观点，希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费尔马(PierredeFermat)猜想，即代数方程

x^n+y^n=z^n在n大于2时是没有整数解的；第二个就是所要介绍的N体问题的特例------三体问题。值得一提的是，尽管这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特并没有把他们列进他的问题清单。但是在整整一百年后回顾，这两个问题对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的23个问题中任何一个都大。费尔马猜想经过全世界几代数学家几百年的努力，终于在1994年被美国普林斯顿大学(PrincetonUniversity)怀尔斯(AndrewWiles)最终解决，这被公认为二十世纪最伟大的数学进展之一，因为除了解决一个重要的问题，更重要的是在解决问题的过程中好几种全新的数学思想诞生了，难怪在问题解决后也有人遗憾地感叹一只会生金蛋的母鸡被杀死了。

庞加莱在现代数学历史上占有举足轻重的地位，他曾被称为现代数学的两个奠基人之一(另一个是黎曼(BernhardRiemann))，也有人称他为历史上精通当时所有数学的最后两个人之一(另一个就是希尔伯特))。庞加莱对N体问题的贡献如下：第一，庞加莱证明了对于N体问题在N大于二时，不存在统一的第一积分(uniformfirstintegral)。也就是说即使是一般的三体问题，也不可能通过发现各种不变量最终降低问题的自由度，把问题化简成更简单可以解出来的问题，这打破了当时很多人希望找到三体问题一般的显式解的幻想。在一百年后学习微分方程课的人大多在第二个星期就从老师那里知道绝大多数微分方程是没法找到定量的解的，但一般都能从定性理论中了解更多解的性质，甚至可以通过计算机“看到”解的形状行为。而在庞加莱的年代，大多数数学家更热衷于用代数或幂函数方法找到解，使用定性方法和几何方法来讨论微分方程就是起源于庞加莱对于N体问题的研究，这彻底改变人们研究微分方程的基本想法。第二，为了研究N体问题，庞加莱发明了许多全新的数学工具。例如他完整地提出了不变积分(invariantintegrals)的概念，并且使用它证明了著名的回归定理(recurrencetheorem)。另一个例子是他为了研究周期解的行为，引进了第一回归映象(firstreturnmap)的概念，在后来的动力系统理论中被称为庞加莱映象。还有象特征指数(characteristicexpontents)，解对参数的连续依赖性(continuousdependenceofsolutionswithrespecttoparameters)等等。所有这些都成为了现代微分方程和动力系统理论中的基本概念。第三点，也许是最重要的一点，是庞加莱通过研究所谓的渐进解(asymptoticsolutions)，同宿轨道

(homoclinicorbits)和异宿轨道(hetroclinicorbits)，发现即使在简单的三体问题中，在这样的同宿轨道或者异宿轨道附近，方程的解的状况会非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运。事实上半个世纪后，后来的数学家们发现这种现象在一般动力系统中是常见的，他们把它叫做稳定流形(stablemanifold)和不稳定流形(unstablemanifold)正态相交(intersectstransversally)所引起的同宿交错网(homoclinictangle)，而这种对于轨道的长时间行为的不确定性，数学家和物理学家称之为混沌(chaos)。庞加莱的发现可以说是混沌理论的最早起源了。尽管N体问题中著名的庞勒维猜想已经在上个世纪结束前被成功地解决了，N体问题本身还是有太多的神秘领域值得新世纪的年轻数学家们探索。也许在今后几个世纪里，N体问题将仍然是新的数学和新的思想的源泉，就象过去的三百年一样。

庞勒维证明了在三体问题，奇点必须是碰撞解，也就是说爆破是不可能在三体问题中出现的。但是在他笔记的第588页，他猜测当N大于三时，N体问题存在非碰撞的奇点解。(这就是后人称为庞勒维猜想的著名问题。庞勒维想象了这样一种可能性：一个质点在其他质点之间徘徊，当它几乎和某个质点撞上时，又恰好躲开，过一会儿又和另一个质点几乎撞上，这样周而复始但所有这一切都发生在有限时间内。然而这种奇特的振荡形爆破是否可能发生呢？这正是庞勒维的猜想。

拉格朗日(JosephLouisLagrange，1736，1，25－1813，4，11)是数学和力学史上的一位重要人物。他的一生可分为三个时期，即早期在意大利的都灵（1736－1766），中期在普鲁士的柏林（1766－1787），后期在法国的巴黎（1787－1813〕。六.经典力学概论—Lagrange力学

在牛顿的《原理》出版后的101年，也是法国大革命的前一年，即1788年，却在法国出版了一本不含几何推理也没有任何几何插图的力学书。这就是J.L.拉格朗日(Lagrange)著的《分析力学》。这本书的出版标志了力学发展的一个新阶段。在这本书的开场白中，拉格朗日说这本书的宗旨是：“去简化力学理论及其求解有关问题的技巧，达到简单展开的一般提法，以便提供求解任意问题的必要的方程。”和“去用一个观点统一和表示迄今用于求解力学问题的不同原理

，揭示这些原理之间的依存关系并给出判定它们正确性与适用范围的判据。”拉格朗日还声称：“在这本书中找不到任何插图，我在这本书中阐述的方法，既无作图也无需几何或力学的推理，而仅仅是按照常规的统一的代数运算固有的过程。爱好分析的人将会高兴地看到力学已变为分析的一个新的分支，并将感谢我扩大了分析的应用范围”。

拉格朗日在他19岁时便开始构筑《分析力学》的框架，直到1782年他写信给法国数学家拉普拉斯信中才宣告《分析力学》完稿，其间经过了长达30多年的历程。当时刚刚从政，在法国当了大官的大数学家拉普拉斯帮助安排在法国出版这本书，大数学家勒让德(Legendre)担任这本书的编辑。到1788年正式出版。之后拉格朗日对这本书又作了补充和修改，在1861年，拉格朗日去世后三年第二版出版了。设质点系有n个质点，第i个质点

若质点系受有理想约束，将作为主动力处理，则：解析式：动力学普遍方程。

动力学普遍方程

设质点系有n个质点，受s个完整约束且系统所受的约束是理想约束，自由度

k=3n-s

。下面推导以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。质点。若取系统的一组广义坐标为，则称为广义速度。

拉格朗日第二类方程

代入质点系动力学普遍方程，得：

称

为广义力

广义惯性力38

广义惯性力可改变为用质点系的动能表示,因此为简化计算,需要用到以下两个关系式：下面来推导这两个关系式：第一式只须将(b)式两边对求偏导数即可得到。

第二式可比较(a)式先对qj求偏导数再对t求导数与(b)式对qj求偏导数的结论得出。拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。40

如果作用于质点系的力是有势力，则广义力可用质点系的势能来表达。而拉氏方程为：引入拉格朗日函数：L=T-U

则：保守系统的拉格朗日方程。41

应用拉氏方程解题的步骤：

1.判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。

2.计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。

3.计算广义力，计算公式为：或

若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐标的函数。

4.建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。

5.求出上述一组微分方程的积分。哈密尔顿（WilliamRowanHamilton,1805－1865）是爱尔兰人，其父是一位律师，母亲出自一个知识家族。他12岁时母亲去世，二年后父亲也去世了，他便随叔父受教育。哈密尔顿是一位早慧的神童，尤其在语言方面，他10岁时，已学会英语、意大利语、法语、拉丁语、希腊语，同时开始学阿拉伯语与梵语，后来还学会了希伯来语、波斯语、迦勒底语、古叙利亚语、马来语、孟加拉语等，并且学过汉语。六.经典力学概论—Hamilton力学哈密尔顿在14岁时接触数学，在17岁时通过学微积分了解了数学，并了解了天文学，学会了计算日食和月食。他读过牛顿与拉普拉斯的著作。1823年，他以第一名考入都柏林大学三一学院。22岁时被聘为该大学的教授，兼天文台长。1834与1835年，哈密尔顿发表了两篇著作，《论动力学中的一个普遍方法》与《再论动力学中的普遍方法》。在这两篇论文中包含了他对分析力学的主要贡献。哈密尔顿引入了作用量,式中分别是质点运动所过的两点与对应的两个时刻，T－V是动能减去势能，它是由泊松引入的，称为拉格朗日函数。哈密尔顿原理说，在所有在指定的两个时刻过上述指定的两点的运动中，真实的运动是使S稳定的运动。

因为对保守系统有T＋V＝C，C为常数，故T－V＝2T－C，即是说哈密尔顿的作用量与拉格朗日的作用量只差常数，所以可以说哈密尔顿原理与拉格朗日原理是一致的。但是哈密尔顿原理可以推广到某些非保守系统的情形。

将拉格朗日函数L＝T－V，表示为拉格朗日广义坐标的函数，这时由前面拉格朗日引进的作用量，可以得到这个作用量稳定时运动必须满足欧拉方程

泊松引进了，将它代入上式即有。哈密尔顿引进了。后人将H称为哈密尔顿函数。将称为哈密尔顿的广义坐标利用式，从中解出为的函数代入上式，再将上式作变分可得。注意式中的自变量的变分是任意的，我们便可得到（i=1,2,3,…，n）。这便是以哈密尔顿函数H与哈密尔顿变量p,q表示的运动方程。后人也将它称为哈密尔顿方程。哈密尔顿方程的优点是自变量在方程中有某种对称性，给求解和定性研究带来很大的方便。由于这一优点，后来才能将动力系统纳入辛几何的框架中去。值得注意的是，哈密尔顿――雅科比方程是后来通向量子力学的唯一的门径。（Hamilton方程也称正则方程，以下为推导要点）

48借助Legendre变换达到上述目的解一个力学体系的运动，通常按以下步骤：取s个q作广义坐标，得到qa(t)的2阶微分方程，即拉氏方程：在微分和求导时，被看作独立变量。写出u(x,y)v(x,y)

49正则方程由拉氏方程得：两边加上：得以为独立变量的函数：把这个函数记为H：这里qa、pa

分别称为正则坐标和正则动量，或统称为正则变量。独立变量的微分前的系数应该对应相等，因此得：求dH：这2组方程称为Hamilton正则方程，或正则方程，Hamilton方程。欧拉（LeonhardEuler,1707－1783）是一位通于数学、力学、天文学，在各方面都有重要贡献的瑞士科学家。他青年时代曾就学于伯努利家族，1722年当他年仅15岁时便大学毕业，得到了学士学位，1723年得到了硕士学位。在18岁之后他便开始了独立研究工作。欧拉在1726年收到彼得堡科学院的邀请去俄国讲学，1730年主持物理讲座，1733年成为彼得堡科学院院士。1741－1766年他在柏林科学院工作，1766年又到俄国。1738年，欧拉右眼失明，到晚年，在1776年之后，双目失明。欧拉有很好的记忆力而又善于心算，据说他有两个学生同时计算一个十分复杂的级数的和，在第17项的第50位数字上二人结果不一致，而欧拉用心算作出了全部运算，答案正确。

六.经典力学概论—Euler刚体动力学欧拉可以说是科学上的一位通才。在数学中，他是分析、拓扑、代数等数学分支的开拓者。在力学中，他又是一般力学、固体力学、流体力学三个方向的开拓者。在天文学方面，他又研究过行星与月球的运动。在自然科学中，至今以欧拉命名的重要成果有数十项之多。如：刚体运动的欧拉方程；刚体运动中欧拉可积情形；理想流体运动的欧拉方程；固体力学中的欧拉弹性线、欧拉临界载荷；复数中的欧拉公式（）；描述刚体运动状态的欧拉角；拓扑中平面图形的欧拉公式（面数－边数＋节点数＝2）；关于调和级数求和的欧拉常数；在变分学中求泛函极值的欧拉方程；近似以数值求解常微分方程的欧拉折线法；在计算不定积分中的欧拉积分与欧拉变换；在常微分方程中一种可积的欧拉方程即方程等等不一而足。

欧拉是一位多产的科学家，他一生写过800多篇论文。他对力学的贡献反映在1736年出版的他的《力学或运动科学的分析解说》（两卷本）和1765年出版的《刚体运动理论》两部书以及其他一系列论文中。欧拉在刚体力学中的主要贡献是关于刚体绕固定点运动的一般方程的建立，刚体绕固定点运动的一种可积情形的求解以及质心运动的一些定理。在刚体的一般运动中，可以分解为刚体的质心在外力合力的作用下的运动，以及在外力对质心的矩的作用下刚体绕这点的运动。

1760年，欧拉首先引进了欧拉角来描述刚体绕定点转动。欧拉在转动的刚体上取一个坐标系与空间的固定坐标系Oxyz,两个坐标系具有共同的原点O。令平面与Oxy平面的交线为ON，则规定轴与z轴的夹角为，x轴与ON之间的夹角为，ON与轴之间的夹角为。这三个角给定了则唯一地确定了刚体的位置，它们分别被称为章动角、进动角和自转角，合起来称为欧拉角。随后，欧拉给出了刚体绕固定点运动的一般方程。设A，B，C分别为刚体对伴随坐标系三个坐标轴的转动惯量，为角速度向量，其在伴随坐标系中的坐标分量为p,q,r，则描述刚体绕固定点运动的欧拉方程是

方程的右端项是作用在刚体上的力对固定点的合力矩在伴随坐标系的三个分量。欧拉得到的描述刚体运动的方程，是很难求解的，特别是要通过简单的积分便得到解更加困难。迄今为止，只得到三种可积情形。而且能够证明，这组方程的可积情形也仅仅有这三种。第一种情形是欧拉自己于1765年找到的，发表在他的《刚体运动理论》中，也称为欧拉情形。是当外力矩为零时，刚体自由运动的情形。第二种情形是1788年由拉格朗日找到的。这种情形是刚体对固定点O的惯性椭球是一个旋转椭球，即A＝B，而C与它们不等，并且刚体受重力作用，重心位于惯性椭球的旋转轴上。欧拉与拉格朗日的可积情形找到后，一直沉默了100年，一直到1888年才由俄罗斯女数学家索菲亚·科瓦列夫斯卡娅（СофияВасильевнаКовалевская,1850,1,15－1891，2，10）找到了最后第三个可积情形，并且给出了解。这种情形是当A＝B＝2C时，而且刚体的重心位于回转惯性椭球的赤道平面上。

索菲亚由于得到了这个可积情形，获得了法兰西科学院的鲍罗丁奖。这项奖金本来是3000法兰，但由于索菲亚的这项成就的不寻常，裁判将奖金提高为5000法兰。同时由于这项殊荣，她被选为瑞典科学院与俄国科学院的的院士。索菲亚的才能是多方面的，她不仅从事数学、力学的研究，而且还出版过小说。索菲亚·科瓦列夫斯卡娅

СофияВасильевнаКовалевская

1850－1891ThefirstUnitedStates,ExplorerIwaslaunchedonFebruary1,1958.Thetotalweightofthesatellitewas13.97kilograms,ofwhich8.3kgwereinstrumentation.IncomparisonthefirstSovietsatelliteSputnik1weighted83.6kg,spinningarounditslongaxisat750revolutionsperminute.Tothesurpriseofmissionexperts,satelliteExplorer1changedrotationaxisafterlaunch.Theelongatedbodyofthespacecrafthadbeensupposedtospinaboutitslong(least-inertia)axisbutrefusedtodoso,andinsteadprecessingduetoenergydissipationfromflexiblestructuralelements.Lateritwasunderstoodthatongeneralgrounds,thebodyendsupinthespinstatethatminimizesthekineticrotationalenergy(thisbeingthemaximal-inertiaaxis).ThismotivatedthefirstfurtherdevelopmentoftheEuleriantheoryofrigidbodydynamicsafternearly200years-toaddressthiskindofenergyandmomentumdissipation.PeterLikinsMostofourcostlymistakesaretheresultsofconceptualdeficienciesreflectedininadequatemathematicalmodelsofphysicalsystems,notinimproperapplicationsofphysicallawsormathematicalmethods.-----过去曾经发生的付出昂贵代价的失误，往往是由于我们对力学系统没有建立合理的数学模型，而不是因为力学原理和数学方法本身的应用问题。1957年苏联发射了第一颗人造地球卫星，开创了人类航天的新纪元，从此人类跨进了空间时代。五十多年以来，航天技术以惊人的速度发展并日臻完善，到目前为止，世界各国已经发射了5000多颗空间飞行器，并实现了登月的梦想了5000多颗空间飞行器，并实现了登月的梦想。自第一颗人造地球卫星以来,航天器经历了由简单到复杂、由低级到高级的发展历程。卫星的结构日趋复杂化，运动因素复杂多样，控制要求也大幅度提高。相应地,在各个不同发展阶段航天器动力学也呈现出不同的特点,具体体现为从刚体模型到准刚体模型再到刚—弹—液耦合模型的演变过程。李亚普诺夫与运动稳定性

李亚普诺夫（АлександрМихаиловичЛяпунов,1857－1918）是俄国的力学家和数学家。他于1876年进彼得堡大学学习，大学期间曾以论文《重体在水中的平衡》一文获金质奖章。1880年毕业后留校任教，1892年被聘为教授，1901年成为彼得堡科学院院士。他1892年提交的博士论文《运动稳定性一般问题》在俄罗斯力学家茹可夫斯基等参加答辩后在1893年通过了莫斯科大学的博士学位。关于平衡与运动稳定性的问题，从古代起一直是人们所关心的问题。到18世纪，由于天体力学的发展，人们又普遍关心太阳系的运动稳定性问题。但是这个问题的提法一直是含混不清的，因之一直没有解决。李亚普诺夫在他的博士论文中，不仅给出了运动稳定性的严格定义，而且还给出了两种严格的判定方法。这个定义与判定方法至今仍是运动稳定性研究领域的主要内容。它在天文学、微分方程、控制论等领域内一直是关键问题之一。

李亚普诺夫关于运动稳定性的定义可以简述如下：设给定动力系统，其中都是维向量。若在初始条件之下的解为，在另一初始条件之下的解为。我们定义在时刻这两个解的距离为对于时刻显然有如果对于任意的都有，当时，恒有，则称运动是稳定的，也称为李亚普诺夫稳定的。李亚普诺夫在给了运动稳定性的定义之后，还给出了两个关于稳定性的判别方法。其第一方法是对于右端不显含时间时，将运动方程的右端线性化，得到一个