【八年级下册数学浙教版】第二章 一元二次方程（5类题型突破）

第二章一元二次方程（5类题型突破）题型一一元二次方程及一元二次方程的解【例1】（2022秋•商洛期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x3+2x＝0 B．x（x﹣3）＝0 C． D．y﹣x2＝4【例2】（2023春•东阳市期末）将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7【例3】（2023秋•温岭市期末）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2021﹣6a2+2a的值是（）A．2023 B．2022 C．2020 D．2019【例4】（2023秋•椒江区期中）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝_______．【例5】（2023秋•息县期中）若一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0的一个根为x＝2，则a＝____．巩固训练1．（2022秋•让胡路区校级期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（）A． B．x2﹣3x+2C．﹣5x2+3y﹣2＝0 D．y2＝162．（2023秋•明山区校级期中）把一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝1化成一般形式，正确的是（）A．x2+x﹣5＝0 B．x2﹣5x﹣5＝0 C．x2+x﹣7＝0 D．x2﹣5x+6＝03．（2023秋•桂东县期末）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定4．（2022春•朝阳区校级期中）若（m﹣2）x2﹣3x+5＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为__________．5．（2022春•嘉兴期末）构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为﹣1．这个一元二次方程可以是_____________（写出一个即可）．6．（2023春•义乌市期末）已知a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式6a﹣2a2+5的值为_________．题型二一元二次方程的解法【例1】（2022秋•宜兴市期末）方程（x+3）2＝4的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5【例2】（2023秋•临江市期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，则配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7【例3】（2023•浦江县模拟）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解是（）A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝﹣1【例4】（2023秋•青山区校级期中）三角形两边长分别为7和4，第三边是方程x2﹣11x+18＝0的解，则这个三角形的周长是（）A．13 B．13或20 C．12 D．20【例5】（2023•桐庐县一模）已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，则2a+b的值为_________________．【例6】（2023秋•武进区校级月考）用配方法解方程x2+4x﹣3＝0，配方得（x+m）2＝7，常数m的值是_______．【例7】（2023•镇海区校级模拟）方程x（x+1）＝2（x+1）的解是_________________．【例8】（2023秋•温岭市期末）解方程：2x2﹣4x＝15．【例9】（2023春•海曙区校级期中）用适当的方法解下列方程：（1）（2x﹣1）2＝4； （2）x2﹣10x+8＝0．【例10】（2023秋•临海市期中）解方程：（1）x2＝81； （2）x2﹣10x+21＝0．【例11】（2023春•衢州期末）解方程：（1）2y2+3y﹣1＝0； （2）x（x﹣4）＝﹣4．【例12】（2023春•下城区校级月考）以下是圆圆在用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的过程：解：移项得：x2﹣2x＝4配方：x2﹣2x+1＝4（x﹣1）2＝4开平方得：x﹣1＝±2移项：x＝±2+1所以：x1＝3，x2＝3圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．巩固训练1．（2023春•温州期末）用配方法解方程x2+6x+3＝0时，配方结果正确的是（）A．（x+3）2＝12 B．（x﹣3）2＝12 C．（x﹣3）2＝6 D．（x+3）2＝62．（2023春•杭州期末）方程x2＝5x的解是（）A．x＝5 B．x＝0 C．x1＝﹣5；x2＝0 D．x1＝5；x2＝03．（2018秋•江油市月考）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（）A．x＝1﹣ B．x＝ C．x＝﹣1+ D．x＝4．（2023秋•顺德区校级月考）用因式分解法解方程9x2＝（x﹣2）2时，因式分解结果正确的是（）A．4（2x﹣1）（x﹣1）＝0 B．4（2x+1）（x﹣1）＝0 C．4（2x﹣1）（x+1）＝0 D．4（2x+1）（x+1）＝05．（2023秋•娄底期中）关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝_______．6．（2022•海曙区一模）代数式x2﹣2x与4x的值相等，则x的值为________________．7．（2021秋•镇江期末）对方程x2x＝0进行配方，得+m＝+m，其中m＝______________________．8．（2023秋•南山区期中）对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为_______．9．（2023•滨江区校级开学）计算与解方程：（1）； （2）．10．（2023春•婺城区期末）解方程：（1）（x+1）2＝16； （2）x2﹣4x＝2．11．（2023春•义乌市校级期中）用适当方法解下列方程：（1）x2﹣7x+2＝0； （2）2x（x﹣3）+x＝3．12．（2023秋•灵宝市期中）解方程：（1）4x2＝（x+2）2； （2）2x2+4x﹣5＝0．13．（2023秋•阜宁县期中）解下列方程：（1）x（x+1）＝（x+1）； （2）2x2﹣3x﹣1＝0．14．（2023春•拱墅区期中）已知关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0，（1）证明：当a取任何实数时，方程都是一元二次方程：（2）当a＝2时，解这个方程．题型三根的判别式【例1】（2023•太康县模拟）若k＜0，则关于x的一元二次方程x2+x+k﹣1＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根【例2】（2022秋•桐柏县期末）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．k＜ B．k＜且k≠1 C．0≤k≤ D．k≠1【例3】（2023秋•西工区期中）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【例4】（2023•葫芦岛一模）已知一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为_______．【例5】（2023秋•奉化区期末）如果满足||x2﹣6x﹣16|﹣10|＝a的实数x恰有4个，则实数a的取值范围为______________．【例6】（2023秋•黄埔区校级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；其中正确的（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【例7】（2023秋•兴隆县期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0．（1）若方程的一个根为x＝﹣1，则a的值为__________；（2）若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为____________．【例8】（2023春•镇海区期末）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac．则称此方程为“蛟龙”方程．（1）当b＜0时，判断此时“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情况，并说明理由．（2）若“蛟龙”方程2x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，请解出此方程．【例9】（2023秋•阿荣旗期末）关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根为1，求m的值；（3）求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长．【例10】（2022秋•伊川县期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．巩固训练1．（2023•武进区校级模拟）一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根2．（2023•泗阳县一模）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（）A．6 B．5 C．4 D．33．（2023•滁州二模）若关于x的方程kx2﹣x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤12 B．k≤ C．k≤12且k≠0 D．k≤且k≠04．（2023•大安市四模）关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为_______．5．（2023春•浙江期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式x2﹣3x+c与代数式x+2值相等，则c的取值范围是__________．6．（2022秋•临海市期末）关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，若m为方程的其中一个实数根，令n＝2m2﹣4m+3c﹣1，则n的取值范围是__________．7．（2023•顺庆区三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；（2）已知等腰三角形的一边a为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求k的值．8．（2022秋•营口期中）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+（m﹣2）＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根；（2）已知方程有一根大于6，求m的取值范围．9．（2023秋•化州市期中）关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求出此时方程的根．10．（2022春•慈溪市校级期中）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．题型四根与系数的关系【例1】（2022秋•泰和县期末）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则a+b﹣2ab等于（）A．7 B．﹣5 C．﹣7 D．5【例2】（2023春•西湖区校级期中）若x1，x2是方程x2+x﹣2＝0的两实数根，则﹣x2+2的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【例3】（2023春•拱墅区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0无实根；③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．其中正确的（）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④【例4】（2022秋•海口期末）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是_________．【例5】（2023秋•长汀县期中）已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则代数式的值为____________．【例6】（2022秋•渌口区期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根为﹣3，求m的值，并求另一根；（3）若方程两根为x1，x2，且满足，求m的值．【例7】已知关于x的方程x2﹣6x+4﹣m＝0．（1）试从﹣10，﹣8，﹣4等三个数中，选取一个数作为m的值，使原方程有解，并说明理由，且求此解；（2）当m＝3时，原方程有一根为α，求的值．【例8】（2023秋•淮安区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，①若k＝3时，请判断△ABC的形状并说明理由；②若△ABC是等腰三角形，求k的值．巩固训练1．（2023春•上城区期中）若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则的值为（）A．2 B．﹣2 C． D．2．（2023春•镇海区期末）一元二次方程2x2﹣mx+3＝0的一根为3，则另一根为（）A． B．1 C． D．3．（2023秋•台州期中）若α、β是方程x2+3x﹣2023＝0的两个实数根，则α2+4α+β的值为___________．4．（2023春•杭州月考）二次项系数为1，两个根分别为1+和1﹣的一元二次方程是________________．5．（2022秋•台山市期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是这个方程的两个根，且x12+x22+3x1•x2＝﹣3，求k的值．6．（2023秋•西湖区校级期中）已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根．（1）若满足，求m的值；（2）若α＞2，求证：β＞2．7．（2023春•绍兴期中）已知有关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（3k+1）x+2k＝0．（1）求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；（2）若方程有一个根为﹣2，求k的值及方程的另一个根；（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值．8．（2023春•宁波期末）[回归教材]（1）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个实数解为x1，x2，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝．这个结论课本上称为一元二次方程根与系数的关系，因为是法国数学家韦达发现的，人们又称它为“韦达定理”．请你证明这个定理．[夯实基础]（2）若一元二次方程3x2﹣9x﹣8＝0的两个实数解为x1、x2，求3+9x2+5的值．[拓展应用]（3）若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2+1＝0的两个实数解为x1、x2，求+的最小值．9．（2023春•宁波期末）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1x2，则材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根．（1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0两个根为x1x2，则x1+x2＝_______，x1x2＝__________________．（2）应用探究：已知实数m，n满足9m2﹣9m﹣1＝0，9n2﹣9n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足9s2+9s+1＝0，t2+9t+9＝0，其中st≠1且st≠0．求的值．题型五一元二次方程的实际应用【例1】（2023秋•防城区期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（）A．（1+x）2＝121 B．1+x+x2＝121 C．1+x+（x+1）2＝121 D．1+x+2（x+1）＝121【例2】（2023秋•武都区期末）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（）A．（18﹣3x）（6﹣2x）+60＝108 B．（18﹣3x）（6﹣2x）+3x2＝60 C．（18﹣3x）（6﹣2x）＝60 D．108﹣18x﹣36x+3x2＝60【例3】（2022秋•舞钢市期末）受油价上涨等因素刺激，传统燃油汽车市场进入“寒冬”期，但新能源汽车迎来了销量春天．据统计，2020年我国新能源汽车累计销量为150万辆，销量逐年增加，预计到2022年销量达到486万辆．若2020年到2022年的年平均增长率为x，则x的值为（）A．80% B．120% C．112% D．150%【例4】（2023秋•温岭市期中）近年来某市加大了对教育经费的投入，2021年投入2亿元，2023年将投入2.5亿元，设该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意则可以列出的方程是__________________．【例5】（2023秋•增城区期末）某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（）A．（x+16）（200﹣5x）＝1200 B．（x+16）（200+5x）＝1200 C．（x﹣16）（200+5x）＝1200 D．（x﹣16）（200﹣5x）＝1200【例6】（2023春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【例7】（2023•衢州一模）如图，有一张长方形桌子的桌面长130cm，宽60cm．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．若设台布垂下的长度为xcm，则可列出x满足的方程为______________________．（不必化简）【例8】（2022秋•芦淞区期末）2021年我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．成为“脱贫胜利年”．技术扶贫也使得某县的一个电子公司扭亏为盈，该公司的显卡厂2019年电脑A型显卡的成本是100元/个，2020年与2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年A型电脑显卡的成本降低到81元/个．（1）求这两年A型电脑显卡成本平均下降的百分率；（2）公司电商销售平台以高于成本价10%的价格购进A型电脑显卡，以117.1元/个销售时，平均每天可销售20个．为增加销量，销售平台决定降价销售，经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天要保持盈利720元，试求单价应降低多少元？【例9】（2023春•苍南县期中）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图2所示BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图2总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米．（1）求长方形ABCD花圃的长和宽；（2）求出网红打卡点的面积．【例10】（2023春•拱墅区期末）根据以下素材，完成探索任务．探索果园土地规划和销售利润问题素材1某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元/m2；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米．素材2该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．问题解决任务1解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．（1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．（2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求．任务2解决果园种植的预期利润问题．（净利润＝草莓销售的总利润﹣路面造价费用﹣果园承包费用﹣新苗购置费用﹣其余费用）（3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．巩固训练1．（2023秋•温岭市期末）2021年5月11日，国新办发布我国第七次人口普查结果，全国总人口约14.11亿，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长．据查，2000年第五次人口普查全国总人口约12.95亿．若设从第五次到第七次人口普查总人口的平均增长率为x，则可列方程为（）A．12.95（1+x）＝14.11 B．12.95（1+2x）2＝14.11 C．12.95（1+2x）＝14.11 D．12.95（1+x）2＝14.112．（2022秋•临海市期末）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（）A．x（x﹣6）＝864 B．x（x﹣12）＝864 C．x（x+6）＝864 D．x（x+12）＝8643．（2023春•鄞州区期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5cm2，则点P运动的时间是（）A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s4．（2023秋•集美区校级期中）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为（）A．线段BF B．线段DG C．线段CG D．线段GF5．（2022秋•枣阳市期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，按照这样的传染速度，经过三轮后患了流感人数共有（）A．512人 B．596人 C．648人 D．729人6．（2023•裕华区校级模拟）空地上有一段长为a米的旧墙MN，工人师傅欲利用旧墙和木栏围成一个封闭的矩形菜园（如图），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S平方米．若a＝18，S＝196，则（）A．有一种围法 B．有两种围法 C．不能围成菜园 D．无法确定有几种围法7．（2023秋•和平区期中）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为__________．8．（2023春•上城区期中）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），若比赛的总局数为28局，设共有x位选手参加比赛，则可列出方程为：__________．9．（2023春•河口区期末）如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为_______m．10．（2023•临沂一模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过_________s后，P，Q两点之间相距25cm．11．（2023春•乐清市期中）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为_________．12．（2023春•鹿城区期中）某地一家餐厅开张，开业第一天收入为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入为6050元，则每天增长率为__________．13．（2023春•滁州期末）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．（1）AB＝______________米（用含x的代数式表示）；（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．14．（2023•东营区校级模拟）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？15．（2023秋•五莲县期中）某水果超市经销一种高档水果，售价每千克50元．（1）若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；（2）若按现售价销售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？（3）为了迎接新学期，在（2）的基础上，超市决定每卖出1千克捐赠a元（a≤2）给贫困山区学生，设每千克涨价x元．若要保证当0≤x≤8时，每天盈利随着x的增加而增大，直接写出a的取值范围．16．（2023秋•贾汪区期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价a元，则平均每天的销售数量为______________件（用含a的代数式表示）．（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？（3）该商店每天的销售利润可能达到1450元吗？请说明理由．

第二章一元二次方程（5类题型突破）答案全解全析题型一一元二次方程及一元二次方程的解【例1】（2022秋•商洛期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x3+2x＝0 B．x（x﹣3）＝0 C． D．y﹣x2＝4【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，根据定义即可做出判断．【解答】解：A．x3+2x＝0，未知数最高次数是3，不是一元二次方程，不符合题意；B．x（x﹣3）＝0是一元二次方程，符合题意；C．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；D．y﹣x2＝4含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．故选：B．【例2】（2023春•东阳市期末）将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项进行分析即可．【解答】解：2x2+7＝4x可化为2x2﹣4x+7＝0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，﹣4，7，故选：C．【例3】（2023秋•温岭市期末）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2021﹣6a2+2a的值是（）A．2023 B．2022 C．2020 D．2019【分析】先根据一元二次方程根的定义得到3a2﹣a＝1，再把2021﹣6a2+2a变形为2021﹣2（3a2﹣a），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴3a2﹣a﹣1＝0，∴3a2﹣a＝1，∴2021﹣6a2+2a＝2021﹣2（3a2﹣a）＝2021﹣2×1＝2019．故选：D．【例4】（2023秋•椒江区期中）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝__0__．【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．【解答】解：∵方程（m﹣4）x|m﹣2|+3x+5＝0是一元二次方程，∴，解得m＝0．故答案为：0．【例5】（2023秋•息县期中）若一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0的一个根为x＝2，则a＝__1__．【分析】把x＝2代入方程得出4﹣2a﹣2＝0，再求出方程的解即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0的一个根为x＝2，∴4﹣2a﹣2＝0，解得a＝1，故答案为：1．巩固训练1．（2022秋•让胡路区校级期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（）A． B．x2﹣3x+2 C．﹣5x2+3y﹣2＝0 D．y2＝16【分析】根据一元二次方程的定义依次判断即可．【解答】解：∵2x2+x＝﹣5是分式方程，∴A不合题意．∵x2﹣3x+2是代数式，不是方程，∴B不合题意．∵﹣5x2+3y﹣2＝0含两个未知数，是二元方程，∴C不合题意．∵y2＝16是含一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，∴D符合题意．故选：D．2．（2023秋•明山区校级期中）把一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝1化成一般形式，正确的是（）A．x2+x﹣5＝0 B．x2﹣5x﹣5＝0 C．x2+x﹣7＝0 D．x2﹣5x+6＝0【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的一般形式，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，可得答案．【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝1，x2+x﹣6＝1，x2+x﹣7＝0，故选：C．3．（2023秋•桂东县期末）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．【解答】解：在这个式子中，如果把x＝1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c＝0可知：当x＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．故选：C．4．（2022春•朝阳区校级期中）若（m﹣2）x2﹣3x+5＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为__m≠2__．【分析】根据一元二次方程的一般形式，可知二次项系数不为0，根据这一条件列出不等式，求出m的值即可．【解答】解：由题意，得m﹣2≠0，∴m≠2，故答案为：m≠2．5．（2022春•嘉兴期末）构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为﹣1．这个一元二次方程可以是__x2﹣1＝0__（写出一个即可）．【分析】直接利用一元二次方程的一般形式进而得出答案．【解答】解：由题意可得，方程可以为：（x+1）（x﹣1）＝0，即x2﹣1＝0．故答案为：x2﹣1＝0．6．（2023春•义乌市期末）已知a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式6a﹣2a2+5的值为__﹣7__．【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2﹣3a＝6，再把6a﹣2a2+5变形为﹣2（a2﹣3a）+5，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a是方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，∴a2﹣3a﹣6＝0，∴a2﹣3a＝6，∴6a﹣2a2+5＝﹣2（a2﹣3a）+5＝﹣2×6+5＝﹣7．故答案为：﹣7．题型二一元二次方程的解法【例1】（2022秋•宜兴市期末）方程（x+3）2＝4的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5【分析】利用直接开平方法解方程即可．【解答】解：（x+3）2＝4，∴x+3＝±2，∴x1＝﹣1，x2＝﹣5，故选：A．【例2】（2023秋•临江市期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，则配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7【分析】先把﹣3移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．【解答】解：∵x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x＝3，∴x2﹣4x+4＝3+4，∴（x﹣2）2＝7．故选：C．【例3】（2023•浦江县模拟）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解是（）A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝﹣1【分析】利用因式分解法解答，即可求解．【解答】解：x2﹣4x+3＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，∴x1＝3，x2＝1．故选：A．【例4】（2023秋•青山区校级期中）三角形两边长分别为7和4，第三边是方程x2﹣11x+18＝0的解，则这个三角形的周长是（）A．13 B．13或20 C．12 D．20【分析】先利用解一元二次方程的解﹣因式分解法进行计算，可求出x1＝2，x2＝9，然后根据三角形的三边关系可得：x＝2不符合题意，舍去，从而根据三角形的周长公式进行计算，即可解答．【解答】解：x2﹣11x+18＝0，（x﹣2）（x﹣9）＝0，x﹣2＝0或x﹣9＝0，x1＝2，x2＝9，∵三角形两边长分别为7和4，∴x＝2不符合题意，舍去，∴这个三角形的周长＝7+4+9＝20，故选：D．【例5】（2023•桐庐县一模）已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，则2a+b的值为__6+__．【分析】先利用直接开平方法解方程得到a＝2+，b＝2﹣，然后把它们代入2a+b中计算即可．【解答】解：（x﹣2）2＝3，x﹣2＝±，解得x1＝2+．x2＝2﹣，∵方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，∴a＝2+，b＝2﹣，∴2a+b＝2（2+）+2﹣＝6+．故答案为：6+．【例6】（2023秋•武进区校级月考）用配方法解方程x2+4x﹣3＝0，配方得（x+m）2＝7，常数m的值是__2__．【分析】根据配方法的一般步骤先把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方，即可得出答案．【解答】解：x2+4x﹣3＝0，x2+4x＝3，x2+4x+4＝3+4，（x+2）2＝7，则m＝2．故答案为：2．【例7】（2023•镇海区校级模拟）方程x（x+1）＝2（x+1）的解是__x1＝2，x2＝﹣1__．【分析】移项后分解因式得到（x+1）（x﹣2）＝0，推出方程x+1＝0，x﹣2＝0，求出方程的解即可【解答】解：x（x+1）＝2（x+1），移项得：x（x+1）﹣2（x+1）＝0，即（x+1）（x﹣2）＝0，∴x+1＝0，x﹣2＝0，解方程得：x1＝2，x2＝﹣1，故答案为：x1＝2，x2＝﹣1．【例8】（2023秋•温岭市期末）解方程：2x2﹣4x＝15．【分析】利用配方法解一元二次方程．【解答】解：2x2﹣4x＝15，二次项系数化1，得：x2﹣2x＝，配方，得：x2﹣2x+1＝+1，（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x1＝，x2＝．【例9】（2023春•海曙区校级期中）用适当的方法解下列方程：（1）（2x﹣1）2＝4；（2）x2﹣10x+8＝0．【分析】（1）利用直接开方法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可．【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝4，2x﹣1＝±2，解得x1＝﹣，x2＝；（2）x2﹣10x+8＝0，x2﹣10x＝﹣8，x2﹣10x+25＝﹣8+25，（x﹣5）2＝17，∴x﹣5＝±，解得x1＝5﹣，x2＝5+．【例10】（2023秋•临海市期中）解方程：（1）x2＝81；（2）x2﹣10x+21＝0．【分析】（1）利用直接开方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：（1）x2＝81，解得x1＝9，x2＝﹣9；（2）x2﹣10x+21＝0，因式分解得，（x﹣3）（x﹣7）＝0，即x﹣3＝0或x﹣7＝0，解得x1＝3，x2＝7．【例11】（2023春•衢州期末）解方程：（1）2y2+3y﹣1＝0；（2）x（x﹣4）＝﹣4．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）2y2+3y﹣1＝0，∵a＝2，b＝3，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0，∴，∴，；（2）x（x﹣4）＝﹣4，x2﹣4x＝﹣4，x2﹣4x+4＝0，（x﹣2）2＝0，x1＝x2＝2．【例12】（2023春•下城区校级月考）以下是圆圆在用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的过程：解：移项得：x2﹣2x＝4配方：x2﹣2x+1＝4（x﹣1）2＝4开平方得：x﹣1＝±2移项：x＝±2+1所以：x1＝3，x2＝3圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法进而分析得出答案．【解答】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：移项得：x2﹣2x＝4，配方：x2﹣2x+1＝4+1，（x﹣1）2＝5，开平方得：x﹣1＝±，移项：x＝±+1，所以：x1＝+1，x2＝﹣+1．巩固训练1．（2023春•温州期末）用配方法解方程x2+6x+3＝0时，配方结果正确的是（）A．（x+3）2＝12 B．（x﹣3）2＝12 C．（x﹣3）2＝6 D．（x+3）2＝6【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可．【解答】解：∵x2+6x+3＝0，∴x2+6x＝﹣3，∴x2+6x+9＝﹣3+9，即（x+3）2＝6，故选：D．2．（2023春•杭州期末）方程x2＝5x的解是（）A．x＝5 B．x＝0 C．x1＝﹣5；x2＝0 D．x1＝5；x2＝0【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x2﹣5x＝0，x（x﹣5）＝0，x＝0或x﹣5＝0，所以x1＝0，x2＝5，故选：D．3．（2018秋•江油市月考）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（）A．x＝1﹣ B．x＝ C．x＝﹣1+ D．x＝【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．【解答】解：∵Δ＝12﹣4×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根，即x＝．故选：D．4．（2023秋•顺德区校级月考）用因式分解法解方程9x2＝（x﹣2）2时，因式分解结果正确的是（）A．4（2x﹣1）（x﹣1）＝0 B．4（2x+1）（x﹣1）＝0 C．4（2x﹣1）（x+1）＝0 D．4（2x+1）（x+1）＝0【分析】移项，然后利用平方差公式分解因式解即可．【解答】解：9x2＝（x﹣2）2，9x2﹣（x﹣2）2＝0，（3x+x﹣2）（3x﹣x+2）＝0，（4x﹣2）（2x+2）＝0，4（2x﹣1）（x+1）＝0，故选：C．5．（2023秋•娄底期中）关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝__2__．【分析】利用直接开平方法解方程x2＝a得到方程的两根互为相反数，则2m﹣1+m﹣5＝0，则可计算出m＝3即可．【解答】解：根据题意得2m﹣1+m﹣5＝0，解得m＝2，故答案为：2．6．（2022•海曙区一模）代数式x2﹣2x与4x的值相等，则x的值为__x1＝0，x2＝6__．【分析】根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，经检验即可得到x的值．【解答】解：根据题意得：x2﹣2x＝4x，整理得：x2﹣6x＝0，分解因式得：x（x﹣6）＝0，所以x＝0或x﹣6＝0，解得：x1＝0，x2＝6．故答案为：x1＝0，x2＝6．7．（2021秋•镇江期末）对方程x2x＝0进行配方，得+m＝+m，其中m＝____．【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方，依此可求m．【解答】解：由题意得：m＝（÷2）2＝．故答案为：．8．（2023秋•南山区期中）对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为__3__．【分析】分两种情况：当x≥﹣2时，当x＜﹣2时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：当x≥﹣2时，∵x⊗（﹣2）＝10，∴x2+x﹣2＝10，x2+x﹣12＝0，（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0或x﹣3＝0，x1＝﹣4（舍去），x2＝3，当x＜﹣2时，∵x⊗（﹣2）＝10，∴（﹣2）2+x﹣2＝10，x＝8（舍去），综上所述：x＝3，故答案为：3．9．（2023•滨江区校级开学）计算与解方程：（1）；（2）．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，体会合并同类二次根式即可；（2）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：（1）原式＝6﹣2﹣＝6﹣；（2）x2﹣6x﹣3＝0，∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣3，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣3）＝4×21＞0，∴x＝＝3±，∴x1＝3+，x2＝3﹣．10．（2023春•婺城区期末）解方程：（1）（x+1）2＝16；（2）x2﹣4x＝2．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用公式法求解即可．【解答】解：（1）（x+1）2＝16，x+1＝±4，解得：x1＝3，x2＝﹣5，（2）x2﹣4x＝2，x2﹣4x﹣2＝0，b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，，解得：．11．（2023春•义乌市校级期中）用适当方法解下列方程：（1）x2﹣7x+2＝0；（2）2x（x﹣3）+x＝3．【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；（2）方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：（1）x2﹣7x+2＝0这里a＝1，b＝﹣7，c＝2，∵Δ＝49﹣8＝41＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（2）方程整理得：2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，分解因式得：（x﹣3）（2x+1）＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣．12．（2023秋•灵宝市期中）解方程：（1）4x2＝（x+2）2；（2）2x2+4x﹣5＝0．【分析】（1）先移项，再利用因式分解法把方程转化为2x+x+2＝0或2x﹣x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可；（2）利用配方法得到（x+1）2＝，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）4x2＝（x+2）2，4x2﹣（x+2）2＝0，（2x+x+2）（2x﹣x﹣2）＝0，2x+x+2＝0或2x﹣x﹣2＝0，所以x1＝﹣，x2＝2；（2）2x2+4x﹣5＝0，x2+2x＝，x2+2x+1＝+1，（x+1）2＝，x+1＝±，所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．13．（2023秋•阜宁县期中）解下列方程：（1）x（x+1）＝（x+1）；（2）2x2﹣3x﹣1＝0．【分析】（1）移项后，利用因式分解法求解即可；（2）直接利用公式法求解即可．【解答】解：（1）x（x+1）＝（x+1），∴x（x+1）﹣（x+1）＝0，∴（x+1）（x﹣1）＝0，∴x+1＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝1；（2）2x2﹣3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴，∴，．14．（2023春•拱墅区期中）已知关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0，（1）证明：当a取任何实数时，方程都是一元二次方程：（2）当a＝2时，解这个方程．【分析】（1）要证明无论a取何实数这个方程都是一元二次方程，只要说明无论a为什么值时a2﹣4a+5的值都不是0，可以利用配方法来证明；（2）当a＝2时，就可以求出方程的具体形式，解方程就可求出方程的解．【解答】（1）证明：a2﹣4a+5＝（a2﹣4a+4）+1＝（a﹣2）2+1，∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+1≠0，∴无论a取何实数关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0都是一元二次方程；（2）解：当a＝2时，原方程变为x2+4x+4＝0，解得x1＝x2＝﹣2．题型三根的判别式【例1】（2023•太康县模拟）若k＜0，则关于x的一元二次方程x2+x+k﹣1＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＝5﹣4k，再利用k＜0可判断即Δ＞0，然后根据根的判别式的意义进行判断．【解答】解：∵Δ＝12﹣4（k﹣1）＝5﹣4k，而k＜0，∴5﹣4k＞0，即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【例2】（2022秋•桐柏县期末）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．k＜ B．k＜且k≠1 C．0≤k≤ D．k≠1【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k﹣1≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，∴k﹣1≠0，即k≠1，Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＝﹣12k+16，∵方程有两个不相等的实数解，∴Δ＞0，∴﹣12k+16＞0，∴k＜，∴k的取值范围是k＜且k≠1．故选：B．【例3】（2023秋•西工区期中）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【分析】利用一次函数的性质得到a≤0，再判断Δ＝22﹣4a＞0，从而得到方程根的情况．【解答】解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，∴a≤0，当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为x＝﹣，当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，∵Δ＝22﹣4a＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．【例4】（2023•葫芦岛一模）已知一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为__9__．【分析】根据方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根可知Δ＝0，求出k的值即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝62﹣4m＝0，∴m＝9．故答案为：9．【例5】（2023秋•奉化区期末）如果满足||x2﹣6x﹣16|﹣10|＝a的实数x恰有4个，则实数a的取值范围为__10＜a＜15__．【分析】可以根据函数的图象，先画出y＝x2﹣6x﹣16图象，x轴以下向上反射得到的图象再向下平移10个单位后，再次将x轴以下反射上去，得到y＝||x2﹣6x﹣16|﹣10|的图象，因为y＝a的图象是一条横线，通过图象得a的取值范围．【解答】解：如图，10＜a＜15时，两函数有4个交点．故答案为：10＜a＜15．【例6】（2023秋•黄埔区校级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；其中正确的（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【分析】①a+b+c＝0说明原方程有根是1，即可判断；②判断方程的根的情况，根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号即可判断；③c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，整理后即可判断；④根据am2+bm+c﹣（an2+bn+c）＝（m﹣n）[a（m+n）+b]．得到当a（m+n）+b＝0时，am2+bm+c﹣（an2+bn+c）＝0．于是得到结论．【解答】解：①若a+b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有一个根为1，∴b2﹣4ac≥0，正确；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，可知b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，正确；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，若c＝0时，ac+b+1＝0不成立，错误；④am2+bm+c﹣（an2+bn+c）＝a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝a（m+n）（m﹣n）+b（m﹣n）＝（m﹣n）[a（m+n）+b]．∵m≠n．∴m﹣n≠0．∴当a（m+n）+b＝0时，am2+bm+c﹣（an2+bn+c）＝0．∴存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c．正确．故选：B．【例7】（2023秋•兴隆县期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0．（1）若方程的一个根为x＝﹣1，则a的值为__﹣14__；（2）若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为__4，2，1__．【分析】（1）将x＝﹣1代入一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0即可求a；（2）由于根的存在性可得Δ＝64﹣36（a﹣3）≥0，再结合二次项系数a≠3，可求a的范围进而解答．【解答】解：（1）∵方程的一个根为x＝﹣1，将x＝﹣1代入一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0，可得a﹣3+8+9＝0，∴a＝﹣14；故答案为：﹣14；（2）∵（a﹣3）x2﹣8x+9＝0是一元二次方程，∴a≠3，∵方程有实数根，∴Δ＝64﹣36（a﹣3）≥0，∴a≤，∴a≤且a≠3，∵a是正整数，∴a＝4，2，1．故答案为：4，2，1．【例8】（2023春•镇海区期末）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac．则称此方程为“蛟龙”方程．（1）当b＜0时，判断此时“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情况，并说明理由．（2）若“蛟龙”方程2x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，请解出此方程．【分析】（1）根据“蛟龙”方程的定义得b＝ac，故Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4b＝b（b﹣4），当b＜0时，Δ＞0，根据判别式的意义即可得出结论；（2）根据“蛟龙”方程的定义得m＝2n，根据判别式的意义得Δ＝m2﹣4×2n＝4n2﹣8n＝0，求出n，进而得到方程的解．【解答】解：（1）“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，理由如下：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“蛟龙”方程，∴b＝ac，∵b＜0，∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4b＝b（b﹣4）＞0，∴“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；（2）∵方程2x2+mx+n＝0为“蛟龙”方程，∴m＝2n，∵方程2x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝m2﹣4×2n＝4n2﹣8n＝0，∴n＝0或2，当n＝0时，方程为2x2＝0，解得x1＝x2＝0；当n＝2时，方程为2x2+4x+2＝0，解得x1＝x2＝﹣1．故此方程的解为0或﹣1．【例9】（2023秋•阿荣旗期末）关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根为1，求m的值；（3）求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长．【分析】（1）根据关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0，即可求得m的值；（3）先由根与系数的关系求得方程的另一根为3，再由勾股定理得斜边的长度为，再根据三角形的周长公式进行计算．【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，解得m＝2；（3）解：方程的另一根为：m+2﹣1＝2+1＝3；由勾股定理得斜边的长度为：；该直角三角形的周长为1+3+＝4+．【例10】（2022秋•伊川县期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；（2）根据判别式的意义得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；（3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；（2）△ABC为直角三角形；理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；（3）∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．巩固训练1．（2023•武进区校级模拟）一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，其中a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：C．2．（2023•泗阳县一模）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出Δ＝42﹣4×1×c＞0，解之可得答案．【解答】解：根据题意，得：Δ＝42﹣4×1×c＞0，解得c＜4，故选：D．3．（2023•滁州二模）若关于x的方程kx2﹣x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤12 B．k≤ C．k≤12且k≠0 D．k≤且k≠0【分析】由于k的取值不确定，故应分k＝0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．【解答】解：当k＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，当k≠0时，方程kx2﹣x+3＝0是一元二次方程，根据题意可得：Δ＝1﹣4k×3≥0，解得k≤，k≠0，综上k≤，故选：B．4．（2023•大安市四模）关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为__9__．【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则有Δ＝0，得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即62﹣4×1×m＝0，解得m＝9．故答案为：9．5．（2023春•浙江期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式x2﹣3x+c与代数式x+2值相等，则c的取值范围是__c＜6__．【分析】根据题意可得方程x2﹣3x+c＝x+2有两个不相等的根，即判别式Δ＞0，即可求解．【解答】解：由题意得，方程x2﹣3x+c＝x+2有两个不相等的根，整理得x2﹣4x+c﹣2＝0，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（c﹣2）＞0，解得：c＜6，故答案为：c＜6．6．（2022秋•临海市期末）关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，若m为方程的其中一个实数根，令n＝2m2﹣4m+3c﹣1，则n的取值范围是__n＜0__．【分析】由根的判别式求得c﹣1＜0，由一元二次方程根的定义得到m2﹣2m＝﹣c，整体代入n＝2m2﹣4m+3c﹣1，即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＞0，∴c﹣1＜0，∵m为方程的其中一个实数根，∴m2﹣2m+c＝0，即m2﹣2m＝﹣c，∵n＝2m2﹣4m+3c﹣1＝2（m2﹣2m）+3c﹣1＝﹣2c+3c﹣1＝c﹣1＜0，故答案为：n＜0．7．（2023•顺庆区三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；（2）已知等腰三角形的一边a为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求k的值．【分析】（1）计算根的判别式得到Δ＝（k﹣2）2，则Δ≥0，从而得到结论；（2）利用因式分解法解方程x2﹣kx+k﹣1＝0得x1＝k﹣1，x2＝1，讨论：当k﹣1＝1时，k＝2，因为1+1＝2，不符合三角形三边的关系，舍去；当k﹣1＝2时，即k＝3，符合三角形三边的关系．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣k）2﹣4（k﹣1）＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值，该方程总有实数根；（2）解：解方程x2﹣kx+k﹣1＝0得x1＝k﹣1，x2＝1，当k﹣1＝1时，k＝2，因为1+1＝2，不符合三角形三边的关系，舍去；当k﹣1＝2时，即k＝3，三角形的三边为2、2、1，综上所述，k的值为3．8．（2022秋•营口期中）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+（m﹣2）＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根；（2）已知方程有一根大于6，求m的取值范围．【分析】（1）先计算判别式的值，再配方得到Δ＝（m﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）先利用求根公式得到x1＝1，x2＝m﹣2，则m﹣2＞6，然后解不等式即可．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣2m+1﹣4m+8＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，∴无论m取何值，方程总有实数根；（2）由求根公式得x＝＝，∴x1＝1，x2＝m﹣2，∵方程有一根大于6，∴m﹣2＞6，解得m＞8．9．（2023秋•化州市期中）关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求出此时方程的根．【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；（2）由（1）的结论，结合m为正整数，可得出m的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根，∴，解得：m≤且m≠0，∴m的取值范围为m≤且m≠0；（2）∵m≤且m≠0，m为正整数，∴m＝1，∴原方程为x2﹣4x+3＝0，即（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴此时方程的根为1和3．10．（2022春•慈溪市校级期中）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；（2）先求出k的值，再代入方程x2﹣3x+k＝0，求出x＝2或x＝1，把x＝2或x＝1代入方程求出m的值即可．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤；（2）∵k是符合条件的最大整数，∴当k≤时的最大整数值是2，则关于x的方程x2﹣3x+k＝0是x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝2，∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，∴当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1；而m﹣1≠0，所以m＝1舍去，当x＝1时，（m﹣1）+1+m﹣3＝0，解得m＝，∴m的值为．题型四根与系数的关系【例1】（2022秋•泰和县期末）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则a+b﹣2ab等于（）A．7 B．﹣5 C．﹣7 D．5【分析】利用根与系数关系即可解决问题．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣3，∴a+b﹣2ab＝﹣1﹣2×（﹣3）＝5．故选：D．【例2】（2023春•西湖区校级期中）若x1，x2是方程x2+x﹣2＝0的两实数根，则﹣x2+2的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】先根据一元二次方程根的定义得到＝﹣x1+2，则﹣x2+2化为﹣（x1+x2）+4，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵x1是方程x2+x﹣2＝0的根，∴+x1﹣2＝0，∴＝﹣x1+2，∴﹣x2+2＝﹣x1+2﹣x2+2＝﹣（x1+x2）+4，∵x1，x2是方程x2+x﹣2＝0的两实数根，∴x1+x2＝﹣1，∴﹣x2+2＝1+4＝5．故选：A．【例3】（2023春•拱墅区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0无实根；③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．其中正确的（）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④【分析】①由a+b+c＝0，可得出x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解；②由方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得出Δ＝﹣4ac＞0，结合偶次方的非负性，可得出Δ＝b2﹣4ac＞0，进而可得出方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根；③由根与系数的关系，可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，变形得出﹣＝＝+，＝＝•，即可得出方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，；④利用求根公式，可得出x0＝，变形后即可得出b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．【解答】解：①∵a+b+c＝0，∴当x＝1时，ax2+bx+c＝a+b+c＝0，∴x＝1为方程ax2+bx+c＝0的一根，故说法①正确；②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴﹣4ac＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，故说法②错误；③∵若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴﹣＝＝+，＝＝•，∴方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，，故说法③正确；④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，∴x0＝，∴±＝2ax0+b，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故说法④正确．∴正确的结论有①③④．故选：D．【例4】（2022秋•海口期末）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是__﹣7__．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：设另一个根为x，则x+2＝﹣5，解得x＝﹣7．故答案为﹣7．【例5】（2023秋•长汀县期中）已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则代数式的值为____．【分析】直接利用根与系数的关系作答．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，∴x1+x2＝3，x1•x2＝1．∴＝＝．故答案为：．【例6】（2022秋•渌口区期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根为﹣3，求m的值，并求另一根；（3）若方程两根为x1，x2，且满足，求m的值．【分析】（1）先计算Δ＝b2﹣4ac，再根据非负数的性质即可证明；（2）将x＝﹣3代入方程中，可求出m的值，再解方程即可求得另一根；（3）根据根与系数的关系可得x1+x2＝m+1，x1x2＝m，根据可得，再整体代入即可求解．【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+1）2﹣4×1×m＝m2+2m+1﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有一根为﹣3，∴（﹣3