2025年人教版七年级数学寒假预习 第02讲 平行线的性质与判定

第02讲平行线的性质与判定模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.理解与掌握平行线的性质与判定定理；2.利用平行线的性质与判定定理求解.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD.【补充说明】1）平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件.2）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.平行公理的前提条件：经过直线外一点.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行.【拓展】1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行.2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.平行线的判定判定方法1判定方法2判定方法3两条直线平行的判定同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行图示符号语言∵∠1＝∠2∴AB∥CD∵∠1＝∠2∴AB∥CD∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD平行线的性质：性质1性质2性质3两条直线平行的性质两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补图示符号语言∵AB∥CD∴∠1＝∠2∵AB∥CD∴∠1＝∠2∵AB∥CD∴∠1+∠2=180°【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的.【总结】从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离.性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；2）平行线间的距离处处相等.考点一：平面内两直线的位置关系1．（24-25七年级上·全国·课后作业）在同一平面内有三条不同的直线QUOTE𝑎,𝑏,𝑐a,b,c，若QUOTE，则a与b的位置关系为（

）A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定2．（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线QUOTE𝑙1l1，QUOTE𝑙2l2，QUOTE𝑙3l3，QUOTE，若QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，…，依此类推，则QUOTE𝑙1l1与QUOTE𝑙12l12的位置关系是．（填“平行”或“垂直”）3．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）设a，b，l为平面内三条不同直线．①若QUOTE，QUOTE𝑙鈯l鈯，则l与b的位置关系是；②若QUOTE𝑙鈯l鈯，QUOTE𝑙鈯l鈯，则a与b的位置关系是；③若QUOTE，QUOTE𝑙鈭l鈭，则l与b的位置关系是．4．（22-23七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，直线QUOTE𝑎a与QUOTE𝑏b满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上．（1）若QUOTE𝑎a与QUOTE𝑏b没有公共点，则QUOTE𝑎a与QUOTE𝑏b；（2）若QUOTE𝑎a与QUOTE𝑏b有且只有一个公共点，则QUOTE𝑎a与QUOTE𝑏b；（3）若QUOTE𝑎a与QUOTE𝑏b有两个公共点，则QUOTE𝑎a与QUOTE𝑏b．考点二：用直尺、三角尺画平行线5．（23-24七年级下·四川成都·期末）下列各图中的直线QUOTE𝑎,𝑏a,b，用推三角尺的方法验证，其中QUOTE的有（填序号）．6．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）已知直线QUOTE𝑙l以及直线QUOTE𝑙l外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是；其依据是．7．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线QUOTE𝑎a和直线外一点QUOTE𝑃P，我们可以用直尺和三角尺，过点QUOTE𝑃P画已知直线QUOTE𝑎a的平行线QUOTE𝑏b．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点QUOTE𝑃P；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线QUOTE𝑏b；④用三角尺的一边紧贴住直线QUOTE𝑎a；正确的操作顺序是：．（填序号）

QUOTE𝑎考点三：平行公理推论的应用8．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）如图是一个可折叠的衣架，QUOTE𝐴𝐵AB是地平线，当QUOTE时，QUOTE；QUOTE时，QUOTE，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是9．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，它利用杠杆原理来称物体的质量，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．如图2，是杆秤的示意图，QUOTE𝐴𝐵鈭𝐷AB鈭D，QUOTE𝐴𝐵鈭𝑂AB鈭O，经测量发现QUOTE鈭?=106掳鈭?=106掳，则QUOTE的度数是度．10．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知直线QUOTE，将一块直角三角板QUOTE𝐴𝐵𝐶ABC按如图所示方式放置，若QUOTE鈭?=56掳鈭?=56掳，则QUOTE鈭?=鈭?=．11．（23-24七年级下·河南商丘·期中）如图是一款长臂折叠QUOTE𝐿𝐸𝐷LED护眼灯示意图，QUOTE𝐸𝐹EF与桌面QUOTE𝑀𝑁MN垂直，当发光的灯管QUOTE𝐴𝐵AB恰好与桌面QUOTE𝑀𝑁MN平行时，QUOTE，QUOTE，则QUOTE的度数为．

考点四：根据已知条件判定两直线能否平行12．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·推理论证如图所示，下列推理中正确的有（

）①QUOTE，QUOTE；②QUOTE，QUOTE；③QUOTE，QUOTE；④QUOTE，QUOTE．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，下列条件不能判定直线QUOTE的是（

）A．QUOTE B．QUOTEC．QUOTE D．QUOTE14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有以下四个条件：①QUOTE鈭燘+鈭燘𝐶𝐷=180掳鈭燘+鈭燘CD=180掳；②QUOTE；③QUOTE；④QUOTE．其中能判定QUOTE的序号是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④考点五：添加一个条件使两直线平行15．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）如图，B，D分别在QUOTE𝐴𝐹,𝐶𝐸AF,CE上，添加条件，即可判定QUOTE𝐴𝐷鈭𝐶AD鈭C．（写出一个即可）16．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知QUOTE鈭燛𝐵𝐹鈭燛BF，点QUOTE𝐴A，QUOTE𝐶C分别在射线QUOTE𝐵𝐸BE，QUOTE𝐵𝐹BF上，点QUOTE𝐷D为QUOTE鈭燛𝐵𝐹鈭燛BF内一点，连接QUOTE𝐴𝐷AD，QUOTE𝐶𝐷CD，不添加辅助线，请添加一个条件使得QUOTE𝐴𝐷鈭𝐹AD鈭F，则可添加为．（写出一个即可）QUOTE17．（23-24七年级下·北京·期中）如图，点E在QUOTE𝐷𝐶DC的延长线上，请添加一个恰当的条件，使QUOTE𝐴𝐵鈭𝐷AB鈭D．18．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，要使“直线QUOTE”，需要添加的条件是（只填一个即可）QUOTE考点六：证明两直线平行19．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若QUOTE鈭燗=114掳鈭燗=114掳，QUOTE鈭燙=135掳鈭燙=135掳，QUOTE鈭?=66掳鈭?=66掳，QUOTE鈭?=45掳鈭?=45掳，试说明QUOTE𝐴𝐷鈭𝐹AD鈭F．20．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，已知QUOTE𝐴𝐵鈯𝐶AB鈯C，QUOTE𝐶𝐷鈯𝐶CD鈯C，QUOTE，QUOTE𝐵𝐸BE与QUOTE𝐶𝐹CF平行吗？QUOTE𝐵𝐸鈭𝐹21．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，QUOTE𝐴𝐵鈭𝐷AB鈭D，QUOTE𝐴𝐵=𝐶𝐷AB=CD，点QUOTE𝐸E、QUOTE𝐹F在QUOTE𝐵𝐶BC上，且QUOTE𝐵𝐹=𝐶𝐸BF=CE．QUOTE𝐴𝐸AE与QUOTE𝐷𝐹DF平行吗？请说明理由．22．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图所示，已知QUOTE，QUOTE，试说明：QUOTE𝐴𝐵鈭𝐶AB鈭C．考点七：补全两直线的证明过程23．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形QUOTE𝐴𝐵𝐶ABC中，点QUOTE𝐸E在QUOTE𝐵𝐶BC上，QUOTE𝐶𝐷鈯𝐵CD鈯B于QUOTE𝐷D，QUOTE𝐸𝐺鈯𝐵EG鈯B于QUOTE𝐺G，QUOTE．求证：QUOTE鈭燚𝐹𝐶+鈭燜𝐶𝐵=180掳鈭燚FC+鈭燜CB=180掳．请将下列证明过程补充完整：证明：∵QUOTE𝐶𝐷鈯𝐵CD鈯B，QUOTE𝐸𝐺鈯𝐵EG鈯B，∴QUOTE鈭燘𝐺𝐸=90掳鈭燘GE=90掳，QUOTE（____________________）∴QUOTE鈭燘𝐺𝐸=鈭燘𝐷𝐶=90掳鈭燘GE=鈭燘DC=90掳∴QUOTE（____________________）∴QUOTE（____________________）∵QUOTE∴QUOTE鈭燜𝐷𝐶=鈭燜DC=__________∴QUOTE__________（____________________）∴QUOTE鈭燚𝐹𝐶+鈭燜𝐶𝐵=180掳鈭燚FC+鈭燜CB=180掳24．（21-22七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：如图，QUOTE，QUOTE鈭?+鈭燗𝐵𝐶=180掳鈭?+鈭燗BC=180掳，QUOTE𝐵𝐸BE平分QUOTE鈭燗𝐵𝐶鈭燗BC，试说明：QUOTE．解：因为QUOTE𝐵𝐸BE平分QUOTE鈭燗𝐵𝐶鈭燗BC，所以（

）

又因为QUOTE（已知），所以QUOTE（等量代换）．所以（

），所以QUOTE鈭燗+鈭燗𝐵𝐶=180掳鈭燗+鈭燗BC=180掳（

）．又因为QUOTE鈭?+鈭燗𝐵𝐶=180掳鈭?+鈭燗BC=180掳（已知），所以（

），所以QUOTE（

）25．（22-23七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：如图，已知直线a，b，c，d，e，且QUOTE，QUOTE，试说明：QUOTE𝑎鈭a鈭．解：因为QUOTE，所以QUOTE（

）又因为QUOTE，所以QUOTE（

）所以QUOTE（

）26．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知点QUOTE𝐸,𝐹E,F分别在QUOTE𝐴𝐵,𝐶𝐷AB,CD上，QUOTE𝐵𝐶BC交QUOTE𝐴𝐹AF于点G，交QUOTE𝐷𝐸DE于点QUOTE．(1)QUOTE𝐴𝐹AF与QUOTE𝐸𝐷ED平行吗？请说明理由．(2)试说明QUOTE．解：（1）QUOTE𝐴𝐹鈭𝐷AF鈭D．理由如下：因为QUOTE，（已知），QUOTE（_______），所以QUOTE_______（_______），所以_______QUOTE_______（_______）．（2）因为QUOTE𝐴𝐹鈭𝐷AF鈭D（已知），所以QUOTE_______（________）．又因为QUOTE，（已知）所以QUOTE______（_______）．所以_______QUOTE_______（_______），所以QUOTE（_______）．考点八：利用平行线的性质求解27．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，QUOTE，QUOTE鈭燗=105掳鈭燗=105掳，QUOTE鈭燙=120掳鈭燙=120掳，则QUOTE鈭?=鈭?=．28．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁QUOTE𝐷𝐸DE，使QUOTE𝐷𝐸鈭𝐶DE鈭C．如果QUOTE鈭燗𝐵𝐶=31掳鈭燗BC=31掳，QUOTE鈭燗𝐷𝐸=鈭燗DE=．29．（2024·江苏常州·一模）如图，直线QUOTE𝑎鈭a鈭，点A在直线a上，点C在直线b上，QUOTE𝐴𝐵鈯𝐶AB鈯C，若QUOTE鈭?=44掳鈭?=44掳，则QUOTE鈭?=鈭?=QUOTE掳掳．30．（22-23九年级下·吉林长春·自主招生）如图，直线QUOTE，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若QUOTE鈭?=24掳鈭?=24掳，则QUOTE等于度．考点九：利用平行线的性质解决实际生活问题31．（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道QUOTE𝐴𝐵AB和QUOTE𝐶𝐷CD，如果管道QUOTE𝐴𝐵AB与纵向联通管道的夹角QUOTE鈭燗=100掳鈭燗=100掳，那么管道QUOTE𝐶𝐷CD与纵向联通管道的夹角QUOTE的度数等于．32．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，QUOTE鈭?=58掳鈭?=58掳，则QUOTE的度数为．33．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时QUOTE，若此时QUOTE𝐶𝐷CD平行地面QUOTE𝐴𝐸AE，则QUOTE鈭燘𝐶𝐷=鈭燘CD=度．34．（23-24七年级下·广东清远·期中）为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成如图2的数学问题：已知QUOTE𝐴𝐵鈭𝐷AB鈭D，QUOTE鈭燛𝐴𝐵=79掳鈭燛AB=79掳，QUOTE．则QUOTE的度数为．35．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头QUOTE𝐴𝐵AB与支架QUOTE𝐶𝐷CD平行时可达到最佳照明角度，此时支架QUOTE𝐵𝐶BC与水平线QUOTE𝐵𝐸BE的夹角QUOTE，两支架QUOTE𝐵𝐶BC和QUOTE𝐶𝐷CD的夹角QUOTE．(1)求此时支架QUOTE𝐶𝐷CD与底座QUOTE𝑀𝑁MN的夹角QUOTE鈭燙𝐷𝑀鈭燙DM的度数；(2)求此时灯头QUOTE𝐴𝐵AB与水平线QUOTE𝐵𝐸BE的夹角QUOTE鈭燗𝐵𝐸鈭燗BE的度数．考点十：利用平行线间的距离解决问题36．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起．【问题思考】（1）如图1，QUOTE𝐴𝐷AD是QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC的中线，试判断：QUOTE_________QUOTE（请填“QUOTE>>”、“QUOTE<<”或“QUOTE==”）；（2）如图2，QUOTE，试判断：QUOTE_________QUOTE（请填“QUOTE>>”、“QUOTE<<”或“QUOTE==”）；【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线QUOTE𝐴𝐶AC，②作QUOTE交QUOTE𝐵𝐶BC的延长线于QUOTE𝐸E；③取QUOTE𝐵𝐸BE的中点QUOTE𝑀M，则直线QUOTE𝐴𝑀AM为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整：∵QUOTE𝐴𝐶鈭𝐸AC鈭E，∴QUOTE_________（由问题2的结论得）∴QUOTE_________，即QUOTE_________，∵QUOTE𝑀M是QUOTE𝐵𝐸BE的中点，∴QUOTE_________（由问题1的结论得）∴QUOTE𝐴𝑀AM平分QUOTE鈻矨𝐵𝐸鈻矨BE的面积，即QUOTE𝐴𝑀AM平分四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD的面积．【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线QUOTE𝐴𝐶AC和QUOTE𝐵𝐷BD；②取QUOTE𝐵𝐷BD的中点QUOTE𝑂O，③连接QUOTE𝑂𝐴OA、QUOTE𝑂𝐶OC；④过点QUOTE𝑂O作QUOTE𝐴𝐶AC的平行线与四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD的边QUOTE𝐶𝐷CD交点于QUOTE𝑃P，则直线QUOTE𝐴𝑃AP则为所求直线．请你独立尝试完成小悟同学的说理过程．37．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD中，QUOTE𝐴𝐷鈭𝐶AD鈭C，对角线QUOTE𝐴𝐶AC，QUOTE𝐵𝐷BD交于点O，若QUOTE鈻矨𝑂𝐵鈻矨OB的面积为8，求QUOTE鈻矯𝑂𝐷鈻矯OD的面积．

38．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线QUOTE，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．(1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有QUOTE________与QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC的面积相等．理由是____________________；(2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________．考点十一：利用平行线的性质与判定求角度39．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知QUOTE，QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度数．40．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知QUOTE，点E在直线QUOTE之间，连接QUOTE．【感知】如图1，若QUOTE，则QUOTE；【探究】如图2，猜想QUOTE和QUOTE之间的数量关系，并说明理由：【应用】如图3，若QUOTE𝐴𝐻AH平分QUOTE，将线段QUOTE𝐶𝐸CE沿QUOTE𝐶𝐷CD方向平移至QUOTE𝐹𝐺FG，若QUOTE，QUOTE𝐹𝐻FH平分QUOTE，求QUOTE的度数．41．（23-24七年级下·全国·单元测试）【阅读理解】如图①，已知点QUOTE𝐴A是QUOTE𝐵𝐶BC外一点，连接QUOTE，求QUOTE的度数．（1）请将下面推理过程补充完整；解：如图①，过点QUOTE𝐴A作QUOTE，则QUOTE________．因为________________________QUOTE，所以QUOTE．【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将QUOTE“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．【方法运用】（2）如图②，已知QUOTE，试说明：QUOTE．【深化拓展】（3）已知QUOTE，点QUOTE𝐶C在点QUOTE𝐷D的右侧，QUOTE，QUOTE𝐵𝐸BE平分QUOTE平分QUOTE交于点QUOTE𝐸E，点QUOTE𝐸E在QUOTE𝐴𝐵AB与QUOTE𝐶𝐷CD两条平行线之间．①如图③，若点QUOTE𝐵B在点QUOTE𝐴A的左侧，QUOTE，求QUOTE的度数．②如图④，若点QUOTE𝐵B在点QUOTE𝐴A的右侧，QUOTE，直接写出QUOTE的度数．考点十二：利用平行性的性质与判定证明42．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图，QUOTE，点E为两直线之间的一点．(1)如图1，若QUOTE，QUOTE，则QUOTE_______；(2)如图2，试说明，QUOTE；(3)如图3，若QUOTE的平分线与QUOTE的平分线相交于点F，判断QUOTE与QUOTE的数量关系，并说明理由．43．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，QUOTE，点B为QUOTE𝐶𝐷CD上一点，QUOTE．(1)如图1，求证：QUOTE；(2)如图2，点E为线段QUOTE𝐶𝑅CR上一点，QUOTE的角平分线与QUOTE的角平分线相交于点H，请直接写出QUOTE与QUOTE的数量关系，不必写出证明过程；(3)如图3，在（2）的条件下，连接QUOTE𝐵𝑅BR，且QUOTE𝐵𝑅BR平分QUOTE，延长QUOTE𝐵𝐸BE交QUOTE𝐴𝑅AR的延长线于点F，过点F作QUOTE交线段QUOTE𝐵𝐶BC于点G，QUOTE𝐹𝑃FP平分QUOTE交线段QUOTE𝐻𝐵HB的延长线于点P，若QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度数．44．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图1，已知QUOTE，求证：QUOTE鈭燗𝐸𝑃+鈭燙𝐹𝑃=鈭燛𝑃𝐹鈭燗EP+鈭燙FP=鈭燛PF；小明想到了以下方法，请帮助他完成证明过程：证明：(1)如图1，过点QUOTE𝑃P作QUOTE，则QUOTE___________．（

）QUOTE，QUOTE__________（

）QUOTE____________（

）又QUOTE，QUOTE．(2)如图2，QUOTE，请写出QUOTE鈭燗𝐸𝑃+鈭燛𝑃𝐹+鈭燩𝐹𝐶鈭燗EP+鈭燛PF+鈭燩FC的和并说明理由；(3)如图3，QUOTE，请直接写出图3中QUOTE的和．QUOTE1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，QUOTE鈭?=120掳,鈭?=45掳鈭?=120掳,鈭?=45掳，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（

）A．QUOTE15掳15掳 B．QUOTE30掳30掳 C．QUOTE45掳45掳 D．QUOTE60掳60掳2．（2024七年级上·全国·专题练习）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（

）A．QUOTE B．若QUOTE，则有QUOTEC．若QUOTE，则有QUOTE D．若QUOTE，必有QUOTE3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线QUOTE𝐴𝐵AB、QUOTE𝐶𝐷CD被直线QUOTE𝐸𝐹EF所截，QUOTE𝐹𝐺FG平分QUOTE交QUOTE𝐴𝐵AB于点QUOTE𝐺G．下列条件中，不能判定QUOTE的是（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知QUOTE，则图中所有平行的直线是（

）

A．QUOTE B．QUOTEC．QUOTE D．QUOTE，QUOTE5．（24-25七年级上·云南文山·期中）如图，QUOTE，QUOTE，QUOTE，则QUOTE的度数为（

）A．QUOTE34掳34掳 B．QUOTE56掳56掳 C．QUOTE66掳66掳 D．QUOTE54掳54掳6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，直线QUOTE，则QUOTE鈭?鈭?的度数为（

）A．QUOTE50掳50掳 B．QUOTE60掳60掳 C．QUOTE65掳65掳 D．QUOTE75掳75掳7．（2024七年级上·全国·专题练习）把一张长方形的纸条按如图所示那样折叠后，若得到QUOTE，则QUOTE的度数是（

）A．QUOTE70掳70掳 B．QUOTE C．QUOTE55掳55掳 D．无法确定8．（2024七年级上·全国·专题练习）有两个直角三角形纸板，一个含QUOTE45掳45掳角，另一个含QUOTE30掳30掳角，如图所示叠放，使QUOTE，QUOTE的度数为（

）A．QUOTE60掳60掳 B．QUOTE45掳45掳 C．QUOTE30掳30掳 D．QUOTE15掳15掳9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，QUOTE，QUOTE，则QUOTE伪伪、QUOTE尾尾、QUOTE纬纬的关系为（

）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE10．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线QUOTE，QUOTE，则QUOTE；②在同一平面内，若直线QUOTE，直线QUOTE𝑎a与QUOTE𝑐c相交，则直线QUOTE𝑏b与QUOTE𝑐c相交；③若直线QUOTE𝑎a与直线QUOTE𝑏b相交，直线QUOTE𝑏b与直线QUOTE𝑐c相交，则直线QUOTE𝑎a与直线QUOTE𝑐c相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是．（填序号）11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：QUOTE，QUOTE．是否能证明出QUOTE？．（填能或不能）12．（2024九年级上·河南安阳·学业考试）将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线QUOTE𝐴𝐵AB，过点F作直线QUOTE𝐶𝐷CD，且QUOTE．若QUOTE，则QUOTEQUOTE掳掳．13．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角QUOTE，则反射光线与平面镜夹角QUOTE鈭?鈭?的度数为14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点QUOTE分别在直线QUOTE上，且QUOTE，若在同一平面内存在一点O，使QUOTE，则QUOTE．15．（22-23七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，已知QUOTE，(1)求证：QUOTE；(2)求QUOTE．16．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线QUOTE𝐴𝐵AB上，QUOTE𝑂𝐶OC平分QUOTE平分QUOTE是QUOTE𝐷𝐸DE上一点，连接QUOTE𝑂𝐹OF．(1)判断QUOTE𝑂𝐶OC与QUOTE𝑂𝐷OD是否垂直，并说明理由；(2)若QUOTE鈭燚鈭燚与QUOTE鈭?鈭?互余，判断QUOTE𝐸𝐷ED与QUOTE𝐴𝐵AB是否平行，并说明理由．17．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，QUOTE，直线QUOTE𝑀𝑁MN与QUOTE𝐴𝐵AB交于点QUOTE𝐸E，与QUOTE𝐶𝐷CD交于点QUOTE𝐹F，过点QUOTE𝐸E作射线QUOTE，QUOTE，求QUOTE鈭?鈭?的度数．18．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，QUOTE，则QUOTE________；如图②，QUOTE，则QUOTE________，请你说明理由；（2）如图③，QUOTE，则QUOTE________；（3）利用上述结论解决问题：如图④，QUOTE，QUOTE和QUOTE的平分线相交于点F，QUOTE，求QUOTE的度数．

第02讲平行线的性质与判定模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.理解与掌握平行线的性质与判定定理；2.利用平行线的性质与判定定理求解.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD.【补充说明】1）平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件.2）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.平行公理的前提条件：经过直线外一点.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行.【拓展】1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行.2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.平行线的判定判定方法1判定方法2判定方法3两条直线平行的判定同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行图示符号语言∵∠1＝∠2∴AB∥CD∵∠1＝∠2∴AB∥CD∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD平行线的性质：性质1性质2性质3两条直线平行的性质两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补图示符号语言∵AB∥CD∴∠1＝∠2∵AB∥CD∴∠1＝∠2∵AB∥CD∴∠1+∠2=180°【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的.【总结】从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离.性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；2）平行线间的距离处处相等.考点一：平面内两直线的位置关系1．（24-25七年级上·全国·课后作业）在同一平面内有三条不同的直线QUOTEa,b,ca,b,c，若QUOTE，则a与b的位置关系为（

）A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定【答案】C【分析】本题主要考查垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题关键．根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出结果．【详解】QUOTE在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．QUOTEQUOTE，故选：C．2．（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线QUOTEl1l1，QUOTEl2l2，QUOTEl3l3，QUOTE，若QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，…，依此类推，则QUOTEl1l1与QUOTEl12l12的位置关系是．（填“平行”或“垂直”）【答案】平行【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知QUOTEl1l1与QUOTEl12l12的位置关系是平行．【详解】解：∵QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE…∴QUOTE，QUOTE，QUOTE…，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，故答案为∶平行．3．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）设a，b，l为平面内三条不同直线．①若QUOTE，QUOTEl鈯l鈯，则l与b的位置关系是；②若QUOTEl鈯l鈯，QUOTEl鈯l鈯，则a与b的位置关系是；③若QUOTE，QUOTEl鈭l鈭，则l与b的位置关系是．【答案】垂直平行平行【分析】本题考查平行线的判定．利用平行线的性质，可求解①；在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行可求解②；由平行于同一条直线的两条直线互相平行，可求解③．【详解】解：①如图，∵QUOTE，∴QUOTE鈭?=90掳鈭?=90掳，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，∴l与b的位置关系是垂直；②若QUOTE，QUOTE，则a与b的位置关系是平行；③若QUOTE，QUOTE，则l与b的位置关系是平行．故答案为：垂直；平行；平行．4．（22-23七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，直线QUOTEaa与QUOTEbb满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上．（1）若QUOTEaa与QUOTEbb没有公共点，则QUOTEaa与QUOTEbb；（2）若QUOTEaa与QUOTEbb有且只有一个公共点，则QUOTEaa与QUOTEbb；（3）若QUOTEaa与QUOTEbb有两个公共点，则QUOTEaa与QUOTEbb．【答案】互相平行相交重合考点二：用直尺、三角尺画平行线5．（23-24七年级下·四川成都·期末）下列各图中的直线QUOTEa,ba,b，用推三角尺的方法验证，其中QUOTE的有（填序号）．【答案】①②③【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定．【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中QUOTE的有①②③，故答案为：①②③．6．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）已知直线QUOTEll以及直线QUOTEll外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是；其依据是．【答案】经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行同位角相等，两直线平行【分析】本题考查的是画平行线，平行线的判定，根据画平行线的方法可得答案．【详解】解：直线QUOTEll以及直线QUOTEll外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；其依据是同位角相等，两直线平行；故答案为：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；同位角相等，两直线平行；7．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线QUOTEaa和直线外一点QUOTEPP，我们可以用直尺和三角尺，过点QUOTEPP画已知直线QUOTEaa的平行线QUOTEbb．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点QUOTEPP；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线QUOTEbb；④用三角尺的一边紧贴住直线QUOTEaa；正确的操作顺序是：．（填序号）

【答案】④②①③【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点QUOTEPP画已知直线QUOTEbb的平行线QUOTEaa的操作步骤”即可作答；【详解】解：正确的步骤是：④用三角尺的一边贴住直线a；②用直尺紧靠三角尺的另一边；①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；③沿三角尺的边作出直线b；故答案为：④②①③；考点三：平行公理推论的应用8．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）如图是一个可折叠的衣架，QUOTEABAB是地平线，当QUOTE时，QUOTE；QUOTE时，QUOTE，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键．【详解】解：∵QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴QUOTEPM鈭BPM鈭B，∵QUOTE，∴QUOTE，∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，∴点N，P，M在同一条直线上，故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．9．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，它利用杠杆原理来称物体的质量，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．如图2，是杆秤的示意图，QUOTEAB鈭DAB鈭D，QUOTEAB鈭OAB鈭O，经测量发现QUOTE鈭?=106掳鈭?=106掳，则QUOTE的度数是度．【答案】74【分析】本题考查邻补角的定义，平行公理的推论，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据邻补角的定义求出QUOTE鈭燨CD鈭燨CD，再根据平行公理的推论得出QUOTEEO鈭DEO鈭D，最后平行线的性质得到QUOTE，即可求解．【详解】解：∵QUOTE，∴QUOTE∵QUOTEAB鈭DAB鈭D，QUOTEAB鈭OAB鈭O，∴QUOTEEO鈭DEO鈭D∴QUOTE故答案为：74．10．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知直线QUOTE，将一块直角三角板QUOTEABCABC按如图所示方式放置，若QUOTE鈭?=56掳鈭?=56掳，则QUOTE鈭?=鈭?=．【答案】QUOTE34掳34掳/34度【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角的和差等相关知识，作QUOTE，则QUOTE，则QUOTE，然后根据平行线的性质和角度和差即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【详解】如图，作QUOTE，则QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE鈭燗BC=90掳鈭燗BC=90掳，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE鈭?=34掳鈭?=34掳，故答案为：QUOTE．11．（23-24七年级下·河南商丘·期中）如图是一款长臂折叠QUOTELEDLED护眼灯示意图，QUOTEEFEF与桌面QUOTEMNMN垂直，当发光的灯管QUOTEABAB恰好与桌面QUOTEMNMN平行时，QUOTE，QUOTE，则QUOTE的度数为．

【答案】QUOTE100掳100掳/100度【分析】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是过拐点构造平行线．过点QUOTEDD作QUOTEDH鈭CDH鈭C，过点QUOTEEE作QUOTEEG鈭NEG鈭N，根据平行线的性质和垂直的定义，进行求解即可．【详解】解：过点QUOTEDD作QUOTEDH鈭CDH鈭C，过点QUOTEEE作QUOTEEG鈭NEG鈭N，则QUOTEQUOTE,,

∴QUOTE,QUOTE,∵QUOTEEF鈯NEF鈯N，QUOTE鈭燚EF=130掳鈭燚EF=130掳，QUOTE鈭燘CD=120掳鈭燘CD=120掳，∴QUOTE鈭燙DH=60掳鈭燙DH=60掳，QUOTE，QUOTE鈭燚EG=鈭燚EF−鈭燝EF=40掳鈭燚EG=鈭燚EF−鈭燝EF=40掳，∵QUOTEDH鈭GDH鈭G，∴QUOTE，∴QUOTE，故答案为：QUOTE．考点四：根据已知条件判定两直线能否平行12．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·推理论证如图所示，下列推理中正确的有（

）①QUOTE，QUOTE；②QUOTE，QUOTE；③QUOTE，QUOTE；④QUOTE，QUOTE．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定可进行求解．【详解】解：①∵QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴QUOTEAD鈭CAD鈭C，故错误；②∵QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴QUOTEAB鈭DAB鈭D，故错误；③∵QUOTE，∴QUOTEAB鈭DAB鈭D，故错误；④∵QUOTE，QUOTE，故正确．故选：A．13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，下列条件不能判定直线QUOTE的是（

）A．QUOTE B．QUOTEC．QUOTE D．QUOTE【答案】A【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定条件是解题的关键．根据两直线平行同旁内角互补，同位角、内错角相等逐项判断即可．【详解】解：A、QUOTE和QUOTE不是同位角，也不是内错角，所以QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?不能判断QUOTE，故A选项符合题意；B、QUOTE和QUOTE是内错角，根据内错角相等，两直线平行，所以QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?能判断QUOTE，故B选项不符合题意；C、QUOTE和QUOTE是同旁内角，所以QUOTE能判断QUOTE，故C选项不符合题意；D、QUOTE和QUOTE是同位角，所以QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?能判断QUOTE，故D选项不符合题意；故选：A．14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有以下四个条件：①QUOTE鈭燘+鈭燘CD=180掳鈭燘+鈭燘CD=180掳；②QUOTE；③QUOTE；④QUOTE．其中能判定QUOTE的序号是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】此题考查了平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，弄清截线与被截线．根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．【详解】解：①∵QUOTE，∴QUOTE（同旁内角互补两直线平行）；②∵QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴QUOTE（内错角相等两直线平行）；③∵QUOTE，∴QUOTE（内错角相等两直线平行）；④∵QUOTE鈭燘=鈭?鈭燘=鈭?，∴QUOTE（同位角相等两直线平行）；∴能得到QUOTE的条件是①③④．故选：D．考点五：添加一个条件使两直线平行15．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）如图，B，D分别在QUOTEAF,CEAF,CE上，添加条件，即可判定QUOTEAD鈭CAD鈭C．（写出一个即可）【答案】QUOTE（答案不唯一）【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，即可求解．【详解】解：添加QUOTE，理由：∵QUOTE，∴QUOTEAD鈭CAD鈭C（同位角相等，两直线平行）．故答案为：QUOTE（答案不唯一）16．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知QUOTE鈭燛BF鈭燛BF，点QUOTEAA，QUOTECC分别在射线QUOTEBEBE，QUOTEBFBF上，点QUOTEDD为QUOTE鈭燛BF鈭燛BF内一点，连接QUOTEADAD，QUOTECDCD，不添加辅助线，请添加一个条件使得QUOTEAD鈭FAD鈭F，则可添加为．（写出一个即可）【答案】QUOTE（答案不唯一）【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论．【详解】解：添加QUOTE利用同位角相等，两直线平行判定QUOTEAD鈭FAD鈭F；添加QUOTE利用内错角相等，两直线平行判定QUOTEAD鈭FAD鈭F；添加QUOTE利用同旁内角互补，两直线平行判定QUOTEAD鈭FAD鈭F．故答案为：QUOTE(答案不唯一)·17．（23-24七年级下·北京·期中）如图，点E在QUOTEDCDC的延长线上，请添加一个恰当的条件，使QUOTEAB鈭DAB鈭D．【答案】QUOTE(答案不唯一)【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定求解作答即可．【详解】解：由题意知，∵QUOTE，∴QUOTEAB鈭DAB鈭D，故答案为：QUOTE（答案不唯一）．18．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，要使“直线QUOTE”，需要添加的条件是（只填一个即可）【答案】QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?（或QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?或QUOTE）【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．由平行线的判定，即可得到答案．【详解】解：要使直线QUOTE，则需要添加的条件可以为QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，也可以为QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，也可以为QUOTE，故答案为：QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?（或QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?或QUOTE）．考点六：证明两直线平行19．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若QUOTE鈭燗=114掳鈭燗=114掳，QUOTE鈭燙=135掳鈭燙=135掳，QUOTE鈭?=66掳鈭?=66掳，QUOTE鈭?=45掳鈭?=45掳，试说明QUOTEAD鈭FAD鈭F．【答案】见解析【分析】本题主要考查同旁内角互补、平行公理判断两直线平行，由QUOTE可得QUOTEAD鈭EAD鈭E，又由QUOTE可得QUOTE，则QUOTEAD鈭FAD鈭F．【详解】解：QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭?=66掳鈭?=66掳，QUOTE鈭?=45掳鈭?=45掳，QUOTE鈭粹垹A+鈭?=114掳+66掳=180掳鈭粹垹A+鈭?=114掳+66掳=180掳，QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，QUOTE．20．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，已知QUOTEAB鈯CAB鈯C，QUOTECD鈯CCD鈯C，QUOTE，QUOTEBEBE与QUOTECFCF平行吗？【答案】QUOTEBE鈭FBE鈭F，理由见解析【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，得到QUOTE是解题的关键．由QUOTEAB鈯CAB鈯C，QUOTECD鈯CCD鈯C得到QUOTE，继而QUOTE，即可求证．【详解】解：QUOTEBE鈭FBE鈭F，理由如下，证明，∵QUOTEAB鈯CAB鈯C，QUOTECD鈯CCD鈯C，∴QUOTE，∵QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴QUOTE，∴QUOTEBE鈭FBE鈭F．21．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，QUOTEAB鈭DAB鈭D，QUOTEAB=CDAB=CD，点QUOTEEE、QUOTEFF在QUOTEBCBC上，且QUOTEBF=CEBF=CE．QUOTEAEAE与QUOTEDFDF平行吗？请说明理由．【答案】QUOTEAE鈭FAE鈭F，理由见解析【分析】本题考查的知识点是平行线的性质与判定、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．先根据平行线的性质推得QUOTE，再推得QUOTEBE=CFBE=CF即可根据“边角边”证明QUOTE，根据全等三角形性质可得QUOTE，结合点QUOTEEE、QUOTEFF在QUOTEBCBC上，推得QUOTE即可证明QUOTEAE鈭FAE鈭F．【详解】解：QUOTEAE鈭FAE鈭F，理由如下：QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭礏F=CE鈭礏F=CE，QUOTE鈭碆F−EF=CE−EF鈭碆F−EF=CE−EF，即QUOTEBE=CFBE=CF，QUOTE在QUOTE鈻矨BE鈻矨BE和QUOTE鈻矰CF鈻矰CF中，QUOTEAB=CD??BE=??CFBE=CFAB=CD??BE=??CFBE=CFQUOTE，QUOTE，又点QUOTEEE、QUOTEFF在QUOTEBCBC上，QUOTE，即QUOTE，QUOTE．22．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图所示，已知QUOTE，QUOTE，试说明：QUOTEAB鈭CAB鈭C．【答案】证明见解析【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．利用QUOTE鈭燛=鈭?鈭燛=鈭?，QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，等量代换得出QUOTE鈭燛=鈭?鈭燛=鈭?，即可判定．【详解】证明：∵QUOTE鈭燛=鈭?鈭燛=鈭?，QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴QUOTE鈭燛=鈭?鈭燛=鈭?，∵QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴QUOTE鈭燛=鈭?鈭燛=鈭?，∴QUOTEAB鈭CAB鈭C（内错角相等，两直线平行）．考点七：补全两直线的证明过程23．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形QUOTEABCABC中，点QUOTEEE在QUOTEBCBC上，QUOTECD鈯BCD鈯B于QUOTEDD，QUOTEEG鈯BEG鈯B于QUOTEGG，QUOTE．求证：QUOTE鈭燚FC+鈭燜CB=180掳鈭燚FC+鈭燜CB=180掳．请将下列证明过程补充完整：证明：∵QUOTECD鈯BCD鈯B，QUOTEEG鈯BEG鈯B，∴QUOTE鈭燘GE=90掳鈭燘GE=90掳，QUOTE（____________________）∴QUOTE鈭燘GE=鈭燘DC=90掳鈭燘GE=鈭燘DC=90掳∴QUOTE（____________________）∴QUOTE（____________________）∵QUOTE∴QUOTE鈭燜DC=鈭燜DC=__________∴QUOTE__________（____________________）∴QUOTE鈭燚FC+鈭燜CB=180掳鈭燚FC+鈭燜CB=180掳【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；QUOTE鈭燘CD鈭燘CD；QUOTEBCBC；内错角相等，两直线平行【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据垂直的定义得QUOTE，推出QUOTE，根据平行线的性质得QUOTE，继而得到QUOTE，QUOTE，再根据平行线的性质即可得证．掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【详解】证明：∵QUOTECD鈯BCD鈯B，QUOTEEG鈯BEG鈯B，∴QUOTE鈭燘GE=90掳鈭燘GE=90掳，QUOTE，（垂直的定义）∴QUOTE，∴QUOTE，（同位角相等，两直线平行）∴QUOTE，（两直线平行，同位角相等）∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTEDF??CDF??C，（内错角相等，两直线平行）∴QUOTE．故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；QUOTE鈭燘CD鈭燘CD；QUOTEBCBC；内错角相等，两直线平行．24．（21-22七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：如图，QUOTE，QUOTE鈭?+鈭燗BC=180掳鈭?+鈭燗BC=180掳，QUOTEBEBE平分QUOTE鈭燗BC鈭燗BC，试说明：QUOTE．解：因为QUOTEBEBE平分QUOTE鈭燗BC鈭燗BC，所以（

）

又因为QUOTE（已知），所以QUOTE（等量代换）．所以（

），所以QUOTE鈭燗+鈭燗BC=180掳鈭燗+鈭燗BC=180掳（

）．又因为QUOTE鈭?+鈭燗BC=180掳鈭?+鈭燗BC=180掳（已知），所以（

），所以QUOTE（

）【答案】QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，角平分线的定义；QUOTE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；QUOTE鈭?=鈭燗鈭?=鈭燗；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，根据题意、结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可．【详解】解：因为QUOTEBEBE平分QUOTE鈭燗BC鈭燗BC，所以∠1=∠2（角平分线的定义），

又因为QUOTE鈭燛=鈭?鈭燛=鈭?（已知），所以QUOTE鈭燛=鈭?鈭燛=鈭?（等量代换）．所以QUOTE（内错角相等，两直线平行），所以QUOTE（两直线平行，同旁内角互补）．又因为QUOTE（已知），所以QUOTE鈭?=鈭燗鈭?=鈭燗（同角的补角相等），所以QUOTE（同位角相等，两直线平行），故答案为：QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，角平分线的定义；QUOTE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；QUOTE鈭?=鈭燗鈭?=鈭燗；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行．25．（22-23七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：如图，已知直线a，b，c，d，e，且QUOTE，QUOTE，试说明：QUOTEa鈭a鈭．解：因为QUOTE，所以QUOTE（

）又因为QUOTE，所以QUOTE（

）所以QUOTE（

）【答案】QUOTEa,ba,b；内错角相等，两直线平行；QUOTEb,cb,【分析】本题考查平行线的判定和性质以及平行公理．根据平行线的性质得出QUOTE，QUOTE，即可推出答案．【详解】解：∵QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴QUOTE(内错角相等，两直线平行)，∵QUOTE，∴QUOTE(同旁内角互补，两直线平行)，∴QUOTE(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，故答案为：QUOTEa,ba,b；内错角相等，两直线平行；QUOTEb,cb,26．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知点QUOTEE,FE,F分别在QUOTEAB,CDAB,CD上，QUOTEBCBC交QUOTEAFAF于点G，交QUOTEDEDE于点QUOTE．(1)QUOTEAFAF与QUOTEEDED平行吗？请说明理由．(2)试说明QUOTE．解：（1）QUOTEAF鈭DAF鈭D．理由如下：因为QUOTE，（已知），QUOTE（_______），所以QUOTE_______（_______），所以_______QUOTE_______（_______）．（2）因为QUOTEAF鈭DAF鈭D（已知），所以QUOTE_______（________）．又因为QUOTE，（已知）所以QUOTE______（_______）．所以_______QUOTE_______（_______），所以QUOTE（_______）．【答案】(1)QUOTEAF鈭DAF鈭D．理由见解析(2)见解析【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定．（1）首先根据对顶角相等得到QUOTE，然后等量代换根据同位角相等两直线平行证明即可；（2）首先得到QUOTE，推出QUOTE，然后证明出QUOTEAB鈭DAB鈭D，即可得到QUOTE鈭燘=鈭燙鈭燘=鈭燙．【详解】（1）解：（1）QUOTEAF鈭DAF鈭D．理由如下：因为QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?（已知），QUOTE（对顶角相等），所以QUOTE（等量代换），所以QUOTEAF鈭DAF鈭D（同位角相等，两直线平行）；（2）因为QUOTEAF鈭DAF鈭D（已知），所以QUOTE（两直线平行，同位角相等）．又因为QUOTE鈭燗=鈭燚鈭燗=鈭燚（已知），所以QUOTE（等量代换），所以QUOTEAB鈭DAB鈭D（内错角相等，两直线平行），所以QUOTE鈭燘=鈭燙鈭燘=鈭燙（两直线平行，内错角相等）．考点八：利用平行线的性质求解27．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，QUOTE，QUOTE鈭燗=105掳鈭燗=105掳，QUOTE鈭燙=120掳鈭燙=120掳，则QUOTE鈭?=鈭?=．【答案】QUOTE45掳45掳/QUOTE4545度【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角，先过点QUOTEEE作QUOTEEF鈭BEF鈭B，分别得QUOTE鈭?=75掳鈭?=75掳，QUOTE鈭?=60掳鈭?=60掳，再根据邻补角互补列式计算，即可作答．【详解】解：过点QUOTEEE作QUOTEEF鈭BEF鈭B，如图所示：∵QUOTEEF鈭BEF鈭B，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE鈭?=75掳鈭?=75掳，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE鈭?=60掳鈭?=60掳，∴QUOTE鈭?=180掳−鈭?−鈭?=45掳鈭?=180掳−鈭?−鈭?=45掳，故答案为：QUOTE．28．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁QUOTEDEDE，使QUOTEDE鈭CDE鈭C．如果QUOTE鈭燗BC=31掳鈭燗BC=31掳，QUOTE鈭燗DE=鈭燗DE=．【答案】QUOTE【分析】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，同位角相等．直接根据平行线的性质进行解答即可．【详解】解：QUOTEQUOTE鈭燗BC=31掳鈭燗BC=31掳，QUOTE，故答案为：QUOTE29．（2024·江苏常州·一模）如图，直线QUOTEa鈭a鈭，点A在直线a上，点C在直线b上，QUOTEAB鈯CAB鈯C，若QUOTE鈭?=44掳鈭?=44掳，则QUOTE鈭?=鈭?=QUOTE掳掳．【答案】46【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．过点B作射线QUOTEBD鈭BD鈭，再根据QUOTE，得出QUOTE，QUOTE，再根据QUOTEAB鈯CAB鈯C即可求解．【详解】解：过点B作射线QUOTEBD鈭BD鈭，如图所示，∵QUOTEBD鈭BD鈭，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTEBD鈭BD鈭，∴QUOTE，∵QUOTEAB鈯CAB鈯C，∴QUOTE，∵QUOTE鈭?=44掳鈭?=44掳，∴QUOTE．故答案为：46．30．（22-23九年级下·吉林长春·自主招生）如图，直线QUOTE，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若QUOTE鈭?=24掳鈭?=24掳，则QUOTE等于度．【答案】114【分析】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质得QUOTE,又QUOTE，即可得QUOTE.【详解】解：如图，∵QUOTE，∴QUOTE∵QUO