第5章 刚体力学

第五章刚体力学返回主目录5－１刚体的基本运动

一、刚体刚体：是受力时不改变形状和体积的物体。它是物体的理想化模型

刚体的组成：刚体可以看成有许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。二、平动平动：刚体在运动中，连接体内两点的直线在空间的指向总保持平行的运动。

平动刚体的运动可以简化为质点。

第五章刚体力学三、定轴转动各质元均做圆周运动，且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴，这种运动为定轴转动。

ωωω转动平面Mθv参考方向xoro´ω第五章刚体力学三、描述刚体定轴转动的物理量定轴转动的刚体中,各质点的线量一般不同，但角量都相同，描述刚体整体的运动常用角量。转动平面转轴参考方向1.角坐标和角位移2.角速度角速度方向用右手螺旋法则确定。是矢量，方向用右手螺旋法则确定。第五章刚体力学3.角加速度加速转动方向一致;减速转动方向相反角加速度方向与相同。4.角量与线量的关系o第五章刚体力学刚体作匀变速转动公式:第五章刚体力学5－2质心运动定理一、质心xyzm1m2m3m4r1r2r3r4分量式第五章刚体力学质心位矢可用积分法求得

第五章刚体力学二、质心运动定理此即质心运动定理。它表明质心的运动如同整个质点系的质量集中在质心的一个质点的运动。

第五章刚体力学5－3刚体的转动惯量一、刚体的转动惯量物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小反映了改变刚体转动状态的难易程度。1.定义2.与转动惯量有关的因素①刚体的质量及其分布;②转轴的位置;③刚体的形状。在（SI）中，J的单位：kgm2刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质点的质量与这一质点到转轴的距离平方的乘积之和。3.转动惯量的计算质量离散分布的刚体第五章刚体力学

若质量连续分布质量为线分布质量为面分布质量为体分布线分布体分布面分布

为质量的线密度

为质量的体密度

为质量的面密度注意只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。第五章刚体力学二、平行轴定理cd质元与轴和的距离分别为和，

在两坐标系中的坐标分别为（）（），则：

=0平行轴定理第五章刚体力学三、垂直轴定理垂直轴定理第五章刚体力学举例：求质量为m半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解:在环上任取一小线元dlROdm其质量第五章刚体力学RO解:将圆筒分为一系列的圆环，质量为dm举例：求质量为M半径为R的薄圆筒绕中心轴的转动惯量。（不计厚度）圆环与圆筒的转动惯量公式相同J=MR2第五章刚体力学

举例：求质量为m，半径为R，厚为l的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为r宽为dr的薄圆环可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是

。第五章刚体力学举例：求球体对通过球心轴的转动惯量，球的半径为R体密度为。解：将球分为一系列的圆盘rRoz任一圆盘的质量：对与球体相切的轴的转动惯量又为多少？第五章刚体力学5－4转动定律doPz是决定刚体转动的物理量,表明力的大小、方向和作用点对物体转动的影响。1.力矩的定义:2.物理意义3.定轴转动的力矩(1)力矩只有两个方向，规定了正方向后，可用正负号表示力矩的方向;(2)若有n个力作用在刚体上，且都在与转轴相垂直的平面内，则合力矩为所有力对刚体力矩的代数和;一、力矩第五章刚体力学(3)若力不在垂直于转轴的平面内,则将这些力沿平面和转轴方向分解，与转轴平行的分力力矩为零，在平面内的分力力矩的代数和即为这些力的合力矩;(4)由于刚体内质点间的相互作用力总是成对出现，并遵守牛顿第三定律，所以这些力对转轴的合力矩为零，即合内力矩为零。第五章刚体力学对

mi用牛顿第二定律：二、转动定律zOrifiFi

mi

i

i切向分量式为：外力矩内力矩对所有质点求和：用M表示合外力矩,则有:

M＝J

转动惯量矢量式:第五章刚体力学2.力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。说明：1.与

地位相当，m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。3.力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向，所以用正负号表示方向。第五章刚体力学三、定轴转动刚体的转动定律的应用解：举例：

一个质量为半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘），上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。()第五章刚体力学棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。解：

xOmgx举例：一根长为l质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆

角时的角加速度和角速度。()重力力矩为：第五章刚体力学5－5刚体定轴转动的动能定理一、力矩的功----力矩的空间积累作用-----力矩的功Frds

合外力矩二、力矩的功率功对时间的变化率第五章刚体力学若力矩是恒量:比较：三、转动动能miri设转动角速度为

，第i个质元mi的速度为:其动能为:第五章刚体力学整个刚体的动能为:刚体转动动能平动动能转动动能比较：四、定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理:合外力矩作的功等于刚体转动动能的改变量.第五章刚体力学-----刚体绕定轴转动的动能定理-----质点的动能定理比较:第五章刚体力学举例：如图所示,质量为m

的粘土块从距匀质圆盘h处落下,盘的质量M=2m,

=60°,盘心为光滑轴。求碰撞后瞬间盘的

0；P转到x轴时盘的

，

。解：m下落到P点前一瞬间有碰撞时间极短，对m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对o的力矩可忽略，角动量守恒：对m+盘+地球系统，只有重力做功，机械能守恒。令x轴为零势面,则：第五章刚体力学举例：人和转盘的转动惯量为J0,哑铃的质量为m,初始转速为ω1。求：双臂收缩由r1变为r2时的角速度及机械能增量。r2r1mmJ0ω1解：由角动量守恒非保守内力作正功，机械能增加。第五章刚体力学5－6动量矩守恒定律一、动量矩质点m以速率v、角速度

绕z轴转动,z轴垂直于转动平面xoy。定义质点m绕z轴的动量矩为:方向:如图所示;大小:由于质点绕固定轴转动,则有:单位：第五章刚体力学二、质点的动量矩定理及动量矩守恒定律由牛顿第二定律:力矩:由于:则:质点的动量矩定理:质点的动量矩守恒定律:冲量矩第五章刚体力学角动量守恒定律的两种应用：1.转动惯量保持不变的单个刚体。2.转动惯量可变的物体。花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速.