2023-2024学年广东省深圳市某中学高一年级上册期末考数学试卷（含详解）

2023-2024学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷

一，单选题：本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合U={尤|0VxW6,xeN},A={2,3,6},B={2,4,5},则AC（CuB）=

A.{2,3,456}B.{3,6}

C.{2}D.{4,5}

2.“a<1”是“ireR,尤2-x+a<0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知sin[”总=：，则COS[2C+F)=

()

A.巫B.一反-77

C.-D.—

8888

4.荀子《劝学》中说：“不积度步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点,

前进不止一小点.我们可以把（1+1%户5看作是每天的“进步”率都是1%,一年后是1.0俨5。37.7834,而把（1-1%严看作是

1ni365

每天“退步”率都是1%,一年后是0.99365=0.0255,这样，一年后的“进步管'是“退步值”的1481倍.那么当“进步”的

0.99365

值是“退步”的值的2倍，大约经过（）天.（参考数据：IglOl«2.0043,lg99«1.9956,1g2«0.3010）

A.9B.15C.25D.35

5.设函数/（力=2（：一?的最大值为最小值为加，则M+（）

A.0B.1C.2D.4

6.将函数y=sin2尤的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间0,|上单调递增,

且的最大负零点在区间上，则夕的取值范围是

A•骨

7.设a=logo.203,6=log23,c=log34,则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

lg|x-2|）x^2，若关于尤的方程⑶+"（x）+c=0恰有5个不同的实数解看,々,七,X,,X5,

8.定义域为R的函数〃x）=f2

l,x=2

贝|17（玉+%2+玉+14+龙5）等于（）

A.1B.21g2C.31g2D.0

二，多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.设"。£尺,。＜乩则下列不等式一定成立的是（）

A.a+c<b-\-cB.e~a>e~b

C.ac1<be1D.—>—

ab

10.下列命题中正确的有()

A.〃x)=(苏-帆-1)无'"幕函数，且在(0,+e)单调递减，则〃?=-l

2

B./(x)=log2(x-2x)的单调递增区间是(1,+8)

C.〃无~；定义域为R,则aw［。,4)

D./(x)=x+2V4-x的值域是(—oo,5］

11.已知定义在R上的函数满足〃力=一冗扁,且当-10<0时,〃x)=2*,则()

A./(尤)是周期为2的周期函数

B.当4Vx<5时,/(x)=-2j

C.〃尤)的图象与g(x)=log。/的图象有两个公共点

D.〃尤)在(2022,2024)上单调递增

12.已知函数/。)=」一+」一,则下列结论正确的是()

sinxcos九

A.广⑴的图象关于点(三,。］对称

B.Ax)的图象关于直线x=-与37c对称

C.f(x)的最小正周期是兀

D./(x)在(0,上有最小值，且最小值为2&

三，填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.不等式cosx>；的解集是

,cosa+sina什

14.已矢口-------；----=2,贝!Jsin9a—2sinacosa=

cosa-sina

x2-2x+2,x>0

15.已知函数y=<a的值域为R,则实数。的取值范围为.

XH----F3d,X<0

X

16.如图,边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P为正六边形的一个

顶点，当点尸第一次落在桌面上时，点P走过的路程为

四，解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.化简求值：

(1)tan70°cos10°(A/3tan200-1)

2

(2)已知cos(工+x)=-,—<%<Z£^sin2x+2sinx的直

451241-tanx

18.如图,在平面直角坐标系中，锐角a和钝角夕的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于

A,B两点，且

sin(7i+6z)cos—+p\

(D求-----------7Y-4的值.

cos(兀一万)sin［々+aI

⑵若点A的横坐标为|，求sin(2«+£)的直

2

19.已知函数〃x)=a-瓦石(aeR).

(1)是否存在实数。使函数f(元)为奇函数.

⑵探索函数〃x)的单调性.

⑶在(1)的前提下，若对VxeR不等式/•(〃切+〃3-切)>0恒成立,求机的取值范围.

20.已知函数/'(x)=V^sin2x+2cos2x+〃z在区间0,1上的最小值为3.

(D求常数加的值.

⑵将函数/(x)向右平移:个单位，再向下平移4个单位，得到函数g(x),请求出函数y=g(x),xe-2q的单调递减区

间.

21.初一(2)班的郭同学参加了折纸社团，某次社团课上，指导教师老胡展示了如图2所示的图案,其由三块全等的矩形

经过如图1所示的方式折叠后拼接而成.己知矩形ABC。的周长为8cm，其中较长边AZ)为xcm,将△BCD沿3。向

折叠,5C折过去后交AZ)于点E.

图1

⑴用X表示图1中一54E的面积.

(2)郭爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励其中纽扣的六个直角(如图2阴

影部分)利用镀金工艺双面上色(厚度忽略不计).已知镀金工艺是2元/cm?,试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费

用.

22.已知犬=1是函数g(x)=ox2_3办+2的零点,/3=乎

⑴求实数。的直、

3

(2)若方程川2「力+无-3%=0有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.

1.B

【分析】由集合U={x|0Vx<6,xeN}={0,l,2,3,4,5,6},在集合的补集和交集的运算,即可求解.

【详解】由集合U={x|0MxW6,却wN}={0J2,3,4,5,6}.

又由人={2,3,6}聿={2,4,5},所以。*={0,1,3,6}

则AcC*={3,6},故选B.

【点睛】本题主要考查了集合的混合运算问题,其中解答中熟记集合的交集和集合的补集的运算是解答的关键，着重考查

了推理与运算能力,属于基础题.

2.B

【分析】将存在量词命题转化为有解问题,再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可求解.

【详解】因为-X+Q<0.

91

所以A=4々>0,解得〃<].

所以(-00,1)[-00'；]

故“a<1”是“士eR,V-x+a<0”的必要不充分条件.

故选：B.

3.D

【分析】利用诱导公式可得cos(a+¥)==，再由二倍角余弦公式求cos卜a+苧].

124V6J

【详解】由sin(a--)=-cos[-+(a--)]=-cos(a+—)=—,BPcos(a+—).

12212124124

「(-2/5乃、7

又cos2a+——=2cos(ad-----)-1=——.

I6J128

故选：D

4.D

【分析】设经过X天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则(温[=2,然后利用对数的运算和题目所给的数据求出X的值

即可.

1.01

【详解】设经过尤天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则I=2.

099

,c1g21g2lg20.30100.3010

一箴一]121—1101-lgl01-lg99~2.0043-1.9956—0.0087

g0^99g99

故选：D.

5.D

【分析】将“X)整理为"X)=2-煮1，令g(x)=〃x)-2,由奇偶性定义可证得g(X)为奇函数厕g(x)1mx+g(x)1nln=o,

由此可求得M+根的值.

【详解】〃上^^£=212：1)41_二

''x2+lX+1X+1

■■■可令g(x)=/(x)_2=_^^4ljg(_x)=_^^=^^=_g(x).

，g(x)为定义在R上的奇函数,：.g(x)1mx+g(x)疝n=0.

贝!JAf—2+m一2=0,/.M+m=4.

故选：D.

6.B

【分析】先求出“X)的解析式，根据“X)在W上递增可得备再根据最大的负零点的范围可得言<9<g,

J_A.乙i"_L乙J

故可得夕的取值范围.

【详解】"x)=sin(2x—20).

令2%—20=左;r+],则工=与+?+夕,4eZ.

故》轴右侧的第一条对称轴为％=0+f，左侧第一条对称轴为

44

71、兀

(p+—>—

所以43,所以

夕-久0124

I4

令/(x)=0,贝!|2x—20=及左，故*=野+。，keZ.

口Ijj、r71已厂,57r71717171

最大的负零点为了=°-彳,所以一二<0-彳即nrl;7<夕<:.

21226123

综上，正故选B.

【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换，周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变量x作相应的变化，而且周期变

换和平移变换(左右平移)的次序对函数解析式的也有影响.三角函数图像问题中的参数的取值范围问题,常常需要结合

图像的对称轴和对称中心来考虑.

7.D

【分析】由己知结合对数函数的单调性即可比较大小.

【详解】因为32>23.

23

^^log23>log22,Bp21og23>3.

3

所以6=log23>5.

因为42<33.

3

所以1叫42<log33=3,即21og34<3.

3

所以。=log34<5.

同时C=log34>l.

3

所以l<c<不

2

而〃=logo20.3<1.

3

所以b>—>c>l>a.

2

故选：D.

8.C

【分析】分析出函数“X)的图象关于直线X=2对称，分析可知2为关于X的方程产(力+妙(x)+c=0的一根，求出

为+%+忍+%+%的值，即可得解.

【详解】令"=〃力,作出函数a=的大致图象.

当尤沪2时,/(4_力=坨|4_左_2|=坨|2_'=坨|尤―2|=/(%).

故函数〃尤)的图象关于直线x=2对称.

因为关于无的方程产(x)+妙(x)+c=0恰有5个不同的实数根.

则关于M的方程“2+6〃+C=0恰有两根，设为M],«2，且必有一根为1,设“2=1.

设方程％=/(尤)的两根分别为4,演，且西<々,则为+巧=4.

所以,%3+%4+工5=6,%+W+工3+兀4+/=1°•

因此〃10)=lg8=31g2.

故选：C.

9.AB

【解析】由不等式的性质,y=短的单调性及特殊值法，即可判断选项的正误.

【详解】A：由不等式性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式符号不变，即a+c<6+c,正确.

B：因为y=e*在定义域内为增函数，由题意知-a>-b,故有二"正确.

C：当c=0时,加二折,故错误.

D：当a<0<6时,！<.,故错误.

故选：AB.

10.ACD

对于A：根据幕函数的概念和性质解答，对于B：先求出定义域后即可判断，对于C：验证。=0,对于awO,求A<0即可,

对于D：利用换元法求函数值域.

A/Z2-in—1—1

【详解】对于A：\，解得机=-1,正确.

m<0

对于B：由％2—2x>0得了(%)的定义域为(―,。)(2,收),故单调区间不可能为(1,+8),错误.

对于C：当〃=0时=定义域为R,当a。0时，对于依+1,其A=〃2一4〃<0,解得。<々<4,综合〃£[0,4),正确.

对于D：令y/4—x=♦，贝Ux=4—产，且，NO.

则/(%)=g⑺=472+2，=—，2+2，+4,由二次函数的性质可得—5+2/+4£(-0),5],正确.

故选：ACD.

11.ACD

【分析】根据已知可得，(x+2)=-不可

=/(无)，即可得出A项,根据已知求出xe[0,1)时的解析式，进而根据周期性,

得出函数在[4,5)上的解析式,即可判断3项,根据人2的结论作出函数”外的图象以及8(力=1080/的图象,结合端点处

的函数值，结合图象，即可判断C项,先根据解析式，判断得出函数在[0,2)上单调递增，即可根据周期性，得出D项.

【详解】对于A项，由已知可得〃x+l)=-

所以〃x+2)=-不可=是周期为2

的周期函数，故A正确.

对于B项,Vxe[0,1),贝|x—1e[―1,0).

由已知可得,/(x—l)=2i.

又"x)=一〃x+i).

所以"1)二-焉"(吁£1p-卜-2：

又的周期为2,所以/'(x)=F(x—4).

Vxe[4,5),则x-4e[0,1),"x—4)=-/-)=-2-x+5.

所以,/(引=/(工-4)=-2--故3错误.

对于C项，由A,B可知，当-14x<0时,/(x)=2：

当xe[0,1)时,/(力=一2一，且的周期为2.

作出函数y=〃x)以及y=g(x)的图象.

y----------------

显然，当X<2时,“X)的图象与g(X)=log05x的图象没有交点.

又/（4）=〃2）=〃0）=-2,g（；2）=log（）52=-l,g（4）=logo54=-2=/（4）.

由图象可知,“X)的图象与g(x)=log05%的图象有两个公共点，故C项正确.

对于D项,Vxe［l,2),则x-2e［-l,0),〃x-2)=2K

又的周期为2,所以/(x)=/(%-2)=2"2在［1,2)上单调递增.

当xe［0,1)时,f(x)=-2一,显然f(x)=-在［0,1)上单调递增.

且/(l)=2T=g>_2i=-l.

所以,在［0,2)上单调递增.

根据函数的周期性可知,/(x)在(2022,2024)上单调递增.故D正确.

故选：ACD.

12.ABD

【分析】计算出定义域后，由fM=—+—=sinA+cosx，借助三角函数基本关系，可借助换元法设出新函数g«)=*

sinxcosxsinxcosxt—1

根据新函数的单调性即可研究D选项,结合函数对称性的性质可得A,B选项,结合函数周期性的性质可得C选项.

【详解】由sin犬w0,cosxwO,解得x。耳,左wZ.

所以/(x)的定义域为］xeR|xwg«eZ，.

20sin%+

11smx+cosx4.

"%）=----+----

sinxcosxsinxcosxsin2x

711

令sinx+cosx=A/2sinx+—=t厕sinxcosx=----

42

It2

令函数g«)="T.

71

当0<x<］时,sinx+cosx=y/lsinXH----|£

4

71

且函数〉=>/^sin尤在上单调递增，在上单调递减.

4

又因为函数y=在(1,拒］上单调递增.

t

1l

且y=f-->0在(1,71］上恒成立.

t

所以g。)在(1,血］上单调递减.

所以/(%)在(吟J上单调递减，在序勺上单调递增.

所以/(x)在上有最小值，且最小值为=2插,D正确.

2^/2sin［彳+x+：

2^2sin（手-%

sin2-----\-x

I4

2近sin（7i+x）2A/2sin（兀一x）-sinxsinx

----------------1----------------=0

sinf--2x-cos2x-cos2x

sin|—+2x

I2I2

所以人%)的图象关于点［］,0j对称,A正确.

2夜sin［一手+x+：

2A/2cosx

cos2x

sin21------Fx

I4

2V2sin［一手x+：）

sinzf---x

I4

2^/2cosxr(3兀)

一

所以7(X)的图象关于直线苫=-与对称,B正确.

因为/(X+TC)=—-r+——r=------—

sin(x+兀)cos(x+7t)sm尤cosx

所以兀不是/(x)的周期,C错误.

故选：ABD.

13.(—■—+2kjr,—+2kjr^,keZ

【分析】利用特殊值的三角函数值及三角函数线即可得到不等式的解集.

【详解】解：由cosg=；,cos，g］=；，结合三角函数线可知当-g+2%"<x<g+2A7T,左wZ时cosx>:

故答案为：f_—+2k/r,—+2k/r1,左£Z

【分析】由题意求出tana="将要求的式子化简为tan2a「2tana,求解即可.

3tana+1

cosa+sina小八八elm/口1+tan。八

【详解】-----------—=2分子分母同除cosa得,-------=2.

cosa-sm:a1-tana

解得：tana=；.

12

.2c.sin2cr-2sinacosatan2cr-2tan<7931

所以sina-2smacosa=----------------------=--------------------=——=——.

sina+cosatana+1，+]2

9

故答案为：-万

15.(HO,0)[l,+oo)

【分析】先求解出光之。时/(%)的值域，然后根据。=0M>0M〈0分类讨论XV。时/(%)的值域，由此确定出，的取值范

围.

【详解】当时,.f=-2兀+2=(%一1)2+1,此时/(x)e[l,+oo).

当a=0且x<0时,/(1)=%.

此时〃尤)£(-*。)，且(―⑼[1,y)WR,所以不满足.

当〃>0且无<0时,/(X)=%+3+3〃.

x

由对勾函数单调性可知〃无)在卜8,-后)上单调递增，在卜右,。)上单调递减.

所以〃龙)111ax=/卜&)=34-2&,此时〃尤)w(-<»,3a-2&].

若要满足f(x)的值域为R,只需要3a-2后21,解得a21.

当a<0且x<0时，因为y=尤,y=/均在(-8,0)上单调递增.

所以〃无)=%+9+3.在(-8,0)上单调递增,且犬-0吐〃》)f+00户--8时Y°.

所以此时〃龙)e(-o),小)，此时显然能满足f(x)的值域为R.

综上可知,。的取值范围是(-00,。)31，收),

故答案为：(YO,0)U[L+OO).

r5

16.1+—71

I3J

IT

【分析】根据已知可得正六边形与桌面相邻的边与桌面所成的角为I■，可得点尸第一次落在桌面上时，点尸走过的路程为:

TT

分别以A,%C为圆心,为半径，圆心角为g的弧长和,求出三段弧长，即可得出结论.

由正六边形的关系可得,AP=2,BP=6

IT

正六边形与桌面相邻的边与桌面所成的角为

点尸第一次落在桌面上时,点尸走过的路程为：

32+肉1)=(1+#)".

故答案为：(1+今9%.

17.(1)-1,(2)sin2尤+2sin"=型

1-tanx75

【分析】(1)先由同角三角函数关系，化切为弦，再利用辅助角公式，诱导公式，即可化简该式.

(2)由条件利用同角三角函数的基本关系求得tan(x+f),再将所求式化简为2cos2(x+f)-l]-tan(尤+/),代入即可计

算结果.

【详解】解:(1)tan70°cos10°(73tan200-1)

sin70°s。追sin20。一cos20。

二-----cos10--------------------------

cos70°cos20°

cos20°…2sin(20°-30°)

sin20°cos20°

-2sin10°cos10°

sin20°

=—1

/八/、3VinIn

(2)cos(—Fx)——,------<%<—

45124

兀/5万小、./万、4

xH—G(—,2TT),sin(xH—)=—.

4345

714

/.tan(xH—)=—

43

sin2x+2sin°x_2sinxcos尤(cosx+sinx)

1-tanxcosx-sinx

.八1+tanx

=sm2x-----------

1-tanx

_TC、.TC、

=—cos(z2x4—),tan(x—)

24

OTTTT

=-[2COS2(XH——)-1]-tan(x+—)

44

94

=-[2x——l]x(——)

253

28

75

【点睛】本题主要考查三角恒等变换及化简求值，涉及二倍角公式，辅助角公式，诱导公式，同角三角函数间的关系,属于中

档题.

18.(1)-1.

23

(2)——.

27

77

【分析】（1）根据给定条件可得〃=]+a,再利用诱导公式化简计算作答.

⑵由给定条件求出sina,cosa，再利用和角公式,倍角公式计算作答.

JI

sin(7i+a)cos(—+(3)

7TTT-sinacos(万+a)-sina(-cosa)

【详解I⑴依题意,£=5+研0＜。＜万）,所以

cos(7i-P)sin(夸+a)cos(^--a)(一cosa)sina(-cosa)

(2)因点A的横坐标为■而点A在第一象限，则点A(L述)，即有sina=2后1

------,cosa=一

3333-----------3

于是得sin2a—2sincccoscc——,cos2a—coscc—sinoc———.

99

.A•/万।、1c71、.2A/2

sinp=sin(—+a)=cosex=~,cosf3—cos(—+a)=—sincc-----——.

；匚1、【♦/cn\•cnrs•n4^/22^2123

所以sm(2o+p)=sin2acosp+cos2asinp=9P(----)+XJ~~27

19.⑴存在.

（2）在R上单调递增.

(3)m<2.

【分析】（1）根据奇函数的性质进行判断即可.

（2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断即可.

(3)根据函数的单调性和奇偶性进行求解即可.

【详解】(1)假设存在实数。使函数/(x)为奇函数.

22

止匕时/(-x)+/(x)=o-—+==

故存在实数。=1,使函数/(x)为奇函数.

(2)函数的定义域为R.

22(9_叫

\/占,々©R,且石〈尤2，/(%)一『(无2)=。--J

e』一e*<0,(e'1+l)(e*+1)>0,.'./(xj</(x2).

即函数/(x)在R上单调递增.

2

(3)当°=1时,〃x)=l-可.

〃x)是奇函数.

.,"(/(%))+/(3-m)>0o/(/(%))>-/(3-m)

=/(/(尤))>〃加一3).

又・.〃力在R上单调递增,.•"(x)>〃-3.

222

:.m<f(x]+3=4------，对VXGR恒成立，e*>0,/.ex+1>1,/.0<-------<2,/.2<4----------<4.t.m<2,

e^+lex+lex+l

【点睛】关键点睛：根据奇函数的性质是解题的关键.

20.(l)m=3

7T

【分析】(1)利用三角恒等变换公式将函数化简，再由X的取值范围，求出2x+m，即可求出函数值的取值范围，从而得解.

O

(2)首先得到平移后的函数解析式,再根据正弦函数的性质计算可得.

【详解】(1)因为/(x)=Gsin2%+2cos2x+m

-6sin2x+cos2x+m+l

\

si.nc2x+l—cos2cx+m+l

=2sin2x+—+m+l

I6

,小兀t-兀7T77r

当xe0,-时,2尤+芹

所以一：Vsin+g]V1,则机</(x)K机+3.

因为/(元)的最小值为3,所以机=3.

(2)由(1)得,/(x)=2sin(2x+k)+4.

将函数“X)向右平移:个单位得到y=2sin2£+4=2sin(2尤-1+4.

再向下平移4个单位，得到函数g⑺=2sin(2x-.

令2fal+—<2x——<—+Ikn,kEZ.

232

5TT1Ijr

贝Ukn-\----<x<-----kku,k$Z.

1212

即g(x)的单调递减区间为E++T,ke