第02讲-平面向量的数量积(教师版)

第02讲平面向量的数量积（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新Ⅱ卷，第13题,5分数量积的运算律向量的模长运算2022年新Ⅱ卷，第4题,5分数量积及向量夹角的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示2021年新I卷，第10题,5分数量积的坐标表示坐标计算向量的模逆用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的余弦公式2021年新Ⅱ卷，第15题,5分数量积的运算律无2020年新I卷，第7题,5分用定义求向量的数量积无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用5会用数量积解决向量中的最值及范围问题【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理解，易得分，需重点复习。知识讲解1．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.3．在用|a|＝eq\r(a2)求向量的模时，一定要先求出a2再进行开方．考点一、求平面向量的数量积1．（重庆·高考真题）设向量，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量数量积运算与线性运算的坐标表示即可求解.【详解】因为，所以，，故.故选：B.2．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.3．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．【答案】【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．4．（浙江·高考真题）已知平面上三点、、满足，，，则的值等于．【答案】【分析】根据可得，，展开可得，代入即可得到答案．【详解】解：由可得，，，，所以，即．故答案为：5．（2020·北京·统考高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则；．【答案】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.1．（上海·模拟预测）已知，，求；【答案】4【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解，【详解】由题意得，故答案为：42．（上海·高考真题）若的夹角为，则.【答案】/0.5【分析】先求出，进而由求出答案.【详解】因为的夹角为，所以，于是.故答案为：.3．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知向量,,若，则．【答案】【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标运算可得答案.【详解】因为,，所以，所以，即，所以.故答案为：.4．（2021·全国·统考高考真题）（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误；故选：AC考点二、辨析数量积的运算律1．（上海·高考真题）若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量加法、数量积、数乘运算的运算法则判断．【详解】选项A是向量加法的结合律，正确；选项B是向量数量积运算对加法的分配律，正确；选项C是数乘运算对向量加法的分配律，正确；选项D．根据数量积和数乘定义，等式左边是与共线的向量，右边是与共线的向量，两者一般不可能相等，也即向量的数量积运算没有结合律存在．D错．故选：D．2．（2021·浙江·统考高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，∴不是的充分条件，当时，，∴,∴成立，∴是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.3．（湖北·高考真题）已知为非零的平面向量．甲：乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】根据向量运算法则，结合充分，必要条件的定义，即可判断.【详解】若，则，因为为非零的平面向量，所以，或，所以甲不是乙的充分条件，反过来，，能推出，所以甲是乙的必要条件.综上可知，甲是乙的必要条件，但不是充分条件.故选：B1．（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（

）A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则C．若且与方向相同，则 D．恒成立【答案】ABC【分析】取，可判断A选项；利用平面向量的概念可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.【详解】对于A选项，取，因为，，则、不一定共线，A错；对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；对于D选项，恒成立，D对.故选：ABC.2．（2022·江苏南通·海安高级中学校考二模）关于平面向量，下列说去不正确的是（

）A．若，则 B．C．若，则 D．【答案】ACD【分析】令时可判断A；利用，可判断B；由可知与的模长相等，但不一定为0可判断C；与共线的向量，与共线，可判断D．【详解】时，，与可任取，故A错；，故B对；可知与的模长相等，不一定为0，∴，故C错；与共线的向量，与共线的向量．∴，D错．故选：ACD.3．（2023·安徽蚌埠·统考二模）关于平面向量，下列说法不正确的是（

）A．若，则B．C．若，则D．【答案】ACD【分析】由数量积性质可判断A，由分配律可判断B，由相反向量可判断C，由向量垂直可以判断D.【详解】对于A，若，则不一定有，A错误；对于B，根据分配律即可得到，B正确；对于C，若，则可能，那么，C错误；对于D，若，则有，那么就不一定有，D错误.故选：ACD考点三、模长综合计算1．（湖南·高考真题）已知向量，，则=.【答案】2【分析】由向量模的坐标表示计算．【详解】故答案为：2．2．（全国·高考真题）设非零向量，满足，则A．⊥ B．C．∥ D．【答案】A【详解】由平方得，即，则，故选A.【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.3．（江苏·高考真题）已知向量的夹角为，则．【答案】7【分析】将模平方，结合数量积公式，化简计算，即可得答案.【详解】.故答案为：74．（2020·全国·统考高考真题）设为单位向量，且，则.【答案】【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.【详解】因为为单位向量，所以所以解得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.5．（2021·全国·高考真题）若向量满足，则.【答案】【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详解】∵∴∴.故答案为：.1．（2023·云南·统考模拟预测）平面向量与的夹角为，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】转化为平面向的数量积可求出结果.【详解】因为，所以，.故选：B2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知向量满足，则（

）A． B． C． D．5【答案】D【分析】根据模长的坐标运算可得，分析可得同向，进而可求结果.【详解】因为，即，则同向，所以.故选：D.3．（2023·陕西西安·交大附中校考模拟预测）已知，，且与的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】因为，，且与的夹角为，由平面向量数量积的定义可得，因此，.故选：A.考点四、夹角综合计算1．（福建·高考真题）已知，是非零向量且满足，，则与的夹角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两个向量垂直，数量积等于0，得到，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角.【详解】，设与的夹角为，故选：B.【点睛】方法点睛：求解向量夹角长选择夹角公式，还要注意向量的夹角范围.2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为，所以，则，，所以.故选：B.3．（2020·全国·统考高考真题）已知向量，满足，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】，，，.，因此，.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.4．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,.故选:D.1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知向量满足，且，则与的夹角为．【答案】【分析】由向量的数量积与夹角公式计算即可.【详解】因为，所以，而，故与的夹角为.故答案为：2．（2023·广东深圳·统考二模）已知平面向量不共线，若，则当的夹角为时，的值是.【答案】2【分析】根据平面向量夹角公式列式可得结果.【详解】因为，所以，所以，，，整理得，得（负值已舍去）.故答案为：.3．（全国·高考真题）向量满足，且，则与夹角的余弦值等于．【答案】/【分析】利用向量数量积公式得到，解出即可.【详解】解得.故答案为：.4．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（

）A．45° B．60° C．135° D．150°【答案】C【分析】由向量的数量积运算公式，再应用向量夹角公式求夹角，最后结合向量反向共线求出夹角即可.【详解】∵，，∴.∵，∴，，则，设向量与的夹角为，与反向,则.故选：C.5．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平面向量数量积与模长的关系结合一元二次不等式恒成立的解法计算即可.【详解】设向量的夹角为θ，因为，所以，则，即恒成立.所以，解得，故的夹角的取值范围是.故选：A.考点五、垂直综合计算1．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．2．（安徽·高考真题）设向量，，则下列结论中正确的是A． B．C．与垂直 D．【答案】C【分析】由向量的坐标运算求得向量的模，两向量的数量积，向量的垂直，向量的平行，可得选项.【详解】因为向量，，，所以，选项A错误；因为，选项B错误；因为，所以，所以与垂直，选项C正确；因为1×1-0×1≠0，所以向量，，不平行，选项D错误。故选：C.【点睛】本题考查向量的坐标运算，关键在于熟知向量的模，向量的数量积，向量的平行，向量的垂直的坐标表示，属于基础题.3．（2020·山东·统考高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】由二次函数对称轴设出点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得．【详解】由题意函数图象的对称轴是，设，因为，所以，解得或，所以或，故选：C．4．（2020·全国·统考高考真题）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.1．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据求出，再根据投影向量公式可求出结果.【详解】因为，所以，得，所以，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C2．（2023·湖南·校联考二模）（多选）已知向量，//，，，则（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】A选项根据向量的数量积运算判断；B选项根据模长公式计算；C选项利用向量共线的关系结合模长公式计算；D选项根据向量的加法进行判断.【详解】因为，所以，则A正确；，则B正确；因为//，所以设，因为，所以，解得，所以或，故C错误；，故D错误．故选：AB3．（2023·广东广州·统考三模）（多选）已知向量，，则（

）A． B．C． D．在上的投影向量是【答案】AC【分析】根据与的数量积为可得A正确；根据向量平行的坐标表示可得B错误；根据模长公式可得C正确；求出投影向量可得D错误.【详解】因为，，所以，，故A正确；因为，故B错误；，，故C正确；因为在上的投影向量是，故D错误.故选：AC．考点六、求参数值或范围综合计算1．（2021·全国·统考高考真题）已知向量．若，则．【答案】.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详解】,，解得,故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知平面向量，若，则.【答案】【分析】求出，由垂直关系列出方程，求出答案.【详解】，因为，所以，解得.故答案为：3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案.【详解】因为，所以，即，解得.故选：A.4．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）已知，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围.【答案】【分析】由题意，根据向量夹角为锐角，可得其数量积大于零的不等式，且可得向量不共线，可得不成比例的不等式，可得答案.【详解】，由向量与的夹角是锐角，，解得或；且向量与不共线，则，解得，所以的取值范围为.故答案为：.1．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知向量，，且，则实数的值为（

）A．8 B． C．4 D．【答案】A【分析】利用向量垂直的坐标表示，结合数量积公式，即可求解.【详解】因为，，.所以.所以.故选：A2．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知向量，，，且，则实数（

）A．-1 B．0 C．1 D．任意实数【答案】B【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为，，所以，又，且，所以，解得.故选：B.3．（2023·吉林白山·统考二模）已知向量，，，若，则．【答案】/0.4【分析】由向量线性运算及垂直的坐标表示求参数值即可.【详解】因为，，所以，因为，所以，得．故答案为：考点七、数量积范围的综合问题1．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D

2．（全国·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：．3．（福建·高考真题）已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（

）.A． B． C． D．【答案】A【详解】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在边长为2的菱形中，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以为基底，求，利用函数性质求最小值.【详解】边长为2的菱形中，，如图所示，

则，，，，，由于，所以当时，有最小值.故选：B2．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量的坐标求出模长，再利用向量的数量积公式即可求解.【详解】因为，所以，因为向量绕坐标原点顺时针旋转得到，所以向量与向量的夹角为，且，所以.故选：B3．（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（

）A．3 B．6 C．7 D．9【答案】C【分析】先根据投影向量的公式结合题干条件得到，然后利用向量的运算将用表示，然后用向量的数量积进行运算.【详解】

根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为，由题意，，于是，即.又，∴．故选：C4．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）在中，，点在线段上，，点是外接圆上任意一点，则最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据余弦定理求出线段的长度，再根据正弦定理求出外接圆的半径，最后将写成后再求，当与同向时，取得最大值.【详解】在中，，，在中，由余弦定理得，，又因为，所以，解得，从而，.设外接圆的半径为，由正弦定理得，故.所以，当与同向时，取得最大值为.故选：A.【点睛】【基础过关】一、单选题1．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则向量的夹角为锐角【答案】B【分析】根据题意结合向量的坐标运算逐项分析判断.【详解】对于选项A：因为，则，所以，解得或，故A错误；对于选项B：因为//，所以，解得，故B正确；对于选项C：因为，所以，解得，故C错误；对于选项D：当时，，由选项B可知：不共线，所以向量的夹角为钝角，故D错误.故选：B.2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）若平面向量与满足，且，，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量夹角求解.【详解】设向量与的夹角为，则，解得，因为，∴.故选：C3．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知向量，且，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，即可求解.【详解】由向量，可得，所以，解得或.故选：C.4．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知向量，，记向量与的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数量积、模的坐标表示求出、、，即可求出，再由二倍角公式计算可得.【详解】因为，，所以，，，所以，则.故选：D5．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】如图所示，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，由，得，所以，，所以．

故选：C.二、多选题6．（2023·山西·校联考模拟预测）设向量，，则（

）A． B．与的夹角为C．与共线 D．【答案】AD【分析】利用向量运算的坐标表示、向量模长、夹角公式以及向量共线、垂直的坐标形式计算求解.【详解】因为，，所以，，故A正确；因为，，所以，因为两向量夹角的范围为，所以与的夹角为，故B错误；因为，，所以，又，所以，所以，所以与不共线，故C错误，D正确.故选：AD.7．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量，，则下列说法正确的是（

）A．B．在方向上的投影向量为C．与垂直的单位向量的坐标为D．若向量与非零向量共线，则【答案】AD【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，主要考查了两向量的夹角、投影向量、向量的平行与垂直的基本知识，一一验证即可.【详解】由题意知，，，则，因此A正确；在方向上的投影向量为，因此B错误；与垂直的单位向量的坐标为或，因此C错误；因为，，若向量与向量共线，则，解得，因此D正确.故选：AD.三、填空题8．（2023·河北张家口·统考三模）已知向量均为单位向量，，向量与向量的夹角为，则.【答案】/【分析】根据题意，分别求得，，且，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】由向量均为单位向量且，可得且，则，，且，又由向量与向量的夹角为，则.故答案为：.9．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是．【答案】【分析】设与的夹角为，则，根据列式可求出结果.【详解】设与的夹角为，则，所以，解得且.故答案为：10．（2023·福建宁德·校考二模）在平行四边形中，已知，，，，则．【答案】【分析】设，根据题意化简求得，再由，即可求解.【详解】如图所示，设，因为，，可得，，又因为，，可得，，两式相减得到，可得，又由，所以.故答案为：.

【能力提升】一、单选题1．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（

）A．3 B．15 C．或15 D．3或15【答案】D【分析】先根据题意确定向量，的倍数关系，然后可直接求解.【详解】因为向量，满足同向共线，所以设，又因为，，所以，所以或，即或.①当时，；②当时，；所以的值为3或15.故选：D.2．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知平面向量，，向量与的夹角为，则（

）A．2或 B．3或 C．2或0 D．3或【答案】A【分析】利用向量的模的坐标公式求，，根据数量积的坐标公式求，结合夹角公式列方程求【详解】因为，，所以，，所以，，又向量与的夹角为，所以，所以，所以或，故选：A.3．（2023·重庆巴南·统考一模）如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（

）

A． B．3 C． D．48【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，设，，（），即可得到、，根据数量积的坐标表示得到，再结合二次函数的性质计算可得.【详解】如图建立平面直角坐标系，则、、、，设，，（），则，所以，所以，即，所以，，所以，又，所以当时取得最小值为.

故选：A二、多选题4．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，记，则（

）

A．B．C．D．在方向上的投影向量为【答案】BC【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律，对选项逐一判断即可得到结果.【详解】，故A错误；因为，故B正确；，又，所以，故C正确；在方向上的投影向量为，故D错误.故选：.5．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知非零向量，，满足：在方向上的投影向量为，，且，则下列选项正确的有（

）A．若与共线时，则 B．若时，则与共线C．若，则 D．若，则【答案】ACD【分析】由题意结合投影向量的定义可得，从而得到，进一步可得，根据向量数量积的定义分析向量的夹角的范围，对选项分别进行判断即可得出答案.【详解】在方向上的投影向量为，由题意，即由为非零向量，则，又，则设，的夹角为，则，，则又，则，即设，的夹角为，则选项A.由，则，的夹角为，则所以，故选A正确.选项B.当时，由，当时，满足条件，此时与不共线，故选项B不正确选项C.当时，则则（当时等号成立），故选项C正确.选项D.当时，则（当时等号成立），故选项D正确.故选：ACD三、填空题6．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为．【答案】/【分析】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用平面向量数量积的坐标表示结合三角函数的性质即可得解.【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则，设，则，则，由，得，所以当，即时，取得最小值.故答案为：.7．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知向量，，且，则向量在方向上的投影为．【答案】【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，求出，再结合投影公式，即可求解．【详解】向量，，由，得，所以，所以在方向上的投影为．故答案为：.8．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为.【答案】【分析】设点关于点的对称点为，则点在圆上，计算可得出，求出的取值范围，即可得出的取值范围.【详解】设点关于点的对称点为，则点在圆上，所以，，因为，所以，，因为，当且仅当、同向且、反向时，，当时，则，所以，，所以，，所以，，因为，则，故当且四边形为菱形时，，因此，.故答案为：.9