信号与系统1电子课件

第1章信号与系统导论1.1信号的概念1.2基本信号1.3系统1.4信号与系统的基本问题和基本内容1.1信号的概念1.1.1信号的定义和描述广义来说，信号是对事物本身或其状态变化的一种描述，它承载了该事物的某种特性和信息。信号的具体形式通常是某种物理量，如光信号、电信号、声信号等，其中电信号是应用最广的信号形式。所谓电信号常常是指随时间变化的电压、电流和电磁波等。

在信号与系统学科中，信号被定义为一个自变量或多个自变量的函数

1.1.11.1.21.1.31.11.21.31.42025/1/142/731.1信号的概念实际信号举例1.1.11.1.21.1.31.11.21.31.4心电图实例雷达接收机的噪声鸟叫声爆破信号正弦信号图像－银河系2025/1/143/731.1信号的概念1.12信号的分类

对于具有不同特点的信号或函数，一般需要采用不同的分析方法。

连续时间信号和离散时间信号

信号自变量的取值是连续的，则称为连续时间信号，一般可记为x(t)自变量只能在离散的点上取值，则称为离散时间信号，可记为x[n]模拟信号和数字信号

自变量和函数值均连续的信号，称为模拟信号自变量和函数值均离散的信号，称为数字信号1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念离散信号源于两种应用情形。一种是事物本身或其状态变化需要用元素集合或序列的形式来描述。另一种情况是为了利用计算机进行信号处理，在离散的时间点上对连续时间信号抽取样值(这一过程称为抽样)，从而获得一个离散的时间信号。图1.3由连续时间正弦信号得到的离散时间正弦序列1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念周期信号和非周期信号

每隔一定时间，按相同规律重复变化的信号，即为周期信号连续时间周期信号满足：上式中最小的T值称为信号的最小周期，简称周期。离散时间周期信号满足：上式中最小的正整数N称为序列的最小周期，简称周期。

1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念注意的是这里定义的周期信号必须在(-∞,+∞)上满足不满足周期信号定义的均为非周期信号。由于实际应用中只能在有限的时间内观测和记录信号（常简称为时限信号），因此理论意义上讲都是非周期信号。当认为它们是周期信号时，是对观测或记录时段外的信号作了“假定”的延拓。

图1.4离散时间周期方波信号1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念能量信号和功率信号连续/离散时间信号能量

连续/离散时间信号平均功率能量信号：信号能量满足E<∞功率信号：信号平均功率满足P<∞1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念能量信号的典型例子是有限时长信号功率信号的典型例子是常见的周期信号周期信号平均功率计算可以简化为：上面的积分/求和为一个周期内的积分/求和注意：能量信号和功率信号并不是一种完备的分类存在一类信号既不是能量信号，也不是功率信号例如：1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念【例1-1】求下列信号的能量和功率：（1）图1.4所示的离散时间周期方波信号；（2）

解（1）周期信号的能量

E→∞；（2）

P→0（功率信号）（能量信号）1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念一维信号和多维信号信号值都是单个自变量的函数，称为一维信号。信号值是二个或多个自变量的函数，则称为二维或多维信号（灰度图像是典型的二维信号）。确定性信号和随机信号可以用一个确定的连续或离散函数进行描述的信号，称为确定信号。若某一时刻的信号取值是不确定的，至多能知道该时刻取某个值的可能性大小，称其为随机信号。本课程1-6章的讨论，主要针对连续时间和离散时间一维确定信号。1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念1.1.3信号的运算和独立变量变换将信号通过某种运算或者变换而产生新的信号，是信号处理的基本手段和基本目的之一。信号的基本运算信号相加、相差、数乘（乘以一个常数）和微分运算，分别对应函数的相应运算。连续信号积分运算1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念离散信号求和运算离散信号一阶差分运算（后向差分）（前向差分）（二阶后向差分）1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念【例1-2】已知离散时间信号x[n]如下，试求和解1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念常见的自变量变换连续信号平移

将信号x(t)中的自变量t换为t-t0，则信号x(t-t0)相对于x(t)构成了平移变换，简记为x(t)→x(t-t0)。

当t0>0时，x(t-t0)的波形是x(t)的右移，平移量为t0

当t0<0时，x(t-t0)的波形是x(t)的左移，平移量为|t0|

即左(移)加右(移)减1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念图1.6信号的平移1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念连续信号反转将信号x(t)中的自变量t换为-t，则信号x(-t)相对于x(t)构成了反转变换，简记为x(t)→x(-t)。

反转后信号波形与原信号波形关于纵轴对称。图1.7信号的反转1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念连续尺度变换（压扩变换）将信号x(t)中的自变量t换为at(t>0)，则信号x(at)相对于x(t)构成了尺度变换，简记为x(at)→

x(t)

。当a>1时，信号波形被压缩当a<1时，信号波形被扩展图1.8信号的尺度变换1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念离散时间信号对于平移和反转变换，只要将上述叙述中

t的换为

n，则成为对离散时间序列平移和反转变换的表述。由于离散信号自变量

n必须取整数，因此直接压扩变换无意义，必须另做定义，即所谓的序列的抽取和内插。

1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念【例1-6】信号x[n]如图1.9(a)所示，画出信号x[n-3]和x[-n]。解平移信号x[n-3]如图1.9(b)所示，时间反转信号x[-n]如图1.9(c)所示。图1.9离散信号的平移和反转1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念在问题分析中，常会遇到上述三种变换的组合，即x(t)→x(at-t0)

，下面通过例子说明。【例1-7】x(t)和x[n]如下图所示，试分别绘出x(2t-1)和x[-n+1]的波形图。图1.10例1-7题图1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.1信号的概念【解】首先求x(t)→x(t-1),x[n]→x[n+1]的波形变换，如下图(a)(b)所示。然后求x(t-1)→x(2t-1),x[n+1]→x[-n+1],如图(c)(d)所示。先作平移变换后作压扩和反转变换图1.11例1-7求解1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.21.2基本信号1.2.1正弦信号连续时间正弦信号A为振幅，ω为连续时间角频率，为初相位。则ω、频率f、最小周期T之间的关系为连续时间正弦信号的最高频率理论上为无穷大

1.2.11.2.21.2.31.11.21.31.2.41.2.51.41.2基本信号图1.12连续时间正弦信号(f=2Hz,A=2,

=

/4)图1.13连续时间正弦信号的频率高低与变化快慢（

1<2<3）1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号离散时间正弦信号其中A、Ω、φ分别称为正弦序列的振幅、角频率和初相位。正弦序列可以视为以固定的间隔Ts对连续时间信号进行的采样，即离散时间角频率Ω和连续时间角频率ω有如下关系1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号正弦信号为周期信号的条件连续时间正弦信号

cosωt

一定是周期信号离散时间正弦信号

cosΩn

不一定是周期信号假设N是

cosΩn

的最小周期，则要求只有当2π/Ω为有理数时，才存在整数N使得上式成立正弦序列为周期信号的充分必要条件是2π/Ω为有理数最小周期为比值2π/Ω的分子(N，k为整数)1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号【例1-8】判定下列正弦序列是否为周期信号；对周期信号求其最小周期。

(1) (2)(3) (4)

【解】(1)Ω=5/6

，为非周期信号。(2)Ω=5π/6

为周期信号；N=2kπ/Ω=

k·12/5

=

12

(k=5)。

(3)周期信号和非周期信号的和为非周期信号。(4)第一项的周期为N1=12，第二项的周期为N2=24，整个序列的最小周期为两者的最小公倍数，即N=24。

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号正弦序列的角频率和频率离散时间角频率的大小也表示了信号变化的快慢离散时间正弦序列的最高角频率为Ω=π图1.14不同角频率时的离散时间正弦序列1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号1.2.2指数信号连续时间实指数信号当

a>0时是指数增长信号，当a<0时是指数衰减信号。常用的是单边指数衰减信号1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号指数函数和正弦函数的乘积构成指数增长或衰减的振荡波形，很多实际系统在特定的条件下会呈现指数衰减振荡，例如RLC振荡电路。图1.16(a)指数增长振荡信号;(b)指数衰减振荡信号

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号离散时间实指数信号（C，a为实数）图1.17实指数序列1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号复指数信号前面的指数信号的表达式中，a取复数，则称为复指数信号。ejωt和ejΩn是复指数信号的特例上述信号由正弦信号构成，显然是周期信号，前面关于正弦信号的讨论，也适用于ejωt和ejΩn

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号1.2.3单位阶跃信号连续时间单位阶跃信号图1.18单位阶跃函数图1.19方波函数1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号【例1-9】(1)求单位阶跃函数的积分。(2)求图1.19所示的方波函数的积分。【解】(1)当t>0时，当t<0时积分为0，即

r(t)的波形如图1.20(a)，常称为斜坡函数。图1.20(a)阶跃函数的积分;(b)方波函数的积分1.41.11.21.31.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号

(2)由(1)知，第一项积分为第二项积分为

(t>T)[因为t<T时,u(t-T)=0](t>T)[变量代换：令λ=t-T]

所以

r1(t)=tu(t)-(t-T)u(t-T)

r1(t)的波形如图1.20(b)所示

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号离散时间单位阶跃函数

图1.21单位阶跃序列图1.22方波序列1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号【例1-10】(1)求单位阶跃序列的求和序列。(2)求图1.22所示方波序列的求和序列。【解】(1)，即。

注意斜坡序列应该是。(2)由方波序列与阶跃序列的关系易知

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号1.2.4单位冲激信号离散时间单位冲激函数单位阶跃序列和单位冲激序列的关系1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号【例1-11】试用冲激序列表示图1.22所示的方波序列。【解】按照类似的思路可以得到δ[n]和u[n]求和关系的另一种表达式

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号连续时间单位冲激函数

与横坐标围成面积恒为1的窄脉冲δΔ(t)，脉冲宽度趋于0

窄脉冲δΔ(t)与横坐标围成的面积（即δ(t)前面的系数）称为冲激强度（注意不是函数值）图1.25(a)窄脉冲;(b)单位冲激函数狄拉克定义1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号单位冲激函数和单位阶跃函数的关系u(t)和δ(t)构成如下的积分关系图1.26(a)t<0时冲激函数的积分示意;(b)t>0时冲激函数的积分示意1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号u(t)和δ(t)构成微分关系考察图1.27中阶跃函数的逼近函数uΔ(t)和其导数函数δΔ(t)

不难理解当时，,，因此图1.27(a)阶跃函数的逼近uΔ(t);(b)uΔ(t)的微分1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号【例1-12】若将横轴上t=0的左极限点记为，右极限点记为，计算下列各式的值。

(1)

(2)(3)(4)(5)【解】根据的几何意义和狄拉克定义可知：

(1)

(2)(3)(4)(5)1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号【例1-13】化简下列表达式。

(1)(2)【解】(1)参见图1.26，δ(τ-t0)出现在τ=t0处，因此当积分限t<t0时，积分值为0，当积分限t>t0时积分值为1，因此有

(2)g(t)是后面经常用到的幅度为、宽度为的典型方波信号。对上式两边求导可得

因此1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号

由上面的例子可以看到：冲激函数可以方便地表示函数在不连续点处的导数。一个阶跃幅度为A的正向跳变，求导后产生一个冲激强度为A的正向冲激；一个阶跃幅度为A的负向跳变，求导后产生一个冲激强度为A的负向冲激。

图1.28方波函数及其导数1.41.11.21.31.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号单位冲激函数的性质性质1.x(t)有界，在t=0处连续，且x(0)≠0，则有性质2.筛选性质性质3.偶函数性质性质4.尺度变换性质*1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号【例1-14】化简和计算下列各式。

(1)(2)(3)【解】(1)原式=(2)原式=

(3)原式=1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号单位冲激函数的导数及其性质*

尽管

δ(t)是奇异函数，它的导函数仍然是可定义的、存在的。为了理解

δ(t)的导数，考察图1.31。图(a)上图所示的三角形窄脉冲与横轴围成的面积恒为1，当Δ→0时，SΔ(t)→δ(t)。δ(t)的导数定义为Δ→0时的SΔ(t)的导数，即图1.31(a)三角窄脉冲及其导数;(b)单位冲激函数及其导数

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号性质1.奇函数性质性质2.的积分为0，即性质3.

x(t)有界，在t=0处连续，且x(0)≠0，则有性质4*.x(t)有界，在t=0处连续，则有1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号*【例1-16】计算的值。

【解】令，则，[积分上下限交换变号][性质3][首先将δ函数自变量进行变换]1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2基本信号1.2.5采样函数采样函数是表示信号或系统特性时常用的函数，其定义为图1.32采样函数曲线1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.3系统1.3.1系统的基本概念

系统一般可定义为由若干个互相依赖的事物组成的具有特定功能的整体。

在信号与系统分析中只要描述系统的数学方程或输入输出关系相同，都视为相同的系统

图1.33系统模型：(a)SISO;(b)MIMO;(c)SIMO;(d)MISO1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.31.3系统连续时间系统

输入和输出信号及系统内部信号均为连续时间信号，则称为连续时间系统。离散时间系统

输入和输出信号及系统内部信号均为离散时间序列，则称为离散时间系统。

混合系统

输入和输出信号及系统内部信号不全是连续时间信号或不全是离散时间信号，则称为混合系统

图1.36连续时间系统和离散时间系统1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.31.3系统系统的互联图1.37系统互联1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.31.3系统系统的响应

系统的输出通常是由两个因素产生的：一是系统在外部信号的作用下产生输出，二是由于系统内部储存能量的释放而产生输出。前者称为零状态响应(zero-stateresponse)，记为yzs；后者称为零输入响应(zero-inputresponse)，记为yzi。系统完全响应为两者之和，即

系统输入输出的关系，通常可以用一个关系式来表达1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.31.3系统1.3.2系统特性及LTI系统无记忆性和记忆性如果一个系统在任一时刻的输出值仅取决于该时刻的系统输入值，与该时刻以前或以后的输入值无关，则该系统具有无记忆性或称之为无记忆系统。否则，该系统具有记忆性或称之为有记忆系统。客观自然界中存在的有记忆系统，其特点是任一时刻的输出值不仅与该时刻的输入值有关，而且与该时刻以前的输入值有关。由于离散时间系统的数据是可以存储在计算机中的，变量n并不一定表示当前的实际时间，因此可以出现系统在n时刻的输出值与“将来时刻”(n时刻以后)的输入值有关，这类系统也是有记忆系统。1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.31.3系统【例1-17】试判定下列系统是有记忆系统还是无记忆系统。(1)(2)【解】(1)由于y(1)=x(1/2)，即t=1时刻的输出与t=1以前时刻（t=1/2）的输入有关，因此该系统是有记忆系统。(2)该系统的输出是输入信号的导数。仅仅根据t

时刻的函数值，并不能确定函数在t

时刻的导数，因为函数在t时刻的导数与时刻以前的函数取值密切相关，即因此微分器是一个有记忆系统。1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.31.3系统因果性和非因果性如果系统在任一时刻的输出值只取决于该时刻和该时刻以前的输入，而与该时刻以后的输入无关，则称该系统具有因果性或称之为因果系统。否则称该系统为非因果系统。因果性体现的是现实世界中时间顺序上的因果关系，即必须是“有因（输入）在前，有果（输出）在后”。若自变量是时间，则非因果系统是不可实现的或不存在的。延迟系统是因果系统前向差分系统是非因果系统1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.31.3系统【例1-18】试判定下列系统是否是因果系统。(1)y(t)=x(t/2)(2)y(t)=x(2t)【解】(1)该系统是对输入信号进行横轴方向扩展，因此输出信号可能早于输入信号出现，例如

y(-1)=x(-1/2)，即t=-1时刻的输出与以后时刻(t=-1/2)的输入有关，因此是非因果系统。(2)该系统是对输入信号进行横轴方向压缩，同样输出信号可能早于输入信号出现，例如

y(1)=x(2)，即t=1时刻的输出与以后时刻(t=2)的输入有关，因此是非因果系统。

时域压扩系统都是非因果系统

1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.31.3系统稳定性若对任何有界的输入信号，系统输出总是有界的，即BIBO（BoundedInputBoundedOutput），则该系统是稳定的或称之为稳定系统。否则称为不稳定系统。求和系统是一个不稳定的系统积分系统是一个不稳定的系统1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.31.3系统可逆性如果根据系统的输出可以唯一确定系统的输入，则该系统是可逆的或称为可逆系统。否则称为不可逆系统。从数学上讲，如果通过输入输出之间的函数关系y=f(x)可以确定一个唯一的反函数y=f-1(x)，则该系统一定是可逆的。例如积分器是一个可逆系统，其逆系统为微分器一般情况下，微分器不是一个可逆系统。因为输入x(t)为任意常数时，输出信号均为y(t)=0，无法根据此时的输出唯一确定系统输入。1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.31.3系统【例1-19】试判定下列系统是否是可逆系统；如果可逆，求其逆系统。(1) (2)【解】(1)原式两边求导得 因此逆系统为(2)仔细分析系统对输入信号的处理，逆向操作可得，逆系统为1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.31.3系统时不变性如果系统的参数不随时间发生变化（或系统不对输入信号进行时间压扩和反转变换），则该系统将具有时不变性，称之为时不变系统，否则称为时变系统。对于时不变系统而言，无论输入信号是在何时接入系统的，系统的输入输出关系都将维持不变。设x(t)→y(t)，若系统满足x(t-t0)→y(t-t0)则称该系统为连续时间时不变系统。

对于离散时不变系统，则有x[n-n0]→y[n-n0]1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.31.3系统【例1-20】

判定下列系统是否是时不变系统。(1)y(t)=x(t/2)(2)y(t)=x(t)sin2πt(3)y[n]=x[-n]【解】(1)当输入信号为x(t-t0)时，其时间轴方向的扩展信号为x(t/2-t0)，而由原关系式知道y(t-t0)

=x((t-t0)/2)，两者不相等，因此是时变系统。(2)将该系统的功能理解为“系统输出等于系统输入与sin2πt的乘积”，那么该系统是时变系统，因为在此理解下有(3)按照输入输出关系，该系统的输出是输入信号的时域反转信号，因此当输入为x[n-N]时，输出为x[-n-N]。由于因此该系统是时变系统。

1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.31.3系统线性设x1(t)→y1(t)，x2(t)→y2(t)，如果系统同时满足如下的比例性和叠加性：比例性：cx1(t)→cy1(t)

(c为任意常数)叠加性：x1(t)+x2(t)→y1(t)

+y2(t)则该系统是线性的或称之为线性系统。线性通常采样下列等价表述ax1(t)+bx2(t)→ay1(t)

+by2(t)(a,b为任意常数)对于离散线性系统，则有ax1[n]+bx2[n]→ay1[n]

+by2[n](a,b为任意常数)由比例性可以推知线性系统的一个重要性质是零输入产生零输出。显然这是线性系统的必要条件。1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.31.3系统【例1-21】试判定下列系统是否是线性系统。(1)

(2)

(3)

【解】(1)若x1(t)→y1(t)=x12(t),x2(t)→y2(t)=x22(t),则因此该系统是非线性系统。(2)假设

x(t)(x(t)>0)→y1(t)≠0，而-x(t)(-x(t)<0)→y2(t)=0≠-y1(t)，即不满足比例性，因此是非线性系统。(3)当x[n]=0时y[n]=2，违背了线性系统的“零输入零输出”必要条件，因此该系统并不是这里定义的线性系统。1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.31.3系统LTI系统及其性质若一个系统同时满足线性和时不变性，则称该系统为线性时不变系统，简称LTI（LinearTime-Invariant）系统。

性质1.微