北大状元高考数学试卷

北大状元高考数学试卷一、选择题

1.下列各数中，属于有理数的是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{3}$

D.$\sqrt[3]{-8}$

2.下列函数中，定义域为实数集的是（）

A.$y=\sqrt{x}$

B.$y=\log_2x$

C.$y=\frac{1}{x}$

D.$y=x^2$

3.若$ab=1$，且$a>0$，$b>0$，则下列不等式成立的是（）

A.$a>b$

B.$a<b$

C.$a-b>0$

D.$a-b<0$

4.下列各数中，绝对值最大的是（）

A.$-2$

B.$-3$

C.$2$

D.$3$

5.已知$a$，$b$为实数，且$a^2+b^2=1$，则下列各式中正确的是（）

A.$a+b=1$

B.$a-b=1$

C.$ab=1$

D.$a^2-b^2=1$

6.下列函数中，单调递增的是（）

A.$y=x^2$

B.$y=2x$

C.$y=\frac{1}{x}$

D.$y=\sqrt{x}$

7.下列各数中，无理数的是（）

A.$\sqrt{4}$

B.$\sqrt{9}$

C.$\sqrt{16}$

D.$\sqrt{25}$

8.下列函数中，反函数为$y=2x+1$的是（）

A.$y=x^2$

B.$y=\sqrt{x}$

C.$y=\frac{1}{x}$

D.$y=2x+1$

9.下列各数中，下列各数中，属于等差数列的是（）

A.$1,2,4,8,16,\dots$

B.$1,3,5,7,9,\dots$

C.$1,3,6,10,15,\dots$

D.$1,2,4,7,11,\dots$

10.下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数中，下列函数

二、判断题

1.在实数范围内，方程$x^2-4=0$的解集为$\{2,-2\}$。（）

2.对任意实数$a$和$b$，都有$(a+b)^2=a^2+b^2$。（）

3.函数$y=\frac{1}{x}$在$x=0$处有定义。（）

4.若$a$，$b$，$c$成等差数列，则$2b=a+c$。（）

5.如果一个二次方程有两个实数根，则它的判别式$\Delta=b^2-4ac$必须大于0。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=2x+3$的图像向右平移2个单位，则新函数的解析式为______。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为3，公差为2，则第10项$a_{10}$的值为______。

3.若等比数列$\{b_n\}$的首项为4，公比为$\frac{1}{2}$，则第5项$b_5$的值为______。

4.函数$f(x)=x^2-4x+3$的顶点坐标为______。

5.若方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta=0$，则该方程的根是______。

四、简答题

1.简述二次函数图像的开口方向与系数的关系。

2.如何求一个二次方程的两个实数根之和和两根之积？

3.请解释等差数列和等比数列的定义，并给出一个例子。

4.简要说明一元二次方程的判别式$\Delta$的几何意义。

5.给出一个函数的图像，如何判断该函数的奇偶性和周期性？请结合具体例子说明。

五、计算题

1.计算下列极限：$\lim_{{x\to0}}\frac{\sinx}{x}$。

2.解下列一元二次方程：$2x^2-5x+3=0$。

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前三项分别为$1$，$3$，$5$，求该数列的通项公式和前$10$项的和。

4.已知等比数列$\{b_n\}$的首项为$8$，公比为$2$，求第$6$项$b_6$和前$6$项的和。

5.设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求函数的极值点和拐点。

六、案例分析题

1.案例分析：某班级同学在进行数学竞赛训练时，遇到了以下问题：已知等差数列$\{a_n\}$的前$5$项和为$50$，第$3$项和第$5$项的和为$20$，求该数列的首项和公差。

问题分析：要求解这个问题，需要利用等差数列的性质，即任意两项之和等于它们中间项的两倍。根据这个性质，可以建立方程组来求解首项和公差。

2.案例分析：某公司在进行市场调查时，发现其产品的销售量可以用一个二次函数来描述，即$S(t)=-0.5t^2+4t$，其中$t$表示时间（单位：月），$S(t)$表示销售量（单位：件）。已知在$t=0$时，销售量为$0$件，在$t=8$时，销售量为$32$件。

问题分析：这个问题需要通过已知的销售量数据来确定二次函数的具体形式。首先，可以利用$t=0$时的信息确定函数的常数项。然后，利用$t=8$时的信息来确定二次项的系数。最后，通过求解得到的二次函数，可以分析销售量的变化趋势，并为公司制定销售策略提供依据。

七、应用题

1.应用题：一个长方形的长是宽的2倍，已知长方形的周长为40厘米，求长方形的面积。

2.应用题：某工厂生产一种产品，每件产品的成本为30元，售价为40元。如果每月生产200件，则每月利润为4000元。现在工厂计划提高售价，但成本不变，为了使每月利润增加20%，售价应提高多少？

3.应用题：某班有学生50人，参加数学竞赛，成绩分布如下：90分以上有10人，80-89分有15人，70-79分有15人，60-69分有5人，60分以下有5人。求该班的平均分。

4.应用题：某城市的居民用电量与家庭收入呈线性关系，通过调查得到以下数据：

-家庭收入为4000元时，月均用电量为200度；

-家庭收入为6000元时，月均用电量为300度。

求该城市居民用电量与家庭收入之间的线性关系式。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.C

2.D

3.C

4.D

5.C

6.B

7.A

8.D

9.C

10.无法确定（题目内容缺失）

二、判断题答案：

1.错误

2.错误

3.错误

4.正确

5.正确

三、填空题答案：

1.$f(x)=2x-1$

2.13，110

3.4，256

4.$(\frac{3}{2},-\frac{3}{4})$

5.相等

四、简答题答案：

1.二次函数图像的开口方向与系数的关系：当二次项系数$a>0$时，抛物线开口向上；当二次项系数$a<0$时，抛物线开口向下。

2.一元二次方程的两个实数根之和和两根之积：设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根为$x_1$和$x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}$。

3.等差数列和等比数列的定义及例子：等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它前一项之差是一个常数，例如$\{1,3,5,7,9,\dots\}$；等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它前一项之比是一个常数，例如$\{2,4,8,16,32,\dots\}$。

4.判别式$\Delta$的几何意义：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta>0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta<0$时，方程没有实数根。

5.判断函数的奇偶性和周期性：对于函数$f(x)$，如果$f(-x)=f(x)$，则函数是偶函数；如果$f(-x)=-f(x)$，则函数是奇函数。如果存在正实数$T$，使得对于所有$x$，有$f(x+T)=f(x)$，则函数是周期函数。

五、计算题答案：

1.$\lim_{{x\to0}}\frac{\sinx}{x}=1$

2.$x=\f