数值分析-课件-第07章非线性方程求根培训资料

数值分析NumericalAnalysis机械与汽车工程学院主讲人：孔胜利kongsl@2012-09-01数值分析第7章非线性方程求根求根的基本问题及分析方法

迭代法Newton法弦截法与抛物线法数值分析7.1求根的基本问题及分析方法

方程的求根大致包括3个基本问题：根的存在性

方程有没有根？有的话，有几个？根的隔离

求出几个互不相交的区间，使每个区间中只有一个根。根的精确化

在求出精度不高的近似根的基础上，逐步将根精确化，直到满足预先要求的精度为止。基本方法：分析法搜索法二分法数值分析求根的基本问题及分析方法

例对之根进行隔离。解显然，，由得驻点。因故分别为极大值和极小值。从而内各有一个实根。由y=f(x)的草图可以直观地看到这点。又显然有因而，三个根的更好的隔离区间为y=f(x)

的草图数值分析求根的基本问题及分析方法

2、搜索法如果我们判定方程f(x)=0的某一个根的大致范围，则可用搜索法加以缩小，使根进一步精确化。设，且，则可判定。不妨设，且。我们从左端开始，按预先选定的步长h，一步一步地向右边走，每走一步检查一下终点的函数值是否取正号。如果，则表明根。如果精度不够，可将看成[a,b]再次进行搜索，并从左端点开始向右搜索，直到满足精度为止。在具体实施中，步长的选择是个关键，步长较小时精度高，但搜索次数增加。数值分析求根的基本问题及分析方法

例题试求方程的唯一正根，要求误差不超过0.1。解从x=0开始，取步长h=1,则有故根。再去h=0.2，因，故根从而取近似根为2.1，即即可满足精度要求。注意：搜索法的实施是很灵活的，哪怕没有给出根的存在范围，也可进行搜索。数值分析求根的基本问题及分析方法

3、二分法把搜索的步长取为含有根区间[a,b]的1/2，便得到二分法。例题用二分法将在（2,3）内的根精确到小数点后第二位。解kakbkxkf(xk)的符号0232.5+122.52.25+222.252.215+322.1252.0625-42.06252.1252.09375-52.093752.1252.109375+62.093752.1093752.1015625+72.093752.10156252.09765625数值分析求解方程的问题，可将方程变形写成的形式。显然，前者的根必满足后者，即。反之亦然。这表明：求方程的根，可转化为求方程的根。为此，可选定某个初值，按迭代格式进行迭代运算。（*）称为求方程之根的迭代格式。在中，称为函数的一个不动点。从而，求方程之根，即求函数的零点，又等价于求迭代函数的不动点。7.2迭代法

数值分析例题1 求方程在0.4附近的有五位有效数字的近似根。解 将方程变形为则迭代格式为取初始值为0.4，可算得各次近似根为

数值分析

收敛迭代格式的建立例题求方程在1.5附近的近似值。解将方程变为，建立迭代格式前者是收敛的，后者是发散的。后者与前者的最大不同点在于后者的导数，而前者的。这表明：迭代格式的收敛性，与迭代函数的导数的大小有关。数值分析

定理设迭代函数，且满足（1）任给，总有（2）存在正数q<1，使则对于任意初值，当时，迭代格式所得的数列收敛于[a,b]内唯一的实根，并有估计式注意：定理中在函数的整个定义区间上满足的条件是相当苛刻的，实际应用中局部收敛即可。数值分析

例题求方程的一个正根，精度为10-3。迭代格式的收敛速度迭代加速公式数值分析7.3Newton法Newton迭代法的基本思想将曲线的问题转化为直线来解决，即将非线性方程转化为线性方程来求解。Newton迭代格式由于它是基于切线方程而得到的，因而也叫切线法。数值分析例题 用Newton法求方程在0.5附近的根。解 因为，故迭代格式为取初值，经迭代演算，得到前四次的近似根为数值分析Newton法的应用对于给定的正数C，应用Newton法解二次方程因为故得求的近似值的迭代格式例题计算解凡是迭代算法，初值的选取都会影响到收敛速度。取，利用上面的迭代格式计算4次的结果为数值分析习题应用牛顿法于方程，导出求立方根的迭代公式。数值分析简化Newton法迭代公式为Newton下山法迭代公式为数值分析7.4弦割法与抛物线法Newton法具有收敛快的优点，但也有要计算导数的缺点，这对求导比较麻烦的函数，牛顿迭代格式用起来是不方便的。为避开计算导数，取2个初值点，过作割线，则得到割线的斜率为一般地，用割线的斜率代替牛顿法中切线的斜率，即用则得新的迭代格式用（*）式求近似根称为双点弦割法。数值分析

在用双点弦割法中计算次近似值时，要用到前面两点的信息，公式启动时要提供两个初值。单步迭代法和多步迭代法凡是计算次近似只用到前面一点的信息的迭代法称为单步迭代法，而要用到前面两点或两点以上的信息的迭代法则称为多步迭代法。有时为了简化双步迭代法，可用固定的点代替得迭代格式如下所示，称为单点弦割法数值分析

习题用双点弦割法计算在附近的根。根的精确值要求计算结果有四位有效数字。计算时取。数值分析

抛物线法设已知方程的三个近似根，我们以这三点为节点构造二次插值多项式，并适当选取的一个零点作为新的近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。基本思想是用抛物线与x轴的交点作为所求根的近似值。数值分析

插值多项式有两个零点：式中注意：根式前正负号的取舍