2025年人教版八年级数学寒假预习 第02讲 二次根式的乘除（4个知识点+6大考点举一反三+过关测试）

第02讲二次根式的乘除模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测1.掌握二次根式的乘法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；2.掌握二次根式的除法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；3．理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。知识点1：二次根式的乘法法则1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。知识点2：二次根式的乘法法则的逆用1.二次根式的乘法法则的逆用（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）2.二次根式的乘法法则的逆用的推广知识点3：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）2.二次根式的除法法则的推广a≥0，b＞0时，才有意义；a≥0，b＞0时，才有意义；如果被开方数时带分数，应先化成假分数知识点4：最简二次根式的概念

1.最简二次根式的概念被开方数不含分母被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.化简二次根式的一般方法方法举例将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方化去根号下的分母若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数若被开方数中含有小数，先将小数化成分数若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算(a＞0，b＞0，c＞0）被开方数时多项式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。考点一：二次根式的乘法例1.计算：20×5(3)48×12【变式1-1】计算∶(1)23×515；(2)2a【变式1-2】计算：(1)13×【变式1-2】计算：(1)217×【变式1-3】计算：(1)2a⋅8a；(2)考点二：二次根式的除法例2.化简：(1)179；(2)81×121144【变式2-1】计算：(1)186；(2)−12【变式2-1】计算：(1)72÷32；(2)−123÷【变式2-2】计算：(1)1255；(2)45÷210．(3)3ab考点三：二次根式的乘除混合运算例3.计算：5×2×2(3)xxy2【变式3-1】计算：27×50÷(3)323×【变式3-2】计算：(1)23334×考点四：最简二次根式的判断例4.下列选项中的式子，是最简二次根式的是（

）A．12 B．243 C．36m D．【变式4-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A．30 B．12 C．13 D．【变式4-2】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A．12 B．0.2 C．7 D．【变式4-3】请写出一个正整数m的值使得2m是最简二次根式，m=．考点五：化为最简二次根式,例5.化简32的结果是（

）A．52 B．42 C．32【变式5-1】将20化成最简二次根式为（）A．210 B．45 C．25【变式5-2】下列各组式子中，化简后被开方数相同的一组是（

）A．18与13 B．12与C．27与23 D．45与【变式5-3】将108化成最简二次根式的结果为．考点六：已知最简二次根式求参数例6.12与最简二次根式m+1是同类二次根式，则m=（

）A．2 B．3 C．6 D．11【变式6-1】若8和最简二次根式3m−7是同类二次根式，则m的值为（

）A．m=4 B．m=3 C．m=5 D．m=6【变式6-2】若最简二次根式a+2与3a−4是同类二次根式，则a=．【变式6-3】若27与最简二次根式1−a能合并成一项，则a=．一、单选题1．化简28×17A．2 B．5 C．6 D．32．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A．12 B．5 C．4 D．3．化简20的结果是（

）A．210 B．25 C．454．化简−42的结果为（A．2 B．2 C．4 D．−45．下列运算错误的是（

）A．−4×−9=6C．33×6二、填空题6．化简：−8=7．计算2228．计算：1239．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用，如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是140πcm，宽是35π

三、解答题10．计算：(1)312×−111．计算：(1)331212．计算：3x

第02讲二次根式的乘除模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测1.掌握二次根式的乘法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；2.掌握二次根式的除法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；3．理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。知识点1：二次根式的乘法法则1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。知识点2：二次根式的乘法法则的逆用1.二次根式的乘法法则的逆用（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）2.二次根式的乘法法则的逆用的推广知识点3：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）2.二次根式的除法法则的推广a≥0，b＞0时，才有意义；a≥0，b＞0时，才有意义；如果被开方数时带分数，应先化成假分数知识点4：最简二次根式的概念

1.最简二次根式的概念被开方数不含分母被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.化简二次根式的一般方法方法举例将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方化去根号下的分母若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数若被开方数中含有小数，先将小数化成分数若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算(a＞0，b＞0，c＞0）被开方数时多项式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。考点一：二次根式的乘法例1.计算：(1)20×5(3)48×12【答案】(1)10(2)12(3)24(4)3【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题关键．（1）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可；（2）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可（3）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可；（4）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可．【详解】（1）解：20×（2）解：8×（3）解：48×（4）解：6a【变式1-1】计算∶(1)23×515；(2)2a【答案】(1)30(2)2a(3)2【分析】本题考查二次根式的乘法：（1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；（2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；（3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；【详解】（1）解：原式=2×5×3×15（2）原式=2a（3）原式=2a3bc【变式1-2】计算：(1)13×【答案】(1)5(2)−135【分析】本题考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．（1）根据二次根式的乘法运算法则求解，结果要为最简；（2）根据二次根式的乘法运算法则求解，结果要为最简；【详解】（1）1===5；（2）5=5×(−3)×=−15×9=−135【变式1-2】计算：(1)217×【答案】(1)−4(2)5【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则进行化简是解决问题的关键．（1）根据二次根式的乘法法则计算即可求解；（2）根据二次根式的乘法法则计算即可求解．【详解】（1）2=2×=−6=−6×=−4；（2）15=2×=5【变式1-3】计算：(1)2a⋅8a；(2)【答案】(1)4a(2)63【分析】本题考查二次根式的乘法运算：（1）根据乘法法则进行计算即可；（2）利用乘法法则进行计算即可．【详解】（1）解：原式=2×8（2）原式====63．考点二：二次根式的除法例2.化简：(1)179；(2)81×121144【答案】(1)4(2)33(3)5b【分析】本题考查了二次根式乘的除法及二次根式的化简．（1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案；（3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．【详解】（1）解：原式=16（2）解：原式===33（3）解：原式==5b【变式2-1】计算：(1)186；(2)−12【答案】(1)3(2)−3(3)6【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可．【详解】（1）186（2）−1（3）63x【变式2-1】计算：(1)72÷32；(2)−123÷【答案】(1)4(2)−3(3)3a【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（2）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（3）根据二次根式的除法计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式=272÷3=2=46（2）解：原式=−=−=−=−32（3）解：原式=3ab÷===3a．【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．【变式2-2】计算：(1)1255；(2)45÷210．(3)3ab【答案】(1)5(2)2(3)3(4)6aa【分析】（1）根据二次根式的性质直接化简即可；（2）根据二次根式的除法运算法则直接化简即可；（3）根据二次根式的性质直接化简即可；（4）根据二次根式的除法运算法则直接化简即可．【详解】（1）解：125==＝5；（2）4==2=（3）原式==3（4）原式=2×==6aa【点睛】题目主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．考点三：二次根式的乘除混合运算例3.计算：(1)5×2×2(3)xxy2【答案】(1)2(2)−4(3)−(4)−【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键．（1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案；（2）直接根据二次根式乘法计算法则求解即可；（3）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案；（4）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案．【详解】（1）解：原式==4=2；（2）解：原式==−43（3）解：原式==−=−=−3（4）解：原式=−=−=−=−=−=−n【变式3-1】计算：(1)27×50÷(3)323×【答案】(1)15(2)20(3)−(4)4a【分析】本题考查了二次根式的混合运算（1）根据二次根式乘除法法则计算即可；（2）根据二次根式乘除法法则计算即可；（3）根据二次根式乘除法法则计算即可；（4）根据二次根式乘除法法则计算即可．【详解】（1）解：原式=3（2）原式=3×=2×600（3）原式3×(−1（4）原式=4a【变式3-2】计算：(1)23334×【答案】(1)−45(2)−(3)−3【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，（1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案．（2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．（3）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：2====−453（2）1====−2（3）6a=−3a=−3a=−3=−3=−3b考点四：最简二次根式的判断例4.下列选项中的式子，是最简二次根式的是（

）A．12 B．243 C．36m D．【答案】D【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】A、12B、243=9C、36m=6D、m2故选：D．【变式4-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A．30 B．12 C．13 D．【答案】A【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含有分母，且被开方数中不含开得尽方的因数或因式”进行判断即可．【详解】解：∵12=23，13∴30是最简二次根式，故选：A．【变式4-2】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A．12 B．0.2 C．7 D．【答案】C【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】解：A、12B、0.2=C、7是最简二次根式，符合题意；D、12=2故选：C【变式4-3】请写出一个正整数m的值使得2m是最简二次根式，m=．【答案】1【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，根据最简二次根式的定义可得m=1或m=3等，从而可得答案．【详解】解：∵2m是最简二次根式，m为正整数，∴正整数m的值可以为1或3等，故答案为：1（答案不唯一）．

考点五：化为最简二次根式,例5.化简32的结果是（

）A．52 B．42 C．32【答案】B【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质进行求解．【详解】解：32=故选B．【变式5-1】将20化成最简二次根式为（）A．210 B．45 C．25【答案】C【分析】本题主要考查了化简二次根式，直接根据二次根式的性质进行求解即可．【详解】解：20=故选：C．【变式5-2】下列各组式子中，化简后被开方数相同的一组是（

）A．18与13 B．12与C．27与23 D．45与【答案】C【分析】本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质，化简二次根式，进而即可得到答案．【详解】A．18=32，B．12=23，C．27=33，与D．45=35，故选C．【变式5-3】将108化成最简二次根式的结果为．【答案】6【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化为最简二次根式，即可求解．【详解】解：108=故答案为：63

考点六：已知最简二次根式求参数例6.12与最简二次根式m+1是同类二次根式，则m=（

）A．2 B．3 C．6 D．11【答案】A【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键．直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案．【详解】解：∵12=23与最简二次根式∴m+1=3，解得：m=2．故选：A．【变式6-1】若8和最简二次根式3m−7是同类二次根式，则m的值为（

）A．m=4 B．m=3 C．m=5 D．m=6【答案】B【分析】把8化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可．【详解】∵8=22，而最简二次根式3m−7与∴3m−7=2，解得：m=3；故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把8化成最简二次根式．【变式6-2】若最简二次根式a+2与3a−4是同类二次根式，则a=．【答案】3【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义可知a+2=3a−4，从而可求得a的值．【详解】解：∵最简二次根式a+2与3a−4是同类二次根式，∴a+2=3a−4，解得：a=3．故答案为：3【变式6-3】若27与最简二次根式1−a能合并成一项，则a=．【答案】-2【分析】先化简27，因为它与最简二次根式1−a能合并成一项，所以它们是同类二次根式，被开方数相同，列出方程即可得到a的值．【详解】解：∵27=33，它与最简二次根式∴1-a=3，∴a=-2，故答案为：-2．【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，牢记同类二次根式的概念是解题的关键．一、单选题1．化简28×17A．2 B．5 C．6 D．3【答案】A【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的乘法运算法则．利用二次根式的乘法进行计算即可得到答案．【详解】解：28×故选：A．2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A．12 B．5 C．4 D．【答案】B【分析】本题考查最简二次根式的判别．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数中不能含有分母；②被开方数不能含有开得尽的因数或因式．根据最简二次根式的定义，依次作出判断即可．【详解】解：A．12B．5是最简二次根式，故该选项正确；C．4被开方数含有开的尽的因数4，故该选项错误；D．0.8被开方数含有分母，故该选项错误．故选：B．3．化简20的结果是（

）A．210 B．25 C．45【答案】B【分析】本题考查化最简二次根式，掌握化最简二次根式的方法是解题关键．根据20=【详解】解：20=故选B．4．化简−42的结果为（A．2 B．2 C．4 D．−4【答案】C【分析】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式的乘法．根据乘方可得：−4【详解】解：−4故选：C．5．下列运算错误的是（

）A．−4×−9=6C．33×6【答案】A【分析】本题考查了二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的性质，根据二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的性质逐项判断即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】