《金版学案》2022届高考数学理科一轮复习课时作业-2-12变化率与导数的概念、导数的运算-

第十二节变化率与导数的概念、导数的运算题号123456答案1．设f(x)为可导函数，且满足limeq\o(,\s\up6(),\s\do4(x→0))eq\f(f（1）－f（1－2x）,2x)＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．－2解析：limeq\o(,\s\up6(),\s\do4(x→0))eq\f(f（1）－f（1－2x）,2x)＝limeq\o(,\s\up6(),\s\do4(x→0))eq\f(f（1－2x）－f（1）,－2x)＝－1，即y′|x＝1＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1.故选B.答案：B2．(2021·淄博模拟)已知函数f(x)＝ax2＋3x－2在点(2，f(2))处的切线斜率为7，则实数a的值为()A．－1B．1C．±1D．－2解析：f′(x)＝2ax＋3，依题意f′(2)＝7，即4a＋3＝7，得a＝1，故选B.答案：B3．已知物体的运动方程是s＝eq\f(1,3)t3－6t2＋32t(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是()A．2秒或4秒B．2秒或16秒C．8秒或16秒D．4秒或8秒解析：瞬时速度v＝s′＝t2－12t＋32，令v＝0可得t＝4或t＝8.故选D.答案：D4．(2021·日照重点中学诊断)若曲线f(x)＝eq\r(x)、g(x)＝xa在点P(1，1)处的切线分别为l1、l2，且l1⊥l2，则a的值为()A．－2B．2C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)解析：由题意可知，f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，g′(x)＝axa－1，∵l1、l2过点P(1，1)，∴kl1＝f′(1)＝eq\f(1,2)，kl2＝g′(1)＝a.又∵l1⊥l2，∴kl1·kl2＝eq\f(1,2)a＝－1，∴a＝－2.故选A.答案：A5．已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－alnx(a∈R)，若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，则a－b的值是()A．2－2ln2B．2＋2ln2C．－2－ln2D．－2＋ln2解析：由于f′(x)＝x－eq\f(a,x)(x＞0)，又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－aln2＝2＋b，,2－\f(a,2)＝1，))解得a＝2，b＝－2ln2.所以a－b＝2＋2ln2.故选B.答案：B6.若曲线y＝x2在点(a，a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a等于()A．2B．4C.eq\r(2)D.eq\r(3,4)解析：∵点(a，a2)在曲线y＝x2上，y′＝2x，∴切线的斜率为k＝y′|x＝a＝2a，切线方程为y－a2＝2a(x－a)．令x＝0，得y1＝－a2，令y＝0，得x1＝eq\f(a,2)，由面积关系得eq\f(1,2)|x1||y1|＝2，即eq\f(a3,4)＝2，解得a＝2.故选A.答案：A7．(2021·江西卷)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________．解析：设ex＝t，则x＝lnt(t>0)，∴f(t)＝lnt＋t∴f′(t)＝eq\f(1,t)＋1，∴f′(1)＝2.答案：28．在平面直角坐标系中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在其次象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为____________．解析：由y′＝3x2－10＝2⇒x＝±2，又点P在其次象限内，∴x＝－2，∴点P的坐标为(－2，15)．答案：(－2，15)9．已知函数f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))cosx＋sinx，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值为________．解析：由题意得f′(x)＝－f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))sinx＋cosx⇒f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))sineq\f(π,4)＋coseq\f(π,4)，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(\f(\r(2),2),1＋\f(\r(2),2))＝eq\r(2)－1.∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1))cosx＋sinx.∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1))coseq\f(π,4)＋sineq\f(π,4)＝1.答案：110．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．解析：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l⊥l1,l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－eq\f(1,4).∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)．∴直线l的方程为y＋4＝－eq\f(1,4)(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.11．设函数f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求y＝f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解析：(1)解析：方程7x－4y－12＝0可化为y＝eq\f(7,4)x－3，当x＝2时，y＝eq\f(1,2)；又f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝a＋eq\f(b,x2)，于是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3，))故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x－eq\f(3,x).(2)证明：设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，y0))为曲线上任一点，由y′＝1＋eq\f(3,x2)知曲线在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，y0))处的切线方程为y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,xeq\o\al(2,0))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－x0))，即y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,x0)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,xeq\o\al(2,0))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－x0))，令x＝0，得y＝－eq\f(6,x0)，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(6,x0))).令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0，2x0)).所以点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，y0))处的切线与直线x＝0