【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第7章-第3节-简单的线性规划问题

第七章第三节一、选择题1．(文)若2x＋4y<4，则点(x，y)必在()A．直线x＋y－2＝0的左下方 B．直线x＋y－2＝0的右上方C．直线x＋2y－2＝0的右上方 D．直线x＋2y－2＝0的左下方[答案]D[解析]∵2x＋4y≥2eq\r(2x＋2y)，由条件2x＋4y<4知，2eq\r(2x＋2y)<4，∴x＋2y<2，即x＋2y－2<0，故选D．(理)(2021·衡水模拟)已知点P(2，t)在不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－4≤0，,x＋y－3≤0，))表示的平面区域内，则点P(2，t)到直线3x＋4y＋10＝0距离的最大值为()A．2 B．4C．6 D．8[答案]B[解析]画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所示)．结合图形可知，点A到直线3x＋4y＋10＝0的距离最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,x＋y－3＝0))得A点坐标为(2,1)，故所求最大距离为dmax＝eq\f(|3×2＋4×1＋10|,\r(32＋42))＝4.2．在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为()A．95 B．91C．88 D．75[答案]B[解析]由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；y＝1时，0≤x≤13；y＝2时，0≤x≤12；y＝3时，0≤x≤10；y＝4时，0≤x≤9；y＝5时，0≤x≤7；y＝6时，0≤x≤6；y＝7时，0≤x≤4；y＝8时，0≤x≤3；y＝9时，0≤x≤1，y＝10时，x＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．3．(2022·唐山市二模)设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则2x＋y的最大值和最小值分别为()A．1，－1 B．2，－2C．1，－2 D．2，－1[答案]B[解析]不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域如图所示，作直线l0：2x＋y＝0，平移直线l0，当l0经过点(1,0)时，2x＋y取最大值2，当l0经过点(－1,0)时，2x＋y取最小值－2.4．(文)(2022·邯郸质检)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0,|x|－y－1≤0))，则z＝2x＋y的最大值为()A．4 B．6C．8 D．10[答案]C[解析]依题意，画出不等式组表示的平面区域及直线2x＋y＝0(图略)，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(3,2)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝2x＋y取得最大值，最大值是2×3＋2＝8，选C．(理)(2022·哈三中一模)若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1,x＋y－4≤0,x－3y＋4≤0))，则目标函数z＝3x－y的最小值为()A．－4 B．0C．eq\f(4,3) D．4[答案]B[解析]作出可行域如图，作直线l0：3x－y＝0，平移l0当经过可行域内的点A(1，eq\f(5,3))时，－z最大．从而z取最小值．∴zmin＝3×1－eq\f(5,3)＝eq\f(4,3).5．(文)设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤3，,x＋2y－2≥0，))所表示的平面区域为S，若A、B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为()A．2eq\r(5) B．eq\r(13)C．3 D．eq\r(5)[答案]B[解析]在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形观看不难得知，位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0)，因此|AB|的最大值是eq\r(13)，选B．(理)已知x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,y－x≥0，,x≥0.))目标函数z＝ax＋y只在点(1,1)处取最小值，则有()A．a>1 B．a>－1C．a<1 D．a<－1[答案]D[解析]作出可行域如图阴影部分所示．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.只在点(1,1)处z取得最小值，则斜率－a>1，故a<－1，故选D．6．(文)已知约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4≥0，,x＋2y－1≥0，,3x＋y－8≤0，))若目标函数z＝x＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为()A．0<a<eq\f(1,3) B．a≥eq\f(1,3)C．a>eq\f(1,3) D．0<a<eq\f(1,2)[答案]C[解析]作出可行域如图，∵目标函数z＝x＋ay恰好在点A(2,2)处取得最大值，故－eq\f(1,a)>－3，∴a>eq\f(1,3).(理)(2022·石家庄市二检)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥1，,y≤2x－1，,x＋y≤m.))假如目标函数z＝x－y的最小值为－2，则实数m的值为()A．0 B．2C．4 D．8[答案]D[解析]不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥1,y≤2x－1,x＋y≤m))表示的平面区域如图所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋y－m＝0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1＋m,3)，,y＝\f(2m－1,3).))作直线l0：x－y＝0，平移直线l0，当l0经过平面区域内的点(eq\f(1＋m,3)，eq\f(2m－1,3))时，z＝x－y取最小值－2，∴eq\f(1＋m,3)－eq\f(2m－1,3)＝－2，∴m＝8.二、填空题7．(文)(2022·海南六校联考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2≥0，,x＋2y－1≥0，,3x＋y－8≤0，))所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为________．[答案]－eq\f(1,3)[解析]画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2≥0,x＋2y－1≥0,3x＋y－8≤0))表示的平面区域如图所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0,3x＋y－8＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1)).∴当点M的坐标为(3，－1)时，直线OM的斜率取最小值－eq\f(1,3).(理)(2022·豫东、豫北十所名校段测)已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x＋y≤2,x≤－1))，则eq\f(x,y)的取值范围是________．[答案](－1，－eq\f(1,3)][解析]画出约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x＋y≤2,x≤－1))表示的平面区域如图所示．eq\f(y,x)表示平面区域内的点与原点连线的斜率的取值范围，eq\f(y,x)∈[－3，－1)，∴eq\f(x,y)∈(－1，－eq\f(1,3)]．[点评]数形结合思想在线性规划中的应用：线性规划问题的求解基本上是在图上完成的，留意图形要力求精确     规范．另外还要记住常见代数式的几何意义：(1)eq\r(x2＋y2)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)eq\r(x－a2＋y－b2)表示点(x，y)与点(a，b)的距离；(3)eq\f(y,x)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(4)eq\f(y－b,x－a)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率等．练习下列各题：①变量x、y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1.))(1)设z＝eq\f(y,x)，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．[分析]作出可行域，理清所求表达式的几何意义，数形结合求解．[解析]由约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1.))作出(x，y)的可行域如图所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,3x＋5y－25＝0，))，解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(22,5))).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－4y＋3＝0，))，解得C(1,1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))解得B(5,2)．(1)∵z＝eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0).∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观看图形可知zmin＝kOB＝eq\f(2,5).(3)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝eq\r(2)，dmax＝|OB|＝eq\r(29)，∴2≤z≤29.(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝eq\r(－3－52＋2－22)＝8.∴16≤z≤64.②设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≤0，,x≥0，,y≤4.))表示的平面区域为D，若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()A．(0,1) B．(1,2)C．[2,4] D．[2，＋∞)[答案]D[解析]作出可行区域，如图，由题可知点(2，a2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故a2≥4，∴a≥2或a≤－2，又a>0且a≠1，∴a≥2.③设实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1≥0，,2x－y－6≤0，,x＋y－k－2≥0，))且x2＋y2的最小值为m，当9≤m≤25时，实数k的取值范围是()A．(eq\r(17)－2,5) B．[eq\r(17)－2,5]C．(eq\r(17)－2,5] D．(0,5][答案]B[解析]不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x2＋y2的最小值m即为|OA|2，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0,x＋y－k－2＝0))，得A(eq\f(k＋3,2)，eq\f(k＋1,2))．由题知9≤(eq\f(k＋3,2))2＋(eq\f(k＋1,2))2≤25，解得eq\r(17)－2≤k≤5.④(2022·山东青岛一模)已知实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,4x＋3y≤4，,y≥0，))则w＝eq\f(y＋1,x)的最小值是()A．－2 B．2C．－1 D．1[答案]D[解析]画出可行域，如图所示．w＝eq\f(y＋1,x)表示可行域内的点(x，y)与定点P(0，－1)连线的斜率，观看图形可知PA的斜率最小为eq\f(－1－0,0－1)＝1，故选D．⑤(2022·安徽池州一中月考)设二元一次不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋8≥0，,2x＋y－14≤0，,x＋2y－19≥0))所表示的平面区域为M，使函数y＝ax2的图象过区域M的a的取值范围是()A．[eq\f(8,9)，eq\f(5,2)] B．[eq\f(5,2)，9]C．(－∞，9) D．[eq\f(8,9)，9][答案]D[解析]题中可行域M如图所示，y＝ax2经过可行域M，则a>0，分别计算出经过(3,8)，(1,9)点时a的值，则a1＝eq\f(8,9)，a2＝9，所以a的取值范围为[eq\f(8,9)，9]，故选D．8．(2022·北京西城一模)若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,y≥0，,2x＋y≤6，,x＋y≤a))表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是________．[答案](3,5)[解析]平面区域如图中的阴影部分，直线2x＋y＝6交x轴于点A(3,0)，交直线x＝1于点B(1,4)，当直线x＋y＝a与直线2x＋y＝6在线段AB(不包括线段端点)时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形．将点A的坐标代入直线x＋y＝a的方程得a＝3，将点B的坐标代入直线x＋y＝a的方程得a＝5，故实数a的取值范围是(3,5)．9．(2022·吉林市二检)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x,x＋y≤1,y≥－1))，则目标函数z＝2x－y的最大值为________．[答案]5[解析]不等式组表示的平面区域如图所示，作直线l0：2x－y＝0，平移直线l0，当l0经过平面区域内的点(2，－1)时，z取最大值5.[点评]应留意线性目标函数z＝ax＋by当b>0与b<0时最值的不同．设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥－1，,x＋y≥1，,3x－y≤3，))则目标函数z＝4x＋y的最大值为________．[答案]11[解析]如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z＝4x＋y在P(2,3)处取得最大值，最大值为11.三、解答题10．(文)某公司预备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？[解析]设稳健型投资x份，进取型投资y份，利润总额为z(单位：10万元，则目标函数为z＝x＋1.5y(单位：10万元)，线性约束条件为：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20x＋40y≤160，,30x＋30y≤180，,x≥0，y≥0x∈N，y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤8，,x＋y≤6，,x≥0，y≥0x∈N，y∈N，))作出可行域如图，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝8，,x＋y＝6，))得交点M(4,2)，作直线l0：x＋1.5y＝0，平移l0，当平移后的直线过点M时，z取最大值：zmax＝(4＋3)×10＝70万元．答：稳健型投资4份，进取型投资2份，才能使一年获利总额最多．(理)(2021·山东诸城一中月考)为保增长、促进展，某地方案投资甲、乙两个项目，依据市场调研，知甲项目每投资100万元需要配套电能2万千瓦时，可供应就业岗位24个，GDP增长260万元；乙项目每投资100万元需要配套电能4万千瓦时，可供应就业岗位36个，GDP增长200万元．已知该地为甲、乙两个项目最多可投资3000万元，配套电能100万千瓦时，若要求两个项目能供应的就业岗位不少于840个，问如何支配甲、乙两个项目的投资额，才能使GDP增长的最多．[解析]设甲项目投资x万元，乙项目投资y万元，增长的GDP为z万元，则投资甲、乙两个项目可增长GDP为z＝2.6x＋2y.依题意，知x、y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤3000，,0.02x＋0.04y≤100，,0.24x＋0.36y≥840，,x≥0，,y≥0，))则此不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．把z＝2.6x＋2y变形为y＝－1.3x＋0.5z，其在y轴上的截距为0.5z.由图可知当直线y＝－1.3x＋0.5z经过可行域上的点B时，其纵截距取得最大值，也即z取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3000，,0.24x＋0.36y＝840，))得x＝2000，y＝1000，即点B的坐标为(2000,1000)，故当甲项目投资2000万元，乙项目投资1000万元时，GDP增长得最多．一、选择题11．(文)设O为坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点N(x，y)满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,2x＋y－12≤0，,x≥1，))则使eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))取得最大值的点N的个数是()A．1 B．2C．3 D．很多个[答案]D[分析]点N(x，y)在不等式表示的平面区域之内，U＝eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))为x，y的一次表达式，则问题即是当点N在平面区域内变化时，求U取到最大值时，点N的个数．[解析]如图所示，可行域为图中阴影部分，而eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝2x＋y，所以目标函数为z＝2x＋y，作出直线l：2x＋y＝0，明显它与直线2x＋y－12＝0平行，平移直线l到直线2x＋y－12＝0的位置时目标函数取得最大值，故2x＋y－12＝0上介于1≤x≤eq\f(51,9)上全部点都能使目标函数取得最大值，故选D．(理)(2021·东北师大附中二模)O为坐标原点，点M的坐标为(1,1)，若点N(x，y)的坐标满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2≤4，,2x－y>0，,y>0，))则eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))的最大值为()A．eq\r(2) B．2eq\r(2)C．eq\r(3) D．2eq\r(3)[答案]B[解析]如图，点N在图中阴影部分区域内，当O，M，N共线，且|eq\o(ON,\s\up6(→))|＝2时，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))最大，此时N(eq\r(2)，eq\r(2))，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝(1,1)·(eq\r(2)，eq\r(2))＝2eq\r(2)，故选B．12．设实数x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－y－10≤0，,x－2y＋8≥0，,x≥0，y≥0，))若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值为()A．eq\f(25,6) B．eq\f(8,3)C．eq\f(11,3) D．4[答案]A[解析]由可行域可得，当x＝4，y＝6时，目标函数z＝ax＋by取得最大值，∴4a＋6b＝12，即eq\f(a,3)＋eq\f(b,2)＝1，∴eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝(eq\f(2,a)＋eq\f(3,b))·(eq\f(a,3)＋eq\f(b,2))＝eq\f(13,6)＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥eq\f(13,6)＋2＝eq\f(25,6)，故选A．13．(文)(2022·郑州市质检)设实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2,y－x≤2,y≥1))，则x2＋y2的取值范围是()A．[1,2] B．[1,4]C．[eq\r(2),2] D．[2,4][答案]B[解析]画出不等式组表示的平面区域如图所示，x2＋y2表示的几何意义为平面区域内的点到坐标原点距离的平方，∴x2＋y2∈[1,4]．(理)(2022·衡水中学五模)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－6≤0,x－y＋2≥0,x，y≥0))，若目标函数z＝ax＋by(a，b>0)的最大值是12，则a2＋b2的最小值是()A．eq\f(6,13) B．eq\f(36,5)C．eq\f(6,5) D．eq\f(36,13)[答案]D[解析]作出可行域如图，∵z＝ax＋by的最大值为12，a>0，b>0，∴当直线z＝ax＋by经过点A(4,6)时z取到最大值，∴4a＋6b＝12，∴2a＋3∵原点到直线2x＋3y＝6的距离d＝eq\f(6,\r(13))，∴a2＋b2的最小值为eq\f(36,13).14．(2021·湖北)某旅行社租用A、B两种型号的客车支配900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A．31200元 B．36000元C．36800元 D．38400元[答案]C[解析]设租A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(36x＋60y≥900,y－x≤7,y＋x≤21,x，y∈N))，画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z＝1600x＋2400y在点N(5,12)处取得最小值36800，故选C．二、填空题15．(2021·濮阳模拟)已知点A(2,0)，点P的坐标(x，y)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,4x＋5y≤25，,x－1≥0，))则|eq\o(OP,\s\up6(→))|·cos∠AOP(O为坐标原点)的最大值是________．[答案]5[解析]|eq\o(OP,\s\up6(→))|·cos∠AOP即为eq\o(OP,\s\up6(→))在eq\o(OA,\s\up6(→))上的投影，即求不等式组所表示的可行域中点的横坐标的最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y＝25，))可得交点的坐标为(5,2)，此时|eq\o(OP,\s\up6(→))|·cos∠AOP取值最大，∴|eq\o(OP,\s\up6(→))|·cos∠AOP的最大值为5.16．(文)(2021·淮南其次次联考)已知x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,y≥1，,x＋y≤3.))则目标函数z＝2x－y的最大值为________．[答案]3[解析]画出可行域如图，易知y＝2x－z过点C(2,1)时，zmax＝3.(理)(2022·湖北黄冈三月月考)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x－1，,x≤3，,x＋5y≥4，))则eq\f(x2,y)的最小值是________．[答案]4[解析]可行域如图所示，令eq\f(x2,y)＝k，所以y＝eq\f(x2,k).当k<0时抛物线的开口向下，不合条件．当k>0时，有两种可能状况：一是抛物线过点A(eq\f(3,2)，eq\f(1,2))或C(3,2)．所以eq\f(x2,y)的最小值是eq\f(9,2)；二是当抛物线y＝eq\f(x2,k)与直线x－y－1＝0(eq\f(3,2)<x<3)相切时，联立方程组消掉y得到x2－kx＋k＝0，∴Δ＝k2－4k＝0，∴k＝4，此时eq\f(x2,y)的最小值是4.综上可知eq\f(x2,y)的最小值是4.三、解答题17．(文)某玩具生产公司每天方案生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min，生产一个骑兵需7min，生产一个伞兵需4min，已知总生产时间不超过10h.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；(2)怎样支配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？[解析]