空间曲线方程

空间曲线方程一、空间曲线及其方程空间曲线的一般式方程1.空间直线可以看作是两个平面的交线，而它的方程可以用这两相交平面方程的联立方程组来表示，同样空间曲线可以看作两个曲面的交线．设有两个相交的曲面，它们的方程分别是F1(x,y,z)=0，F2(x,y,z)=0．那么联立方程组

（7-15）就是它们交线的方程，称式(715）为空间曲线的一般式方程．一、空间曲线及其方程（1）曲线方程(7-15）以这种形式表示一条曲线．若把两个方程消去一个未知量，化为一个方程，则该方程表示的就不是空间曲线，而是一个这条曲线所在的柱面．（2）空间曲线的一般式方程表达形式不唯一．因为一条空间曲线可以是两曲面F1和F2的交线，也可以是曲面G1和G2的交线，而通过该曲线的曲面有无穷多个，为此，它可以看作其中任何两个曲面的交线．但是，当两个曲面确定后，其交线是唯一确定的．注意一、空间曲线及其方程求以（1,-2,3）为球心，3为半径的球面与平面z=5交线的方程，这是一条什么曲线？

解由已知可得，给定球面的方程为(x－1)2+(y+2)2+(z－3)2=9，所以所求交线的方程为【例1】一、空间曲线及其方程即由此可知，交线为在平面z=5上，以（1,-2）为中心，为半径的圆周．一、空间曲线及其方程空间曲线的参数式方程2.空间曲线的参数式方程是我们在学习多元函数积分学时要用到的，但其方程的建立比较麻烦，我们这里只简单介绍只有一个参变量的参数方程．如果曲线C上的点M(x,y,z)的坐标可以表示为某个变量t的函数，即

（7-16）当t在［α,β］上每取一个值时，就得到曲线C上的一个点M(x,y,z)，而t由α变到β时就得到曲线C上的所有点．则式(7-16）称为曲线C的参数式方程，其中t称为参数．一、空间曲线及其方程设空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以匀角速度ω绕z轴旋转，同时又以匀线速度v沿平行于z轴的正方向上升（其中ω，v都是常数），那么，此点M的运动轨迹习惯称为螺旋线．试建立螺旋线的参数方程．

解取时间t为参数．设当t=0时，动点位于轴上一点A(a,0,0)处．经过时间t，动点M运动到B(x,y,z)（见图7-43）．由已知条件可得参数方程为【例2】图7-43一、空间曲线及其方程如果取θ=ωt为参数，并设，泽有由此可知，曲线的参数方程不唯一，它与参数的选取有关，这里不作详细介绍．二、空间曲线在坐标面上的投影

设在空间直角坐标系中有一条曲线C′，过C′作母线平行于z轴的柱面，与xOy平面的交线为C，则称C为曲线C′在xOy面上的投影曲线（见图7-44）．图7-44二、空间曲线在坐标面上的投影下面来建立空间曲线在坐标面上的投影曲线方程．设空间曲线C′的方程为

（7-17）为求C′在坐标面xOy面上的投影曲线方程，现从式(7-17）中消去z后，得方程H(x,y)=0，（7-18）二、空间曲线在坐标面上的投影这正是母线平行于z轴的柱面方程．由于它是从式(7-17）中得出，为此，在曲线C′上的点，其坐标必满足式(7-17），从而也一定满足H（x,y）=0，所以，这个柱面是以曲线C′为准线的柱面，我们称其为投影柱面．它与xOy坐标面的交线C的方程为

（7-19）即为空间曲线C′在xOy坐标面上的投影曲线方程．二、空间曲线在坐标面上的投影同理，从式(7-17）中消去x或y，分别得投影柱面方程G(y,z)=0或R(x,z)=0，再分别与x=0或y=0联立，即可得曲线C′在坐标面yOz面或zOx面上的投影曲线方程分别为求两球面x2+y2+z2=1和(x－1)2+y2+(z－1)2=1的交线在xOy面上的投影方程．

【例3】二、空间曲线在坐标面上的投影分析要求曲线在坐标面上的投影曲线方程，只要找到投影柱面方程，然后与坐标面方程联立即可．而投影柱面方程只需要将曲线方程消去一个相应的未知量即可．

解将曲线方程二、空间曲线在坐标面上的投影中未知量z消去．方程组中两方程相减得x+z=1，即z=1－x，将其代入x2+y2+z2=1得投影柱面方程为2x2+y2－2x=0．于是，两球面的交线在xOy面上的投影曲线方程为最后，我们通过例题来说明，空间解析几何中由方程来描绘空间区域的方法．它在今后多元函数积分学中经常用到，要仔细体会．二、空间曲线在坐标面上的投影描绘由x≥0，y≥0，z≥0，x+y≤1，y2+z2≤1所围成的立体图形．

解在空间解析几何中，不等式关系描述了曲线上（下）方或内（外）的区域，为此，我们在空间直角坐标系中只要描绘出相应方程的图形，就可得到所描绘的空间区域．方程x+y=1表示过点（1，0，0）和点（0，1，0）且平行于z轴的平面．【例4】二、空间曲线在坐标面上的投影x+y≤1表示以x+y=1为界，且包含原点的那个半空间．方程y2+z2=1表示以坐标面yOz面上的圆y2+z2=1为准线，母线平行于x轴的圆柱面．于是y2+z2≤1表示这个圆柱面所围成的内部及其表面．直圆柱面y2+z2=1在平面x=0,y=0，x+y=1上的截线分别是圆、直线和椭圆；平面x+y=1