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文档简介

高阶函数一、高阶导数引例

求变速直线运动物体的瞬时加速度.分析如果物体的运动方程为s=s(t)，则变速直线运动的瞬时速度v是路程s对时间t的导数，即而加速度a又是速度v对时间t的变化率，也就是速度v对时间t的导数，即a=dv/dt.于是这种导数的导数d/dt(ds/dt)或(s′)′称为s对t的二阶导数，记为s″(t).所以，物体运动的加速度就是路程s对时间t的二阶导数.一、高阶导数一般地，如果函数y=fx的导数y′=f′(x)仍是x的可导函数，就称y′=f′(x)的导数为函数y=fx的二阶导数，记为y″,f″(x),d2y/dx2或d2f(x)/dx2.相应地，把y=fx的导数f′(x)称为函数y=f(x)的一阶导数.一、高阶导数二阶或二阶以上的导数统称为高阶导数.由高阶导数的定义知，求函数y=f(x)的高阶导数，只需连续多次求导数即可，因此仍可应用前面的求导方法进行计算.一、高阶导数

【例1】一、高阶导数

求指数函数y=ax(a>0,a≠1)的n阶导数.【例2】一、高阶导数

求正弦函数y=sinx的n阶导数.【例3】一、高阶导数

求幂函数y=xα(α∈R)的n阶导数.【例4】一、高阶导数

设y=ln(1+x)，求y(n).【例5】一、高阶导数【例6】一、高阶导数

设f(x)具有任意阶导数，且f′(x)=f2(x)，求证：f(x)的n阶导数f(n)(x)=n!fn+1(x).证明由f′(x)=f2(x)，得所以原命题成立.【例7】一、高阶导数二、莱布尼茨公式如果函数u=ux与v=vx都在点x处具有n阶导数，那么u(x)+v(x)与u(x)-v(x)在点x处都具有n阶导数，且u(x)±v(x)（n）=[u(x)](n)±[v(x)](n),但乘积u(x)·v(x)的n阶导数却并不如此简单.由［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)首先得出上式称为莱布尼茨公式.

设y=x2sinx,求y(20).解设u(x)=sinx,vx=x2,则由莱布尼茨公式知【例8】二、莱布尼茨公式三、应用举例

年龄在0与36个月之间的男婴的平均体重可以表示成函数ω(t)=8.15+1.82t－0.0596t2+0.000758t3，其中t用月来度量，而ω用磅（1磅=0.454千克）来度量，求一个标准男婴体重增长的加速度.解对ω(t)=8.15+1.82t－0.0596t2+0.000758t3求导，得ω′(t)=1.82－0.1192t+0.002274t2，ω″(t)=－0.1192

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