《画法几何与机械制图》课件第02章

第2章点、直线、平面的投影2.1投影法基础2.2点的投影2.3直线的投影2.4平面的投影2.5直线与平面、平面与平面之间的相对位置

2.1投 影 法 基 础

2.1.1中心投影法

中心投影法是由投射中心(△ABC)、物体和投影面组成的投影方法，如图2-1所示。图2-1中心投影法2.1.2平行投影法

若将投射中心S按指定的方向移到无穷远处，则所有的投射线可看做是互相平行的，这种投射线互相平行的投影法称为平行投影法(如图2-2所示)。(a)斜投影法(b)正投影法

图2-2平行投影法

2.2点的投影

2.2.1投影面体系

如图2-3所示，作空间点A的正投影，只要作过A点到投影面P的垂线，得到垂足a即为点A在投影面P上的正投影。图2-3点的一个投影不能唯一确定空间点的位置由两个互相垂直的投影面构成的两投影面体系，可以反映空间点的三个坐标，即可用两投影面体系来确定空间立体的位置。(a)四个分角的划分(b)第一分角图2-4两投影面体系虽然在两投影面体系中已经能够确定空间点的位置，但是对于立体来说，为了更清晰地表达其形状结构，也常将立体放置在三个互相垂直的投影面体系中，画出立体的三面投影。这个三投影面体系将空间划分为八个分角，如图2-5(a)所示。图2-5(b)是三投影面体系中的第一分角。(a)八个分角的划分(b)第一分角图2-5三投影面体系2.2.2点在两投影面体系中的投影

如图2-6(a)所示，将点A置于两投影面体系第一分角中，过点A分别向V面和H面作垂线(投射线)，得垂足a' 和a。a' 为点A的正面投影；a为点A的水平投影(在投影法中规定：用大写字母表示空间的点，用对应的小写字母加一撇和小写字母表示该点的正面投影和水平投影)。实际作图时需要将互相垂直的V面和H面展开，方法是：V面保持不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，使H面与V面共面，如图2-6(b)所示。点的投影只取决于点在投影面中的位置，与投影面的大小无关。在实际作图时，可只画出投影轴，不画投影面边框，也不必标出aX，点A的两面投影图如图2-6(c)所示。(a)立体图(b)投影面展开图(c)投影图

图2-6点的两面投影2.2.3点在三投影面体系中的投影

图2-7(a)表示空间点A在三投影面体系第一分角中的情况。如果将三个投影面看做空间直角坐标系中的三个坐标面，则三条互相垂直的投影轴即为直角坐标系中的三根坐

标轴。

(a)立体图(b)投影面展开图(c)投影图

图2-7点的三面投影

1．点的投影与坐标的关系

2.点的投影规律

【例2-1】如图2-8所示，已知点A的两面投影a' 和a"，求a。(a)已知条件(b)作图结果图2-8由点的两面投影求第三投影

【解】分析：由点的投影规律(1)可知，a应位于过a‘ 的垂线上；由点的投影规律(3)及其推论可知，点a应位于过a“ 的垂线与斜线的交点所作的水平线上，这条水平线与过a’的垂线的交点即为所求a。

作图步骤如下：

(1)过a‘ 作垂线。

(2)作过a” 的垂线与斜线的交点，并过交点作水平线。

(3)过a' 的垂线与水平线的交点为所求a。

【例2-2】如图2-9所示，已知点A距离H、V、W面分别为13、12、10，画出其三面投影。图2-9已知点到投影面的距离求点的投影

【解】该题可以根据所给的A点到三个投影面的距离直接作图，也可将A点到三个投影面的距离转换为A点的三个坐标A(10，12，13)来求解。具体作图步骤如下：

(1)在OX、OY、OZ轴上分别量取X= 10、Y= 12、Z= 13。

(2)过量取的各点作相应轴线的垂线。

(3)各垂线的交点即为所求的点A的三面投影a、a' 和a"。2.2.4投影面和投影轴上的点

空间点相对于投影面体系的特殊位置，是位于投影面和投影轴上。如图2-10所示，点B在V面上，点C在H面上，点D在OX轴上。(a)立体图(b)投影图图2-10投影面和投影轴上的点2.2.5两点的相对位置

我们作如下约定：OX轴为左右方向，OY轴为前后方向，OZ轴为上下方向。如图2-11(a)所示，相对于A点而言，B点在A点之右、之后、之下。它们之间在三个方向的相对位置应为它们的坐标差：左右方向为XA－XB；前后方向为YA－YB；上下方向为ZA－ZB，即A、B两点与W面、V

面和H面的距离差，这样就确定了两点的相对位置，如图2-11(b)所示。因此，若已知两点的相对位置及其中一点的投影即可作出另一点的投影。图2-11两点的相对位置

【例2-3】如图2-12(a)所示，已知点A的三面投影a、a‘、a“，B点在A之左10mm、之前5mm、之上8mm；作

出B点的三面投影。

【解】具体作图步骤如下：

(1)如图2-12(b)所示，可以根据B点在A点之左10mm、之上8mm，作出B点的正面投影b’；再根据B点在A点之前5mm作出B点的水平投影b。

(2)如图2-12(c)所示，据b‘ 和b，作出B点的侧面投

影b"。(a)已知条件(b)作出b' 和b(c)作出b"，完成作图图2-12利用两点的相对位置求点的投影2.2.6重影点

如图2-13(a)所示，点C在点A的正后方YA－YC处，点

C与点A无左右距离差(XA－XC=0)，也无上下距离差(ZA-ZC

=0)，因此A与C的正面投影重合为一点，我们称A点与C点为对正面投影(或对正面)的重影点。同理，若两点处在正上、正下的位置，这时两点在H面的投影重合，称这两点为对水平面的重影点；若两点处在正左、正右的位置，这时两点在W面的投影重合，称这两点为对侧面的重影点。

(a)立体图(b)投影图图2-13重影点

【例2-4】如图2-14(a)所示，(1)已知点A与点B为对H面的重影点，B距A为5mm，求b‘、b“；(2)已知点C与点A为对W面的重影点，C在A之左10mm，求C的三面投影c、c’、c”。

【解】(1)求b'、b"。因为点A与点B为对H面的重影点，从图2-14(a)的水平投影b(a)可知，只有B点在A点的正上方时，才产生B点的水平投影b遮住A点的水平投影a的情况，根据已知条件“B距A为5mm”可知，B点应该在A点的正上方5mm，由此可作出b点的正面投影b'；再根据点的投影规律，作出B点的侧面投影b"(图2-14(b))，完成作图。(a)已知条件(b)求b'、b"(c)求c'、c"及作图结果

图2-14利用重影点求点的投影

(2)求c、c'、c"。如图2-14(c)所示，因为点C与点A为对W面的重影点、C在A之左，所以侧面投影中，C、A两点重影，且据“左遮右”，侧面投影中，c" 可见，a" 不可见，从而可确定c"；根据“C在A之左10mm”，在正面投影中a' 正左方10mm处得到c'；再根据点的投影规律，可作出C点的水平投影c，完成作图。

2.3直

线

的

投

影

2.3.1直线的分类和投影特性

1．直线对单一投影面的投影特性

直线相对于单一投影面(以H面为例)有三种位置：

(1)直线平行于投影面：

(2)直线垂直于投影面：

(3)直线倾斜于投影面：(a)平行(b)垂直(c)倾斜图2-15直线对单一投影面的三种位置及投影特性

2．直线在三投影面体系中的分类及投影特性

1)投影面垂直线

投影面垂直线指垂直于一个投影面，与另外两个投影面平行的直线。按照直线垂直于哪一个投影面，可将投影面垂直线分为

当直线垂直于投影面时，倾角为90°；当直线平行于投影面时，倾角为0°。

表2-1给出了投影面垂直线的投影特性。

2)投影面平行线

投影面平行线指平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线。按照直线平行于哪一个投影面，可将投影面平行线分为

表2-2给出了投影面平行线的投影特性。

3)一般位置直线

一般位置直线∠H面、∠V面、∠W面，投影图上不能反映该直线的实长及对投影面H、V、W的倾角

、

、

的真实大小(见图2-16(a))。

一般位置直线的投影特性如图2-16(b)所示。(a)立体图(b)投影图

图2-16一般位置直线2.3.2直角三角形法

如图2-17(a)所示，AB为一般位置直线，ab为水平投影，a‘b’ 为正面投影。在平面AabB中，作AB0∥ab，构成直角三角形ABB0。在直角三角形ABB0中，直角边AB0=ab，BB0=Bb－Aa=ZB－ZA(B、A两点的Z坐标差)；斜边AB即为

实长。实长AB与水平投影ab的夹角为AB与H面的倾角

。如图2-17(b)所示，已知直线AB的水平投影ab和正面投影a‘b’，可在H面上利用水平投影ab作出直角三角形，求出实长AB和

；也可如图2-17(c)所示，在正面投影中利用两点的Z坐标差ZB－ZA，作出直角三角形，求得实长AB和

。(a)立体图(b)解法一(c)解法二图2-17直角三角形法求线段实长同理，我们也可以正面投影长a'b' 或侧面投影长a"b" 为一直角边，以Y坐标差或X坐标差为另一直角边构成直角三角形，求得实长AB和倾角 

或 

。在图2-18所示的每个直角三角形中，包含着四个要素：投影长、坐标差、实长和倾角。只要知道其中两个要素，即可求出另两个要素。图中

X、

Y、

Z分别表示两点在X轴、Y轴和Z轴的坐标差。(a)求实长和

(b)求实长和

(c)求实长和

图2-18直角三角形法中四个要素关系图

【例2-5】如图2-19(a)所示，已知EF=30mm，且F点在E点的上方，试用直角三角形法求出正面投影e‘f ’。

【解】本例是确定f ‘ 的问题，只要能够得到正面投影长e’f ‘ 或Z坐标差(

Z=Ze－Zf)，即可确定f ’。由已知

条件可知，用直角三角形法解题有三个条件：EF实长

30mm，水平投影长ef和Y坐标差

Y=Ye－Yf，因此可以用

图2-18(a)、(b)所示的直角三角形解题。图2-19(b)、(c)分别给出了两种解题方法。

解法一：如图2-19(b)所示，在H面上以ef为底边，根据EF=30mm，作出直角三角形，求出Z坐标差；在正面投影中，根据ΔZ求得f ‘，连接e’f'即可。

解法二：如图2-19(c)所示，在H面上以ΔY为直角边，根据EF=30mm，作出直角三角形，求出e'f ' 的实长；在正面投影中，根据e'f ' 的实长求得f '，连接e'f ' 即可。

(a)已知条件(b)解法一(c)解法二图2-19用直角三角形法求e'f ' 2.3.3直线上点的投影

(1)如果点在直线上，则点的投影在直线的同面投影上。

在图2-20(a)中，因为点D是线段AB上的一点，所以点D的正面投影d'必在a'b'上，点D的H面投影d必在ab上。同理，点D的侧面投影d" 必在AB的侧面投影a"b"

上(图中未给出)。

(2)不垂直于投影面的直线上的点，分割直线之比在投影前后保持不变(定比定理)。

由图2-20(a)可知，在平面AabB上，Aa∥Dd∥Bb，因此AD : DB=ad : db=a'd' : d'b' =a"d" : d"b" (在侧面投影上)。图2-20(b)为投影图。(a)立体图(b)投影图图2-20直线上的点

【例2-6】如图2-21(a)所示，已知直线AB的两面投影，试在直线上求出一点C，使AC : CB=2 : 3，C点用两面投影c、c‘ 表示。并知D点也在AB上,距离V面为7mm，求出D点的两面投影d和d’。

【解】如图2-21(b)所示，如果AC : CB = 2 : 3，则ac : cb = a'c' : c'b' = 2 : 3。只要将AB分成5等份，再根据比例关系即可求出C点的水平投影c和正面投影c'。如图2-21(c)所示，因为D点距离V面为7mm，所以d应在OX轴下方距离为7mm的水平直线上(实为一平面)，由d求得d'。作图求点C(见图2-21(b))：

(1)由a(或b)任作一直线aB0。

(2)在aB0上以适当长度取5等份,得等分点1、2、3、4、5。

(3)连b5，自2作直线平行于b5，此直线与ab的交点即为c点。

(4)由c求得c‘，c及c’ 即为所求。

作图求点D(见图2-21(c))：

(1)在OX轴下方作一条相距OX轴7mm且平行于OX轴的直线，此直线与ab的交点即为D点的水平投影d。

(2)由d作OX轴的垂线，在a'b' 上得到其正面投影d'，d及d' 即为所求。(a)原题(b)求点C的两面投影(c)求点D的两面投影图2-21求点C和点D的两面投影

【例2-7】如图2-22(a)所示，试判断点K是否在直线AB上。

【解】图中AB是一条侧平线，在这种情况下，虽然K点的正面投影和水平投影似乎都在AB的同面投影上，但还不足以说明K一定在直线AB上(也可能是直线与线外一点构成的一个垂直于H、V的平面)，这时可用两种方法判断。

解法一：根据直线上点的投影特性，利用第三面投影即求出侧面投影来判断。如图2-22(b)所示，构建三投影面体系，作出AB的侧面投影a"b"；再按照点的投影规律，求出K点的侧面投影k"。如果k" 在AB的侧面投影a"b" 上，则K点在直线AB上，反之则不在。由作图结果可知，K点不在直线AB上。解法二：利用定比定理来判断(如图2-22(c)所示)。过b(也可过a、a' 或b')作一条直线，在直线上取bA0=a'b'，bK0=b'k'；连接aA0，过K0作直线平行于aA0，如果K点在直线AB上，则过K0所作平行于aA0的直线与ab应相交于k点，反之，则K点不在直线AB上。由作图结果可知，K点不在直线AB上。(a)原题(b)解法一：利用第三面投影判断(c)解法二：利用定比分点判断

图2-22判断点K是否在直线AB上2.3.4两直线的相对位置

1.平行两直线

如图2-23(a)所示，若空间两直线平行，则两直线的同面投影也分别平行，即AB∥CD，则ab∥cd、a'b'∥c'd'、a"b"∥c"d"。一般情况下，要看两条直线是否平行，只要看它们在两个投影面上的同面投影是否平行即可判断，如图2-23(b)所示。但当两条直线都是投影面平行线时，则要看它们的第三个同面投影是否平行(参见例2-10)。(a)空间情况(b)投影图图2-23平行两直线

2.相交二直线

如图2-24所示，若空间两直线相交，同面投影均相交，且交点的投影一定符合点的投影规律(即交点的正面投影与水平投影的连线⊥OX轴；正面投影与侧面投影的连线⊥OZ轴；水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离)。(a)空间情况(b)投影图图2-24相交两直线

【例2-8】如图2-25(a)所示，已知AB、CD为相交两直线，求AB的正面投影。

【解】根据相交两直线的投影特点，可求出交点K的正面投影k‘，a’ 必在b‘k’ 的延长线上，据此求出a‘，得到a’b‘。

作图步骤如下：

(1)如图2-25(b)所示，ab、cd的交点即为K点的水平投影k，过k作OX轴的垂线，在c’d‘上得到k’。

(2)如图2-25(c)所示，连接b'k' 并延长，过a作OX轴的垂线与b'k' 的延长线相交得到a'，连接a'b' 即为所求。(a)已知条件(b)求交点K的两面投影(c)求出a'，完成作图图2-25求AB的正面投影

3．交叉两直线

如图2-26(a)所示，AB、CD为空间既不平行也不相交的两直线，称为交叉两直线。

如图2-26(b)所示，交叉两直线的同面投影可能都相交，但各同面投影交点的关系不符合点的投影规律，均为重影点的投影。

有时，交叉两直线会出现两组同面投影平行，另一组相交的情况，如图2-26(c)所示，图中的直线AB、CD是两条交叉的侧平线，有一对重影点。

如图2-26(d)所示，还会出现两组同面投影相交、另一组平行，有两对重影点的情况。图2-26交叉两直线

【例2-9】如图2-26(d)所示，作出交叉两直线AB、CD对水平面的重影点EF和对侧面的重影点MN的三面投影，并表明重影点的可见性(不可见的点放在后面)。

【解】(1)求EF。如图2-27(a)所示，首先在H面上确定AB、CD对水平面重影点的水平投影ef，然后作投射线垂直于OX轴，在AB、CD的正面投影上得到e' 和f '；根据直线上的点的投影特性，分别过e'、f '

作投射线垂直于OZ轴，即可在AB、CD的侧面投影上得到e" 和f ' (也可由ef利用45°斜线得到e"、f")。对H面的重影点的可见性可由V面投影的“上遮下”判断，显然，在V面上，a'b' 上的e' 点位于c'd' 上的点f '

的上方，所以在水平投影中，e点可见写在前面，f点不可见写在后面。

(2)求MN。如图2-27(b)所示，首先在W面确定AB、CD对侧面重影点的侧面投影m"n"，然后作投射线垂直于OZ轴，在AB、CD的正面投影上得到m'  和n'；根据直线上点的投影特性，分别过m'、n'

作投射线垂直于OX轴，即可在AB、CD的水平投影上得到m和n(也可由m"n"

利用45°斜线得到m、n)。对侧面重影点的可见性可由V面投影的“左遮右”判断，显然，在V面上，a'b' 上的m' 点位于c'd' 上的点n' 的左方，所以在侧面投影中，m" 点可见写在前面，n" 点不可见写在后面。图2-27求交叉两直线的重影点

【例2-10】如图2-28(a)所示，判断直线AB和CD的相对位置。

【解】由已知条件可知，AB、CD是两条侧平线，在V、H面的投影中，ab∥cd、a'b'∥c'd'，这种情况下不能直接得到两直线平行的结论，需要通过分析或作图来判断两直线是否平行。(a)解法一(b)解法二(c)解法三图2-28判断AB、CD的相对位置

【例2-11】如图2-29(a)所示，判断直线AB和CD的相对位置。

【解】因为AB、CD的同面投影均不平行，所以两条直线不平行。在两投影面体系中，如果两直线的同面投影相交，且交点的连线垂直于投影轴，一般可判断两直线空间位置相交，但是，当两直线之一为投影面平行线时，则不能断定两直线相交。

本例中，直线AB为侧平线，因此需要进一步作出判断，以确定两条直线的空间位置是相交还是交叉。

(a)直接观察判断(b)用定比定理判断(c)用第三投影判断图2-29判断直线AB、CD的相对位置

【例2-12】如图2-30(a)所示，已知直线AB、CD、EF，作水平线MN，且MN与直线AB、CD、EF分别交于点M、S、T，并知N点在H面之上8mm处。

【解】由已知条件可知，直线CD为铅垂线，所以MN的水平投影mn必过CD的水平投影cd，即MN与CD的交点S的水平投影s' 与c、d重合，据此可作出过s且平行于OX轴的直线，该直线与ab的交点为m，与ef的交点为t。由t求出t'，m' 由定比分点求出，连接m't'；在OX轴上方8mm处作一条水平线，进而求得n' 和n，完成作图。(a)已知条件(b)作图过程和结果

图2-30按要求作与三条直线相交的正平线2.3.5直角投影定理(两直线相交成直角的投影)

两直线相交成直角时，如果两直线都平行于某一投影面，则两直线在该投影面上投影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影的夹角一般不是直角。当两直线相交成直角时，如果两直线中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在该投影面上投影的夹角仍为直角，这种投影特点，通常称为直角投影定理，如图2-31所示。(a)空间情况(b)投影图图2-31直角投影定理

【例2-13】如图2-32(a)所示，过点C作直线CD⊥AB，D为垂足。

【解】由图2-32(a)可看出，AB为水平线，因为CD⊥AB，所以依据直角投影定理可知，CD的正面投影c‘d’ 应垂直于AB的正面投影a‘b’，从而求出d‘，再据投影关系求出d。作图过程如图2-32(b)所示：

(1)过c’ 作c‘d’⊥a‘b’，得到垂足d‘。

(2)由d’ 求出d。

(3)连接cd即为所求。(a)已知条件(b)作图结果图2-32过点C作直线CD⊥AB

【例2-14】如图2-33(a)所示，已知正方形ABCD一边AB的两面投影ab和a'b'，且AB为水平线，又知C点在B点的前上方，且距H面为20 mm，完成正方形ABCD的两面投影。

【解】如图2-33(b)所示，因为AB是水平线，所以ab = AB；因正方形中AB⊥CD，AB又是水平线，由直角投影定理可知，应有ab⊥ad、ab⊥cb，据此可作出垂直于ab的两条直线，c、d必在所作直线上；由于C点距离H面为20mm，则c‘ (包括d’)必在平行于OX轴、相距为20mm的直线上，由此可得到ΔZ = ΔZc－ΔZb。在已知AB和ΔZ时，即可利用直角三角形法求出bc=B0C0。如图2-33(c)

所示，据bc=B0C0可在H面上确定c点和d点，从而得到c' 

和d'，连接正方形顶点的两面投影，得到正方形。(a)已知条件(b)求ad(bc)=B0C0(c)确定d、c点，作出d'、c'，完成作图

图2-33完成正方形ABCD的两面投影

2.4平 面 的 投 影

2.4.1平面的表示法

空间一平面可以用确定该平面的几何元素的投影来表示。图2-34是用各组几何元素所表示的同一个平面的投影图。显然，各种几何元素是可以互相转换的。例如：将

图2-34(a)中A、B、C三点中AB的两面投影相连，即转变成了图2-34(b)所示的直线与直线外一点表示的平面；将图

2-34(b)中的AC的两面投影相连，即转变成了图2-34(c)所示的用相交两直线表示的平面等。图2-34用几何元素表示平面2.4.2平面的分类和投影特性

平面的投影是由平面对投影面的相对位置所决定的。

1．平面对单一投影面的投影特性

平面相对于单一投影面(以H面为例)有三种位置：

(1)平面平行于投影面：如图2-35(a)所示，当平面P平行于H面时，其投影p反映了空间平面P的实形。(a)平行(b)垂直(c)倾斜图2-35平面对单一投影面的三种位置及投影特性

(2)平面垂直于投影面：如图2-35(b)所示，在平面Q垂直于H面时，其投影积聚为一直线q。

(3)平面倾斜于投影面：如图2-35(c)所示，在四边形所表示的平面S倾斜于H面时，其投影为一面积缩小的平面四边形s，不反映平面S的实形。这里，平面四边形S的投影仍是平面四边形s，只是面积缩小，称投影s是平面S的类似形。

2．平面在三投影面体系中的分类及投影特性

1)投影面平行面

投影面平行面指平行于一个投影面，垂直于另外两个投影面的平面。按照平面平行于哪一个投影面，可将投影面平行面分为：

表2-3列出了三种投影面平行面的投影特性。

2)投影面垂直面

投影面垂直面指垂直于一个投影面，与另外两个投影面倾斜的平面。按照平面垂直于哪一个投影面，可将投影面垂直面分为：

当平面垂直于投影面时，倾角为90°，当平面平行于投影面时，倾角为0°。

表2-4列出了三种投影面垂直面的投影特性。

3)一般位置平面

与三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，如图2-36所示。(a)空间情况(b)投影图

图2-36一般位置平面2.4.3平面上的点和直线

点和直线在平面上的几何条件是：

(1)点在平面上，必在平面的一条直线上。因此只要

在平面内的任意一条直线上取点，该点都在平面上。图

2-37(a)中的E点在平面ABC中的直线AC上，所以E点在平面ABC上。

(2)直线在平面上，则该直线必定通过平面上的两个点；或通过一个点且平行于平面内一直线。图2-37(b)中直线EF通过平面ABC上的两个点E、F，所以EF在平面ABC上；图2-37(c)中直线EF通过平面ABC上的点E，且平行于平面ABC上的直线AB，所以EF在平面ABC上。图2-37平面上的点和直线

【例2-15】如图2-38(a)所示，已知△ABC平面及点D的两面投影，试判断点D是否在△ABC平面上。

【解】根据点在平面上的几何条件，过D的正面投影d'

在△a'b'c' 上作一直线，并求出直线的水平投影，若D的水平投影d在直线的水平投影上，则可判断D点在△ABC上，反之则不在(也可由D点的水平投影求解，方法同上)。(a)已知条件(b)判断作图图2-38判断点D是否在△ABC平面上

【例2-16】如图2-39(a)所示，已知平面四边形ABCD的正面投影和AB、AD边的水平投影，试完成平面四边形ABCD的水平投影。

【解】由已知条件可知，只要求出C的水平投影c，问题就解决了。因为C是四边形ABCD上的一点，即点C在四边形表示的平面上，因此可将四边形所表示的平面，转换为用两条相交直线AC、BD所表示的平面，而C点必在A与两直线的交点K的连线上，从而求得C点的水平投影。(a)已知条件(b)求出交点K的水平投影k(c)求c，连接bc、cd，完成作图图2-39完成平面四边形ABCD的水平投影

【例2-17】如图2-40(a)所示，已知直线EF在△ABC平面上，并知EF的水平投影ef，试求正面投影e‘f ’。

【解】因为直线EF在△ABC平面上，根据直线在平面上的几何条件，EF必通过平面内的两个点。可过EF的水平投影ef，作一直线与△abc的水平投影ab、bc边交于m、n两点，求出直线MN的正面投影m'n'，在m'n'上即可求得e'f '。(a)已知条件(b)求正面投影e'f ' 

图2-40已知平面上直线的水平投影，求正面投影

【例2-18】如图2-41(a)所示，已知四边形ABCD的

两面投影，试在其上取一条水平线EF，使EF距离H面为

12mm；并在EF上取一点K，点K距V面为18mm。

【解】平面上有无数条水平线，根据水平线的投影特性可知，只要在平面的正面投影中取平行于OX轴的直线，均为水平线。本例中，由“水平线EF距离H面为12mm”，限定了所取水平线必须满足这个条件。因此，可在四边形ABCD上作一条距离OX轴12mm的水平线EF，再在EF上取距离V面18mm的点K。图2-41已知平面上取水平线、水平线上取定点2.4.4平面的迹线表示法

1.一般位置平面的迹线表示法

在图2-42中，因为平面P是一般位置平面，所以图

2-42(b)所示的也是一般位置平面在三投影面体系中的迹

线表示法；图2-42(c)所示为迹线平面上点的投影。(a)空间情况(b)投影图(c)面上点的投影

图2-42一般位置平面的迹线表示法如果给出平面的任意两条迹线，则该平面的空间位置就唯一的确定了。因此，也经常用两投影面体系的迹线

来表示平面。如图2-43(a)所示，用正面迹线PV和水平迹线PH表示一般位置平面P；图2-43(b)所示为迹线平面上点的投影。(a)投影图(b)面上点的投影图2-43用两投影面迹线表示一般位置平面

2．投影面平行面的迹线表示法

表2-5列出了三种投影面平行面迹线表示的空间情况、投影图、面上点的投影和投影特性。

3．投影面垂直面的迹线表示法

表2-6列出了三种投影面垂直面迹线表示的空间情况、投影图、面上点的投影和投影特性。从表2-5中可以看到，投影面平行面有积聚性的一条迹线即可确定平面的位置，因此经常画出一条有积聚性的迹线来表示投影面平行面。如图2-44所示，有积聚性的正面迹线QV表示了水平面Q的空间情况及投影图，以及平面上点B的两面投影。(a)空间情况(b)投影图图2-44用正面迹线QV表示水平面从表2-6中可以看到，在投影面垂直面的三条迹线中，仅用一条倾斜于投影轴的有积聚性的迹线，就可以确定该平面的空间位置，因此经常画出这条倾斜的有积聚性的迹线来表示投影面垂直面。如图2-45所示，有积聚性的水平迹线PH表示铅垂面P的空间情况及投影图，以及平面上点A的两面投影，PH与相应投影轴的夹角仍真实反映β和γ。

(a)空间情况(b)投影图图2-45用水平迹线PH表示铅垂面

【例2-19】如图2-46(a)所示，已知点A、B及直线EF的两面投影，试过点A作水平面P，过点B作正垂面Q，过直线EF作铅垂面S，均用有积聚性的迹线表示，并判断有几解，只求一解。

【解】水平面P有积聚性的正面迹线PV，必过A点的正面投影a'且与OX轴平行，只有一解；正垂面Q有积聚性的正面投影QV，必过B点的正面投影b'且与OX倾斜，有无穷解；铅垂面S有积聚性的水平投影SH，必过直线EF的水平投影ef，只求一解。(a)已知条件(b)过点A作水平面P；过点B作正垂面Q；过直线EF作铅垂面S图2-46用迹线表示特殊位置平面2.4.5圆的投影

1．投影面平行圆

我们将平行于一个投影面，垂直于其它两个投影面的圆称为投影面平行圆。

投影面平行圆可分为三种：

(1)水平圆(H面平行圆)：∥H面，⊥V面，⊥W面。

(2)正平圆(V面平行圆)：∥V面，⊥H面，⊥W面。

(3)侧平圆(W面平行圆)：∥W面，⊥H面，⊥V面。

表2-7列出了投影面平行圆的投影图和投影特性，其中C为圆心。

2．投影面垂直圆

我们将垂直于一个投影面，倾斜于其它两个投影面的圆称为投影面垂直圆。图2-47所示为一种投影面垂直圆的空间情况，显然它垂直于正面，倾斜于水平面和侧面。图2-47一种投影面垂直圆的空间情况和投影图投影面垂直圆可分为三种：

(1)正垂圆(V面垂直圆)：⊥V面，∠H面，∠W面，真实反映α、γ。

(2)铅垂圆(V面垂直圆)：⊥H面，∠V面，∠W面，真实反映β、γ。

(3)侧垂圆(W面垂直圆)：⊥W面，∠H面，∠V面，真实反映α、β。

表2-8列出了投影面垂直圆的投影图和投影特性。

2.5直线与平面、平面与平面

之间的相对位置

2.5.1平行关系

1.直线与投影面垂直面平行

由图2-48(a)可得到以下结论：

(1)当直线与投影面垂直面平行时，在平面所垂直的投影面上，直线的投影平行于平面有积聚性的投影。

(2)当直线和平面同垂直于某一投影面时，二者平行。(a)空间情况(b)投影图图2-48直线与铅垂面相平行

【例2-20】如图2-49(a)所示，已知△ABC和点D的两面投影，试过点D作正平线EF平行于△ABC。

【解】由于△ABC为正垂面，根据上述直线与投影面垂直面平行的投影特性(1)可知，过D点所作正平线DE的正面投影应平行于△ABC有积聚性的正面投影a'b'c'。又因为DE是正平线，所以ed∥OX轴。

(a)已知条件(b)作图结果图2-49过已知点作直线平行于正垂面(一)

【例2-21】如图2-50(a)所示，已知△ABC的两面投影和直线DE的水平投影，且DE∥△ABC，并知直线DE距H面为12mm，试完成直线DE的正面投影。

【解】从已知条件可知，△ABC为正垂面，DE的水平投影de⊥OX轴，根据上述直线与投影面垂直面平行的投影特点(2)可知，只有当DE是正垂线时，直线DE和△ABC的相对位置才会平行。这时，正垂线DE和△ABC在V面的投影均有积聚性，符合二者平行的投影特点。又知DE距离H面为12mm，所以DE的正面投影d'e' (重影点)定位于平行于OX轴且相距为12mm的直线上。

(a)已知条件(b)作图结果图2-50过已知点作直线平行于正垂面(二)

2.平面与平面平行

仅讨论垂直于同一投影面的两平面之间的平行问题。

由图2-51(a)可得到以下结论：当垂直于同一投影面的两平面平行时，它们有积聚性的同面投影一定平行。

在该图中，平面ABCD和平面EFGH同为铅垂面，且在H面有积聚性的同面投影abcd∥efgh。所以，平面ABCD与平面EFGH相平行。图2-51(b)为投影图。(a)空间情况(b)投影图图2-51两铅垂面相互平行

【例2-22】已知条件如图2-52(a)所示，并知△ABC∥平面EFGH，试作△ABC的正面投影。

【解】如图2-52(a)所示，平面EFGH为正垂面，又知△ABC∥平面EFGH，所以△ABC也应是正垂面，根据两投影面垂直面相互平行的投影特点，△ABC有积聚性的正面投影a'b'c' 应平行于平面EFGH有积聚性的正面投影e'f 'g'h'，作图结果如图2-52(b)所示。(a)已知条件(b)作图结果图2-52作△ABC的正面投影2.5.2相交关系

1．直线与平面相交

1)直线与投影面垂直面相交

直线与投影面垂直面相交，其交点的一个投影为平面有积聚性的投影与直线的同面投影的交点，即交点的一个投影可以直接得到，据此可求出交点的另一个投影；在平面有积聚性的投影面上，可直接判断另一投影面上直线的可见性，举例如下。

【例2-23】如图2-53(a)所示，已知直线AB与铅垂面CDEF相交，试求交点K，并判断可见性