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文档简介
初中数学七年级上册专题复习(二)1解一元一次方程2新定义与一元一次方程3含有参数的一元一次方程4实际问题与一元一次方程5数学文化中的一元一次方程的应用6数学思想与线段计算7单中点模型(基础)8双中点模型(综合)9数学思想与角度计算10单角平分线模型(基础)11双角平分线模型(综合)1解一元一次方程
2新定义与一元一次方程
2.规定“△”是一种新的运算法则,满足:a△b=ab-3b.例如:2△(-3)=2×(-3)-3×(-3)=-6+9=3.(1)求(-5)△2的值.(2)若(-3)△(x+1)=x△(-2),求x的值.解:(1)(-5)△2=-5×2-3×2=-10-6=-16.(2)由(-3)△(x+1)=x△(-2),得-3(x+1)-3(x+1)=-2x-3×(-2),去括号,得-3x-3-3x-3=-2x+6,移项,得-3x-3x+2x=6+3+3,合并同类项,得-4x=12,系数化为1,得x=-3.3.定义:如果两个一元一次方程的解互为相反数,我们就称这两个方程为“兄弟方程”.如方程2x=4和3x+6=0为“兄弟方程”.(1)若关于x的方程5x+m=0与方程2x-4=x+1是“兄弟方程”,求m的值.(2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为8,其中一个方程的解为n,求n的值.(3)若关于x的方程2x+3m-2=0和3x-5m+4=0是“兄弟方程”,求这两个方程的解.
4.我们规定:若关于x的一元一次方程ax=b的解为b+a,则称该方程为“和解方程”.例如:方程2x=-4的解为x=-2,而-2=-4+2,则方程2x=-4为“和解方程”.请根据上述信息,回答下列问题:(1)已知关于x的一元一次方程3x=m是“和解方程”,求m的值.(2)已知关于x的一元一次方程-2x=mn+n是“和解方程”,并且它的解是x=n,求m,n的值.
3含有参数的一元一次方程一根据一元一次方程的定义求参数的值类型1.若关于x的方程(|k|-2)x2-2x|k-1|=k+2是一元一次方程,则k的值是______.
2二由一元一次方程的解求参数或代数式的值类型
6三一元一次方程的同解问题类型
C
四一元一次方程的解关联问题类型
4实际问题与一元一次方程一分配问题1.甲、乙两班共有98人,若从甲班调3人到乙班,则两班人数正好相等.设甲班原有人数是x人,则可列方程为
(
)A.98+x=x-3 B.98-x=x-3
C.(98-x)-3=x D.(98-x)+3=x-32.要挖一条水渠,共有72人参加挖土和运土,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走,怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走?设派x人挖土,其他人运土,则可列方程为____________.
D3(72-x)=x
40
二配套问题5.某车间有60名工人生产太阳镜,1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个,怎样分配工人生产镜片和镜架,能使每天生产的产品配套?设x人生产镜片,则可列方程为
(
)A.2×200x=50(60-x)
B.200x=2×50(60-x)C.2×50x=200(60-x)
D.50x=2×200(60-x)6.一张桌子由一个桌面和四条桌腿组成,1m3的木材可制成桌面50张或桌腿300条,现有10m3的木材,如何分配木材,可以使桌面和桌腿配套?设用xm3的木材做桌面,则可列方程为________________________.
B50x×4=300(10-x)三盈不足问题7.学校安排学生住宿,若每间房住8人,则12人无法入住;若每间房住9人,则空余2间房,这个学校的住宿生共有
(
)A.108人
B.180人C.196人
D.252人8.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文:“今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数几何?”译文:现有一些人共同买一个物品,每人出8元,还盈余3元;每人出7元,还差4元,则共有______人.
D7四商品销售利润问题9.某种商品因换季准备打折出售,若按照原定价的七五折出售,每件将赔10元;若按原定价的九折出售,每件将赚38元,则这种商品的原定价是
(
)A.200元
B.240元C.320元
D.360元10.商店将进价为2400元的彩电标价3600元出售,为了吸引顾客进行打折出售,售出后核算仍可获利20%,则打______折.
C八11.某校七年级社会实践小组去某商场调查商品销售情况,了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件,并以每件120元的价格销售了400件.商场准备采取促销措施,将剩下的衬衫降价销售.请你帮商场计算一下,每件衬衫降价多少元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标?解:设每件衬衫降到x元时盈利为45%.由题意,得(120-80)×400+(x-80)×100=80×500×45%,解得x=100所以120-100=20(元).答:每件衬衫降价20元时正好达到盈利45%的预期目标.五方案选择问题12.张老师暑假将带领学生去旅游,甲旅行社说:“老师买全票一张,其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说:“包括老师在内全部按全票价的六折优惠.”全票价为240元.(1)若学生有3人或5人,则甲旅行社收费多少元?乙旅行社呢?(2)学生数为多少时,两个旅行社的收费相同?解:(1)当学生有3人时,甲:240+240×0.5×3=600(元),乙:(3+1)×240×0.6=576(元);当学生有5人时,甲:240+240×0.5×5=840(元),乙:(5+1)×240×0.6=864(元).(2)设学生有x人.若两个旅行社的收费相同,则得方程240+240×0.5x=(x+1)×240×0.6,解得x=4.答:学生数为4人时,两个旅行社的收费相同.六分段计算问题13.某市对居民生活用电实行阶梯电价,具体收费标准如下表所示:一户居民一个月的用电量电价/(元/度)第1档不超过240度的部分a第2档超过240度但不超过400度的部分0.65第3档超过400度的部分a+0.3已知7月份该市居民老李家用电200度,交电费120元,9月份老李家交电费157元.(1)表中a的值为__________.
(2)求老李家9月份的用电量.(3)若8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度,求老李家8月份的用电量.0.6解:(2)当用电240度时,电费为240×0.6=144(元);当用电400度时,电费为144+(400-240)×0.65=248(元),所以老李家9月份的用电量在第2档.设老李家9月份用电x度.由题意,得144+(x-240)×0.65=157,解得x=260.答:老李家9月份用电260度.
5数学文化中的一元一次方程的应用一销售问题类型1.《九章算术》中有这样一道题,原文:“今有共买豕,人出一百,盈一百,人出九十,适足,问人数、豕价各几何?”译文:今有人合伙买猪,每人出100钱,则会多出100钱;每人出90钱,恰好合适,问合伙的人数、猪价各是多少?解:设合伙的人数为x人,则猪价为90x钱.根据题意,得100x-90x=100,解得x=10,90x=900.答:合伙的人数为10人,猪价为900钱.2.《九章算术》是我国古代第一部数学专著,此专著中有这样一道题:“今有共买鹅,人出九,盈十一;人出六,不足十六,问人数、鹅价几何?”这道题的意思是:今有若干人共买一只鹅,若每人出9文钱,则多出11文钱;若每人出6文钱,则相差16文钱,求买鹅的人数和这只鹅的价格.解:设买鹅的人数有x人,则这只鹅价格为(9x-11)文.根据题意,得9x-11=6x+16,解得x=9,价格为9×9-11=70(文).答:买鹅的人数有9人,鹅的价格为70文.二分配问题类型3.清代诗人徐子云曾写过一首诗:巍巍古寺在山林,不知寺内几多僧.三百六十四只碗,看看用尽不差争.三人共食一碗饭,四人共吃一碗羹.请问先生明算者,算来寺内几多僧?意思是:山林中有一座古寺,不知道寺内有多少僧人.已知一共有364只碗,刚好能够用完.每三个僧人一起吃一碗饭,每四个僧人一起吃一碗羹.请问寺内共有多少僧人?
三度量问题类型
四行程问题类型6.《九章算术》中有一问题,“今有善行者一百步,不善行者六十步.今不善行者先行一百步,善行者追之.问:几何步几之?”译文:有一个善于走路的人和一个不善于走路的人.善于走路的人走100步的同时,不善于走路的人只能走60步.现在不善于走路的人先走100步,善于走路的人追他,需要走多少步才能追上他?解:设善于走路的人追上不善于走路的人所用时间为t.根据题意,得(100-60)t=100,解得
t=2.5,100t=100×2.5=250(步).答:善于走路的人追他,需要走250步才能追上他.6数学思想与线段计算一方程思想思想
2.如图,已知线段BC的长比线段AB的长的2倍多5cm,线段AD的长比线段BC的长的2倍少5cm.若CD=115cm,求线段AB的长.解:设AB=a,则BC=2a+5,AD=2(2a+5)-5=4a+5.因为CD=AD+AB+BC,所以4a+5+a+2a+5=115,解得a=15.即AB的长为15
cm.二分类讨论思想思想
4.已知线段AB=20,点C,D为直线AB上两点,且AC=12,BD=16,求线段CD的长.解:有四种情形:①如图1,CD=CA+AB+BD=12+20+16=48;②如图2,CD=AB+BD-AC=20+16-12=24;③如图3,CD=CA+AB-BD=12+20-16=16;④如图4,CD=AC+BD-AB=12+16-20=8.所以CD=48或24或16或8.三整体思想思想5.如图,点C在线段AB上,线段AC=8cm,BC=4cm,点M,N分别是AC,BC的中点.(1)求线段MN的长.(2)根据(1)的计算过程和结果,设AC+BC=a,其他条件不变,你能猜测出MN的长吗?请证明你的猜测.
6.(1)如图1,点P在线段AB的延长线上,点C是线段AB的中点,式子PA+PB=2PC的值是否变化?若不变,请求其值.(2)如图2,点C在线段AB的延长线上,且满足AC-BC=b,点M,N分别是线段AC,BC的中点,你能表示出MN的长吗?
7单中点模型(基础)如图,点C为线段AB的中点,则AC=________=_____AB,AB=______AC=______BC.
BC
221.如图,线段AB=10cm,点N在线段AB上,NB=2cm,点M是AB的中点,求线段MN的长.
2.如图,CB=4cm,DB=7cm,且点D是AC的中点,求线段AC的长.解:因为CB=4
cm,DB=7
cm,所以DC=DB-CB=7
cm-4
cm=3
cm.因为点D是AC的中点,所以AC=2DC=2×3
cm=6
cm.3.如图,点M是线段AB的中点,点C在线段BM上,且AB=12cm,AC=8cm,求BM-BC的长.
4.已知线段AB=6cm,点C为线段AB的中点,点D是线段AB上一点,且CD=2cm,求线段BD的长.
8双中点模型(综合)
3.如图,已知AB=14,点C为线段AB上一点,点D,E分别为线段AB,AC的中点,ED=1,求线段AC的长.
4.已知A,B,C三点在同一直线上,若线段AB=60,其中点为点M;线段BC=20,其中点为点N,求线段MN的长.
9数学思想与角度计算一方程思想思想
2.如图,∠BOC=2∠AOB,OD平分∠AOC,∠BOD=14°,求∠AOB的度数.
3.如图,∠AOB∶∠BOC∶∠COD=4∶5∶3,OM平分∠AOD,∠BOM=20°,求∠AOD和∠MOC的度数.
因为∠BOM=∠AOM-∠AOB,所以6α-4α=20°,解得α=10°.所以∠AOD=12α=120°,所以∠MOC=∠MOD-∠COD,所以∠MOC=6α-3α=3α=30°.二分类讨论思想思想4.已知∠AOB=50°,以点O为顶点作∠COB=30°,求∠AOC的度数.解:20°或80°.5.如图,2∠BOC=∠AOC,∠AOC的余角比∠BOC的2倍小30°,作射线OD,使得∠AOC=4∠AOD,求∠DOC的度数.解:设∠BOC=x°,则∠AOC=2x°.由题意,得90-2x=2x-30,解得x=30,即∠AOC=60°.①当射线OD在∠AOC内部时,∠AOD=15°,则∠DOC=∠AOC-∠AOD=45°;②当射线OD在∠AOC外部时,∠AOD=15°,则∠DOC=∠AOC+∠AOD=75°.所以∠DOC=45°或75°.三整体思想思想6.如图,OC,OE分别是∠AOD,∠BOD的三等分线,∠AOB=150°,求∠COE的度数.
7.如图,∠AOB=150°,∠COD=90°,OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,求∠EOF的度数.
10单角平分线模型(基础)
∠BOC∠AOB∠AOC∠BOC1.如图,OC平分∠AOB,∠BOD=∠COD.(1)若∠AOB=100°,则∠AOC=________,∠COD=__________,∠DOB=__________.
(2)若∠AOC=54°,则∠COD=_________,∠DOB=__________,∠AOB=____________.
(3)若∠AOD=96°,则∠AOC=_________,∠COD=__________,∠AOB=____________.
50°25°25°27°27°108°64°32°128°2.如图,∠AOC=90°,OE为∠COB的平分线,求∠AOE的度数.
3.如图,∠AOC=30°,∠AOE=70°,且OE平分∠BOC,求∠BOC的度数.解:因为∠AOC=30°,∠AOE=70°,所以∠COE=∠AOE-∠AOC=70°-30°=40°.因为OE平分∠BOC,所以∠BOC=2∠COE=2×40°=80°.
解:设∠BOC=x,则∠AOB=2x,∠COD=∠DOE=76°-x,所以2x+x+2(76°-x)=180°,
解得x=28°,所以∠BOC=28°.11双角平分线模型(综合)如图,OC在∠AOB的内部,OM,ON分别平分∠AOC,∠BOC,则∠MON=____∠AOB.
1.如图,OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线,∠AOE=140°,∠COD=30°,求∠AOB的度数.
4.如图,∠AOB∶∠BOC∶∠COD=2∶3∶4,射线OM,ON分别平分∠AOB与∠COD,且∠MON=90°,求∠BOD的度数.
综合测试一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项,其中只有一个是正确的.1.在-3,-1,0,2四个数中,绝对值最大的数是(
)A.-3
B.-1
C.0
D.22.已知算式3□(-3)的值为0,则“□”内应填入的运算符号为(
)A.+
B.-
C.×
D.÷AA3.下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后,得到的几何体是圆柱的是
(
)C
DDD7.某校组织若干师生到大蜀山进行社会实践活动.若学校租用45座的客车x辆,则余下20人无座位;若租用60座的客车,则可少租用2辆,且最后一辆还没坐满,则乘坐最后一辆60座客车的人数是
(
)A.200-60x
B.140-15x
C.200-15x
D.140-60x8.如图,点C,D是线段AB上的两点,且AC=5,DB=3,AD=m,CB=n,则m-n的值是(
)A.1
B.2C.3
D.无法确定CB9.对于两个不相等的有理数a,b,我们规定符号min{a,b}表示a,b两数中较小的数,例如:min{2,-4}=-4,则方程min{x,-x}=3x+4的解为
(
)A.x=-2
B.x=-1C.x=-1或x=-2
D.x=1或x=2A10.如图,点O在直线AB上,过点O作射线OC,∠BOC=100°,一直角三角尺的直角顶点与点O重合,边OM与OB重合,边ON在直线AB的下方.若三角尺绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第ts时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值是
(
)A.5
B.4C.5或23
D.4或22C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.计算:-(-2024)=______________.
12.2024年五一大数据显示,全社会区域人员流动量为13.58亿人次,数据13.58亿用科学记数法表示为________________.
20241.358×10913.现有一把无刻度的直尺和四块完全一样的长方形纸片,已知纸片的长度是其宽度的2倍,将纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上,则根据图中给出的数据可知直尺的长度是________cm.
1514.在如图所示的三阶幻方中,填写了一些数、式子和汉字(其中每个式子或汉字都表示一个数),且每一横行,每一竖列,以及每条对角线上的3个数的和都相等.根据所给信息,完成下列问题:(1)x=______.
(2)“大美安徽”四个汉字表示的数的和为________.
-5大美安0-x+2x+1-9徽311
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.七年级学生乘坐汽车去春游,如果每辆汽车坐45人,则有5人没有上车;如果每辆汽车坐55人,则空出一辆汽车,并且有一辆车还可以坐10人,问七年级有多少名学生去春游?共派了多少辆汽车?解:设共派了x辆汽车.根据题意,得45x+5=55(x-1)-10,解得x=7,所以45x+5=45×7+5=320.答:七年级有320名学生去春游,共派了7辆汽车.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,为了方便学生停放自行车,学校建了一块长边靠墙的长方形停车场,其他三面用护栏围起,其中停车场的长为(3a+b)
m,宽比长少(a-2b)m.(1)用含a,b的代数式表示护栏的总长度.(2)若a=30,b=5,每米护栏造价80元,求建此停车场所需护栏的费用.解:(1)停车场的宽为3a+b-(a-2b)=(2a+3b)m,护栏的总长度为3a+b+2(2a+3b)=(7a+7b)m.(2)当a=30,b=5时,(7a+7b)×80=7×(30+5)×80=19
600(元),故建此停车场所需护栏的费用是19
600元.20.已知一条道路沿途有5个车站A,B,C,D,E,它们之间的距离如图所示.(1)求D,E两站之间的距离.(2)若a=8,点D为线段AE的中点,求b的值.解:(1)由线段的和差,得DE=CE-CD=(3a-b)-(2a-3b)=a+2b,
故D,E两站之间的距离是a+2b.(2)因为点D为线段AE的中点,所以AD=DE,所以a+b+2a-3b=a+2b,解得b=4.六、(本题满分12分)21.【观察思考】
如图,这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案,其中第1个图案有4个正方形;第2个图案有6个正方形;第3个图案有8个正方形……依此
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