【名师一号】2020-2021学年人教A版高中数学选修2-1双基限时练22

双基限时练(二十二)1．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，则AC与平面DEF的位置关系是()A．平行 B．相交C．在平面内 D．不能确定解析如图所示，易知EF∥AC，又AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AC∥平面DEF.答案A2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线A．AC B．BDC．A1D D．A1解析如图，∵B1D1⊥CC1，B1D1⊥A1C1又CC1∩A1C1＝C1∴B1D1⊥平面AA1C1C，而CE⊂平面∴B1D1⊥CE.又B1D1∥BD，∴CE⊥BD.答案B3．平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2等于()A．2 B．0C．1 D．无意义解析∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝(1,2,1)－(0,1,1)＝(1,1,0)，eq\o(AC,\s\up16(→))＝(－1,0，－1)－(0,1,1)＝(－1，－1，－2)．又a＝(－1，y，z)为平面ABC的法向量，∴a⊥eq\o(AB,\s\up16(→))，a⊥eq\o(AC,\s\up16(→)).∴a·eq\o(AB,\s\up16(→))＝0，a·eq\o(AC,\s\up16(→))＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋y＝0，,1－y－2z＝0，))∴y＝1，y2＝1.答案C4．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，下列关系中能表示l∥α的是()A．a＝eq\o(OA,\s\up16(→)) B．a＝keq\o(OB,\s\up16(→))C．a＝peq\o(OA,\s\up16(→))＋keq\o(OB,\s\up16(→)) D．以上均不能解析A、B、C中均不能说明l⊄α，因此应选D.答案D5．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC＝eq\f(1,2)a，这时二面角B－AD－C的大小为()A．30° B．45°C．60° D．90°解析由于△ABC是边长为a的正三角形，AD⊥BC，折成二面角B－AD－C后，AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B－AD－C的平面角．又BC＝BD＝CD＝eq\f(1,2)a.所以△BCD为正三角形．∴∠BDC＝60°.答案C6．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,8)，则直线l与平面α的位置关系是________．解析∵a·n＝(－2)×4＋3×0＋8×1＝0，∴a⊥n，∴l⊂α，或l∥α.答案l⊂α或l∥α7．若平面α的一个法向量为n＝(3,3,0)，直线l的一个方向向量为a＝(1,1,1)，则l与α所成角的余弦值为________________．解析设l与α所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，a〉|＝eq\f(|n·a|,|n|·|a|)＝eq\f(3＋3,3\r(2)·\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，∴cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\f(\r(3),3).答案eq\f(\r(3),3)8．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则解析建立直角坐标系B－xyz如图所示，依题意得B1(0,0,3a)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，3a))，C(0，eq\r(2)a,0)．设E(eq\r(2)a,0，z)(0≤z≤3a)，则eq\o(CE,\s\up16(→))＝(eq\r(2)a，－eq\r(2)a，z)，eq\o(B1E,\s\up16(→))＝(eq\r(2)a,0，z－3a)．要使CE⊥平面B1DE，即B1E⊥CE，得eq\o(B1E,\s\up16(→))·eq\o(CE,\s\up16(→))＝2a2－0＋z2－3az＝0.解得z＝a或2a答案a或29．在正方体AC1中，O，M分别是DB1，D1C1证明：OM∥BC1.证明如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.设正方体的棱长为2，则O(1,1,1)，M(0,1,2)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，eq\o(OM,\s\up16(→))＝(－1,0,1)，eq\o(BC1,\s\up16(→))＝(－2,0,2)，∴eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC1,\s\up16(→))，∴eq\o(OM,\s\up16(→))∥eq\o(BC1,\s\up16(→)).又O∉平面B1BCC1，∴OM∥BC1.10．在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设AE＝BF＝x，∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．∴eq\o(A1F,\s\up16(→))＝(－x，a，－a)，eq\o(C1E,\s\up16(→))＝(a，x－a，－a)．∵eq\o(A1F,\s\up16(→))·eq\o(C1E,\s\up16(→))＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0.∴eq\o(A1F,\s\up16(→))⊥eq\o(C1E,\s\up16(→))，即A1F⊥C1E.11.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．求证：平面EFG∥平面AB证明设eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up16(→))＝c，则eq\o(EG,\s\up16(→))＝eq\o(ED1,\s\up16(→))＋eq\o(D1G,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1D1,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)a，而eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝a＋b，∴eq\o(AC,\s\up16(→))＝2eq\o(EG,\s\up16(→))，故eq\o(AC,\s\up16(→))∥eq\o(EG,\s\up16(→)).即EG∥AC.又eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\o(ED1,\s\up16(→))＋eq\o(D1F,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1D1,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1D,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c，而eq\o(B1C,\s\up16(→))＝eq\o(B1C1,\s\up16(→))＋eq\o(C1C,\s\up16(→))＝b－c＝2eq\o(EF,\s\up16(→))，∴eq\o(EF,\s\up16(→))∥eq\o(B1C,\s\up16(→))，即EF∥B1C.又EG∩EF＝E，AC∩B1C＝C∴平面EFG∥平面AB1C12.如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1证明因直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC2＋BC2＝AB2.所以AC⊥BC所以AC，BC，C1C两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x，y，zC(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(eq\f(3,2)，2,0)．设CB1与C1B的交点为E，连接DE则E(0,2,2)，因eq\o(DE,\s\up16(→))＝(－eq\f(3,2)，0,2)