2024年沪科新版高二数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪科新版高二数学上册阶段测试试卷847考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、已知：如图，直线MN切⊙O于点C，AB为⊙O的直径，延长BA交直线MN于M点，AE⊥MNBF⊥MN，E；F分别为垂足，BF交⊙O于G，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB，D为垂足，连接OC、CG．下列结论，其中正确的有（）

①CD=CF=CE；②EF2=4AE•BF；

③AD•DB=FG•FB；④MC•CF=MA•BF．A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④2、在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形3、【题文】已知满足时，的最大值为1，则的最小值为（）A.7B.8C.9D.104、若不等式与不等式的解集相同，则（）A.B.C.D.5、设不等式组表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.B.C.D.6、已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=2，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为（）

A.B.C.D.7、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A.150种B.147种C.144种D.141种8、合肥一中高一年级开展研学旅行活动，高一1、2、3、4、5五个班级，分别从西安、扬州、皖南这三条线路中选一条开展研学活动，每条路线至少有一个班参加，且1、2两个班级不选同一条线路，则共有（）种不同的选法．A.72B.108C.114D.124评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)9、已知函数有零点，则的取值范围是．10、抛物线y2=﹣8x的焦点坐标是____．11、已知函数f（x）的定义域为[-1；5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示。

。x-10245y12021若函数y=f（x）-a有4个零点，则a的取值范围为______．12、已知正实数x，y满足x+y=1，若的最小值为9，则正数a=______．13、(x+3x)4

展开式中含x2

项的系数为______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）评卷人得分四、计算题(共3题，共9分)19、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．20、1.（本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．21、已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．评卷人得分五、综合题(共4题，共32分)22、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．23、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．24、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．25、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、D【分析】【分析】①由MN与圆O相切于点C；根据弦切角定理可得∠ACE=∠ABC，又由AB为圆O直径，可得AC⊥BC，则可证得Rt△AEC≌Rt△ADC，同理可得Rt△BCD≌Rt△BCF，根据全等三角形的对应边相等，即可得CD=CF=CE；

②由①可证得Rt△ACE∽Rt△CBF，根据相似三角形的对应边成比例，与CE=CF=EF，即可证得EF2=4AE•BF；

③由Rt△BCD≌Rt△BCF与Rt△ACE≌Rt△GCF即可证得AD•DB=FG•FB；

④由△AME∽△CMD与Rt△ACD∽Rt△BCF．利用相似三角形的对应边成比例，即可求得MC•CF=MA•BF．【解析】【解答】解：∵MN与圆O相切于点C；

∴∠ACE=∠ABC；

又∵AB为圆O直径；

∴AC⊥BC；

∵CD⊥AB；

∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-∠DAC=∠ACD；

∴∠ACE=∠ACD；

∵∠AEC=∠ADC=90°；

在Rt△AEC和Rt△ADC中；

；

∴Rt△AEC≌Rt△ADC（AAS）；

∴CD=CE；

同理；Rt△BCD≌Rt△BCF；

∴CD=CE=CF；

故①正确；

由①的过程知：∠ACE=∠DBC=∠FBC；

∵∠AEC=∠CFB=90°；

∴Rt△ACE∽Rt△CBF；

∴；

∴CE•CF=AE•BF；

由①的结论知，CE=CF=EF；

∴EF2=AE•BF

∴EF2=4AE•BF；

故②正确；

由①过程知；Rt△BCD≌Rt△BCF

∴DB=FB（1）

∵MN为⊙O切线；

∴∠FCG=∠FBC=∠ABC=∠ACE；

由①结论知；CE=CF；

∵∠AEC=∠GFC=90°；

在Rt△ACE和Rt△GCF中；

；

∴Rt△ACE≌Rt△GCF（ASA）；

而由①的过程知；Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴Rt△ACD≌Rt△GCF；

∴AD=FG（2）

由（1）（2）得到：AD•DB=FG•FB；

故③正确；

∵∠M=∠M；∠AEM=∠ADC；

∴△AME∽△CMD；

∴；

∵AE=AD；

∴；

∴；（3）

又∵Rt△ACD∽Rt△BCF；

∴；（4）

由（3）（4）得到：；

∴MC•CF=MA•BF；

故④正确．

故选D．2、C【分析】试题分析：由三角形的特点把角C转化为A+B，在利用两角和差公式打开化简故答案为C考点：两角和差公式【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】

试题分析：由线性规划将图画出；

由的最大值为1，找出的最大值时图上的点，进而求得的最小值．由图象知在处有最大值．当且仅当即与矛盾，故不能用均值不等式求最值．设．由对勾函数性质得，时，有最小值，．

考点：线性规划参数最值问题．【解析】【答案】D．4、A【分析】【解答】的解集为或所以与不等式对应的方程的实数根为代入得5、D【分析】【分析】依题意可得不等式组表示平面区域为D的面积为4，又到原点的距离小于2的面积为所以在区域D内到原点距离大于2的面积为故在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是故选D。6、A【分析】【解答】解:以B1为原点，B1A1为x轴，B1C1为y轴，B1B为z轴；建立空间直角坐标系；

∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=2，点D是A1C1的中点；

∴A（2，0，2），D（1，1，0），B（0，0，2），C1（0；2，0）；

设异面直线AD和BC1所成角为α；

则cosα=

∴异面直线AD和BC1所成角的大小为．

故选：A．

【分析】以B1为原点，B1A1为x轴，B1C1为y轴，B1B为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD和BC1所成角的大小．7、D【分析】解：从10个点中任取4个点有C104种取法；

其中4点共面的情况有三类．

第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；

第二类；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；

第三类；由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱）；

它的4顶点共面；有3种．

以上三类情况不合要求应减掉；

∴不同的取法共有C104-4C64-6-3=141种．

故选D．

由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法；减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案．

本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．【解析】【答案】D8、C【分析】解：根据题意；分2步进行分析：

①；将1、2、3、4、5五个班级分成3组；

若分成1、2、2的三组，共有=15种分组方法；

其中1、2两个班级分组同一组，有C31=3种情况；

则此时有15-3=12种分组方法；

若分成1、1、3的三组，共有=10种分组方法；

其中1、2两个班级分组同一组，有C31=3种情况；

则此时有10-3=7种分组方法；

故一共有12+7=19种分组方法；

②、将分好的三组全排列，对应三条线路，有A33=6种情况；

则共有19×6=114种不同的选法；

故选：C．

根据题意；分2步进行分析：①；将1、2、3、4、5五个班级分成3组，需要分2种情况讨论，分成1、2、2的三组或1、1、3的三组，注意排除其中1、2两个班级选同一条线路的情况，②、将分好的三组全排列，对应三条线路，由分步计数原理计算可得答案．

本题考查排列、组合的实际应用，注意要先分组，再排列；注意要排除1、2两个班级选同一条线路的情况．【解析】【答案】C二、填空题(共5题，共10分)9、略

【分析】试题分析：由题意知有解，即方程有解，可转化为直线与方程所表示的曲线有交点，用数形结合思想可得的取值范围。考点：函数的零点与相应的方程根的关系及数形结合思想的应用。【解析】【答案】10、（﹣2，0）【分析】【解答】解：∵抛物线方程y2=﹣8x；

∴焦点在x轴；p=4，∴焦点坐标为（﹣2，0）

故答案为（﹣2；0）．

【分析】先根据抛物线的标准方程，可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标．11、略

【分析】解：由导函数的图象和原函数的关系得；原函数的大致图象如图：

由图得若函数y=f（x）-a有4个零点；

则函数y=f（x）与直线y=a的图象有四个交点。

故：1≤a＜2

故a的取值范围为[1；2）

故答案为：[1；2）

先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象；再借助与图象分析出函数y=f（x）与直线y=a的图象交点的个数，进而得到函数y=f（x）-a有4个零点时，a的取值范围．

本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．【解析】[1，2）12、略

【分析】解：∵a＞0；

∴=（）（x+y）=1+a+≥a+1+2=（+1）2；

当且仅当取等号；

则有解得a=4．

故答案为：4．

把要求的式子变形为（x+y）（），利用基本不等式即可得到的最小值；列式即可求出a值．

本题考查基本不等式的应用，把要求的式子变形为（x+y）（），是解题的关键．【解析】413、略

【分析】解：(x+3x)4

展开式中通项公式：Tr+1=?4r?x4鈭�r(3x)r=3r?4rx4鈭�2r

令4鈭�2r=2

解得r=1

．

隆脿

含x2

项的系数=3C41=12

．

故答案为：12

．

利用通项公式即可得出．

本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】12

三、作图题(共5题，共10分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．四、计算题(共3题，共9分)19、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．20、略

【分析】由题设得则的概率分布为4分。012P故收益的概率分布为。1.622.4P所以=28分12分【解析】【答案】=221、解：∴z1=2﹣i

设z2=a+2i（a∈R）

∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i

∵z1•z2是实数。

∴4﹣a=0解得a=4

所以z2=4+2i【分析】【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．五、综合题(共4题，共32分)22、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）23、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．24、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；