【全程复习方略】2020-2021学年北师大版高中数学必修一单元质量评估(三)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估(三)第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.a3aA.a32B.a3【解析】选C.a3aa=a2.下列函数是幂函数的是()A.y=2x2 B.y=x3+xC.y=3x D.y=x【解析】选D.结合幂函数的形式：y=xα可知,D选项正确.3.若log513·log36·log6x=2,则x等于A.9 B.19 C.25 D.【解析】选D.由换底公式,得lg13lg5·lg所以-lgx所以lgx=-2lg5=lg125所以x=1254.(2021·浙江高考)已知x,y为正实数,则()A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy B.2lg(x+y)=2lgx·2lgyC.2lgx·lgy=2lgx+2lgy D.2lg(xy)=2lgx·2lgy【解题指南】运用指数的运算性质与对数的运算性质解答.【解析】选D.选项A,2lgx+lgy=2lgx·2lgy,故A错误;选项B,2lgx·2lgy=2lgx+lgy,故B错误;选项C,2lgx·lgy=(2lgx)lgy,故C错误.5.函数y=loga(|x|+1)(a>1)的大致图像是()【解析】选B.由于f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,又f(0)=loga1=0,结合对数函数的增长趋势可知选B.6.下列各函数中,值域为(0,+∞)的是()A.y=2-x2 C.y=x2+x+1 D.y=3【解析】选A.A,y=2-x2=2B,由于1-2x≥0,所以2x≤1,x≤0,y=1-2x所以0<2x≤1,所以0≤1-2x<1,所以y=1-C,y=x2+x+1=x+122+D,由于1x+1∈(-∞,0)∪(0,+∞所以y=3

1x+1的值域是(0,1)∪【误区警示】解答本题对于选项D简洁忽视指数1x+1≠0,而误认为函数y=31x+1【变式训练】已知函数f(x)=2log1()A.22,2C.12,2 D.-∞,22【解析】选A.函数f(x)=2log

12x在(0,+∞)为减函数,则-1≤2log

12x≤1,可得-12≤log

127.(2021·新课标全国卷Ⅱ)设a=log36,b=log510,c=log714,则()A.c>b>a B.b>c>aC.a>c>b D.a>b>c【解题指南】将a,b,c利用对数性质进行化简,分别出1后,再进行比较大小即可.【解析】选D.由题意知：a=log36=1+log32=1+1lob=log510=1+log52=1+1loc=log714=1+log72=1+1lo由于log23<log25<log27,所以a>b>c,故选D.【变式训练】假如log12x<logA.y<x<1 B.x<y<1C.1<x<y D.1<y<x【解析】选D.由于y=log12x为(0,+8.设x>y>1,0<a<1,则下列关系正确的是()A.x-a>y-a B.ax<ayC.ax<ay D.logax>logay【解析】选C.由于0<a<1,所以y=ax在R上是减函数,又x>y>1,所以ay>ax.9.(2022·太原高一检测)函数f(x)=QUOTElog2x,x>0,log

A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)【解析】选A.①若a>0,则-a<0,由a>0得0<a<1.②若a<0,则-a>0,由a>0得-1<a<0,综上可知-1<a<0或0<a<1.10.(2022·潍坊高一检测)如图所示的是某池塘中的浮萍集中的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y=at,有以下叙述：①这个指数函数的底数为2;②第5个月时,浮萍面积就会超过30m2③浮萍从4m2集中到12m④浮萍每月增加的面积都相等;⑤若浮萍集中到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,则t1+t其中正确的是()A.①② B.①②③④C.②③④⑤ D.①②⑤【解析】选D.由于图像经过点(1,2),所以2=a1,即a=2.①正确.所以y=2t.当t=5时,y=25=32>30,故②正确.令y=4,得t=2.即第2个月浮萍集中的面积为4m2再过1.5个月,即t=3.5时,y=23.5=2

7272前几个月浮萍的面积分别为2m2,4m2,8m2,16m若浮萍集中到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,即2

t则t1=log22,t2=log23,t3=log26,又log26=log2(2×3)=log22+log23,所以t3=t1+t2,故⑤成立.综上,①②⑤正确.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上)11.(2022·济源高一检测)化简：2log214-827

-2【解析】原式=14-23-2-2+(=14-9答案：-3【变式训练】(2021·西安高一检测)设f(x)=lgx,x>0,10【解析】由于x=-2<0,所以f(-2)=10-2=1100所以f(10-2)=lg10-2=-2,即f(f(-2))=-2.答案：-212.函数f(x)=a3x-2+2(a>0,且a≠1)的图像恒过定点.【解析】由3x-2=0得x=23,故函数f(x)=a3x-2+2(a>0,且a≠1)的图像恒过定点2答案：2【变式训练】函数f(x)=ax2+2x-3【解析】由于f(x)=ax所以10=a0+m,所以m=9.答案：913.(2022·浏阳高一检测)函数f(x)=x-4lgx-1的定义域是【解析】由题意得x-4≥0,lgx-1≠0,x>0,解得x≥4,x≠10,所以函数f(x)=x-4lgx-1的定义域是[4,10)∪(10,+答案：[4,10)∪(10,+∞)【变式训练】(2022·温州高一检测)函数y=ax-1的定义域是(-∞A.a>0 B.a>1 C.0<a<1 D.a≠1【解析】选C.由ax-1≥0得ax≥1,又知此函数的定义域为(-∞,0],即当x≤0时,ax≥1恒成立,所以0<a<1.14.(2021·上海高考)方程93x-1+1=3x【解析】93x-1+1=3x⇒9⇒3x-1=3⇒3x=3+1⇒3x=4⇒x=log34.答案：log3415.(2022·德州高一检测)对于结论：①函数y=ax+2(x∈R)的图像可以由函数y=ax(a>0且a≠1)的图像平移得到.②函数y=2x与函数y=log2x的图像关于y轴对称.③方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解集为{-1,3}.④函数y=ln(1+x)-ln(1-x)为奇函数.其中正确的结论是.(把你认为正确结论的序号填上)【解析】由图像的平移可知①正确,②不正确,两函数的图像关于y=x对称,③不正确,当x=-1时,x2-2<0;④正确,令f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(-x)=-f(x).答案：①④三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2022·安庆高一检测)(1)计算：2790.5+0.1-2+21027-23-3(2)设4a=5b=100,求21【解析】(1)原式=25912+[(10)-1]-2+6427-23-3+37(2)由于4a=100,所以a=log4同理可得,b=log5100,则1a=1log4100=log1004,1所以1a+2b=log1004+2log=log100(4×52)=log100100=1.所以21a17.(12分)已知函数y=QUOTEx

n2-2n-3n2-2n-3【解析】由于图像与y轴无公共点,所以n2-2n-3≤0,又图像关于y轴对称,则n2-2n-3为偶数,由n2-2n-3≤0得,-1≤n≤3,又n∈Z.所以n=0,±1,2,3,当n=0或n=2时,y=x-3为奇函数,其图像不关于y轴对称,不适合题意.当n=-1或n=3时,有y=x0,其图像如图A.当n=1时,y=x-4,其图像如图B.所以n的取值集合为{-1,1,3}.【误区警示】本题在求解过程中,常因考虑不全导致漏解或增解.18.(12分)(2022·三明高一检测)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为V(m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,争辩中发觉V与log3Q100(1)求出V关于Q的函数解析式.(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数.【解析】(1)设V=k·log3Q100由于当Q=900时,V=1,所以1=k·log3900100,k=1所以V关于Q的函数解析式为V=12log3Q(2)令V=1.5,则1.5=12log3Q所以Q=2700.答：一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位.19.(12分)(2022·襄阳高一检测)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且x<0时,f(x)=1+2x.(1)求函数f(x)的解析式.(2)画出函数f(x)的图像.(3)写出函数f(x)的单调区间及值域.【解析】(1)由于y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),所以f(0)=0,由于x<0时,f(x)=1+2x,所以x>0时,f(x)=-f(-x)=-(1+2-x)=-1-12所以f(x)=1(2)函数f(x)的图像为(3)依据f(x)的图像知：f(x)的单调增区间为(-∞,0),(0,+∞);值域为{y|1<y<2或-2<y<-1或y=0}.20.(13分)设f(x)=2(1)求flo(2)求f(x)的最小值.【解题指南】(1)要留意log232与1的大小关系和a(2)要留意分段函数要在x∈(-∞,1]和x∈(1,+∞)时分别求最小值并取其中最小的为函数的最小值.当x∈(1,+∞)时,求最小值要留意利用换元法先求t=log3x的范围,再求f(x)的最小值.【解析】(1)由于log232<log2所以flog232=2(2)当x∈(-∞,1]时,f(x)=2-x=12x在(-∞,1]上是减函数,所以f(x)的最小值为f(1)=当x∈(1,+∞)时,f(x)=(log3x-1)(log3x-2),令t=log3x,则t∈(0,+∞),f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=t-32所以f(x)的最小值为g32=-1综上知,f(x)的最小值为-14【变式训练】(2022·雅安高一检测)已知x∈[0,log23·log34],试求函数y=14x-【解析】由x∈[0,log23·log34],得x∈[0,2].由于y=12x2令12x=t,则y=t又当x∈[0,2]时,14≤t≤由二次函数的性质可知,当t=12时,y取得最小值7当t=1时,y取得最大值2,所以y=14x-1221.(14分)已知函数f(x)=lg(ax-bx),a>1>b>0.(1)求f(x)的定义域.(2)在函数f(x)的图像上是否存在不同的两点,使过这两点的直线平行于x轴?(3)当a,b满足什么条件时,fx在1,+∞【解析】(1)由ax-bx>0得abx>1=ab即fx的定义域为0,+∞(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,f(x1)=lg(ax1-bx1),f(x2)=lg((ax1-bx1)