【-学案导学设计】2020-2021学年高中人教B版数学选修2-1课时作业：3.1.1

第三章空间向量与立体几何§3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算课时目标1.理解空间向量的概念，把握空间向量的几何表示和字母表示.2.把握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义.3.把握数乘运算的定义和运算律．1．空间向量2．几类特殊向量(1)零向量：______________的向量叫做零向量，记为______．(2)单位向量：____________的向量称为单位向量．(3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．(4)相反向量：与向量a长度______而方向________的向量，称为a的相反向量，记为________．3．空间向量的加减法与运算律空间向量的加减法类似平面对量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝__________；eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝________.加法运算律(1)交换律：a＋b＝________(2)结合律：(a＋b)＋c＝____________.；4.空间向量的数乘运算(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积照旧是一个向量，记作________，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向________；当λ<0时，λa与向量a方向________；λa的长度是a的长度的________倍．(2)空间向量的数乘运算满足支配律与结合律．支配律：______________；结合律：______________.一、选择题1．下列命题中，假命题是()A.向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等2.如图所示，平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则下列等式成立的是()A.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))D.eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))3.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))=0，则eq\o(AO,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OB,\s\up6(→))B.eq\o(OC,\s\up6(→))C.D.24.已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|，则()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))同向D.与eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))同向5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式eq\o(DD1,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))化简后的结果是()A.eq\o(BD1,\s\up6(→))B.C.D.6．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点A.＋eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0B.－eq\o(GH,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0C.＋eq\o(GH,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0D.－eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0二、填空题7.在平行六面体ABCD－A’B’C’D’中，与向量的模相等的向量有________个．8.若G为△ABC内一点，且满足＋eq\o(BG,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝0，则G为△ABC的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)9．推断下列各命题的真假：①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；②两个有公共终点的向量，确定是共线向量；③有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为________．三、解答题10．推断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．11.如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点，请化简：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))，并标出化简结果的向量．力气提升12.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)bB.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)bD.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b13．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处相互平分．1．在把握向量加减法的同时，应首先把握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过把握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．留意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a－b表示的是由b的终点指向a的终点的一条有向线段．第三章空间向量与立体几何§3.1空间向量及其运算3．1.1空间向量的线性运算学问梳理1．(1)大小方向(2)大小模(3)①有向线段②eq\o(AB,\s\up6(→))2．(1)长度为00(2)模为1(3)相同相等(4)相等相反－a3.空间向量的加减法类似平面对量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b；eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－b.加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).4.(1)λa相同相反|λ|(2)λ(a＋b)＝λa＋λbλ(μa)＝(λμ)a作业设计1．D[共线的单位向量是相等向量或相反向量．]2．D[eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→)).]3．C[∵D为BC边中点，∴eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).]4．D[由|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(CB,\s\up6(→))|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边冲突，所以eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))同向．]5．A[如图所示，∵eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(DD,\s\up6(→))1－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(BA1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))1，∴eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→)).]6．A[观看平行六面体ABCD—A1B1C1D1可知，向量eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))，eq\o(PQ,\s\up6(→))平移后可以首尾相连，于是eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0.]7．7解析|eq\o(D'C',\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(C'D',\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(B'A',\s\up6(→))|＝|eq\o(A'B',\s\up6(→))|.8．重心解析如图，取BC的中点O，AC的中点D，连结OG、DG.由题意知eq\o(AG,\s\up6(→))＝－eq\o(BG,\s\up6(→))－eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝2eq\o(GO,\s\up6(→))，同理eq\o(BG,\s\up6(→))＝2eq\o(GD,\s\up6(→))，故G为△ABC的重心．9．3解析①假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；③假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．10．解①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不愿定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．11．解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点．∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).故所求向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))，如图所示．12．D[eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝a＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,3)(b－a)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.]13．证明如图所示，平行六面体ABCD—A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，则eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC',\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\