2022-2023学年苏科版八年级数学上册《实数》章末重难点题型（原卷版）

专题复习实数章末重难点题型

言【题型目录】

考点一求一个数的算术平方根

考点二根据算术平方根的非负性解题

考点三平方根的应用

考点四求一个数的立方根

考点五立方根的应用

考点六实数的大小比较

考点七新定义下的实数运算

考点八与实数运算相关的规律题

W【考点一求一个数的算术平方根】

【例题1】已知方程组］：+2尸，的解满足x+y=2,则左的算术平方根为（）

\2x+y=2

A.±2B.2C.-2D.4

【变式「1】若一个三角形的三边长为3、4、x,则使此三角形是直角三角形的x的值是（

A.5B.6C.6或将D.5或V7

【变式『2】若x,＞满足（》-5）2+77言=0,则的算术平方根为.

【变式『3】若单项式-5//"+"与2022工》"/可以合并成一项，则加-7〃的算术平方根是一

【变式1-4］已知。的平方根为±3,的算术平方根为2.

（1）求。，6的值；

⑵求。+26的平方根.

【考点二根据算术平方根的非负性解题】

【例题2］已知g+|6-l|=0,那么3+6）2侬的值为（）

A.-1B.1C.32022D.-32022

【变式2-1］若实数x满足行万•|x+l|40,则（）

A.x=2或一1B.2>x>—1C.x=2D.x=11

【变式2-2】已知：K斤+/+4y+4=0，那么x+P的值等于.

【变式2-3］若x,y为实数，且田一2|+51=0,则(x+力刈'的值为.

【变式2-4］已知：|0+2|+而1=0，

⑴求0,6的值；

(2)先化简，再求值：a(a+36)-(a-26)2+46。

W【考点三平方根的应用】

【例题3】如图，面积为7的正方形的顶点N在数轴上，且表示的数为1,若点£在数轴上(点E

在点4的右侧)，且45=4£,则点E所表示的数为()

A.V7B.c.1+V7D.疗+2

2

【变式3-1】已知V^N-4.858,VZ36^1.536,则-J236000p()

A.-485.8B.-48.58C.-153.6D.-1536

【变式3-2】一个正数的平方根分别是-x+1和2x+5,则这个正数是

【变式3-3］如图，在3x3的方格纸中，有一个正方形/3C。，这个正方形的边长是

【变式3-4］如图，用两个边长为反cm的小正方形拼成一个大的正方形.

⑴求大正方形的边长:

(2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3,且面积为48

cm2?

W【考点四求一个数的平方根】

【例题4】如表是李小聪的数学测试答卷，他的得分应是()

姓名：李小聪得分：？

填空(每小题20分，共120分)

£

①-0.5的绝对值是(万).

②2的倒数是(-2).

③-0.8的相反数是(0.8).

④-1的立方根是(-1).

⑤算术平方根是它本身的数是(1).

⑥痫的算术平方根是(8).

A.120分B.100分C.80分D.60分

【变式4-1］按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64,则输出的丁的值是()

是无理数

是有理数

A.V2B.V3C.啦D.^3

【变式4-2］如图，数轴上点/表示的数为x,则/一13的立方根是.

【变式4-3］据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有

一道智力题：一个数是59319,希望求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.邻座的乘客十分惊奇，忙问计算

的奥秘.华罗庚给出了如下方法(1)由1()3=1000,10()3=1000000,确定至59319是两位数(2)由59319

个位上的数是9,确定」59319个位上的数是9；(3)划去59319后面的三位319得到59,而3，=27,

43=64,由此确定病杀十位上的数是3.请你类比上述过程，确定21952的立方根是.

【变式4-4］如图，a,b,c是数轴上三个点/、B、C所对应的实数.

BA0

（1）将a,b,c,0由大到小排列（用“>”连接）；

（2）a-60；j______o（填写“>"，"="，“<”）

⑶试化简：f+'（々+域-1（c-bj

L【考点五立方根的应用】

【例题5】有一个数值转换器，流程如下:

是

无

理

数

是有理数

当输入的X值为64时，输出的y值是（）

A.4B.V2C.2D.V2

【变式5-1】已知机一/=1一片,贝的值为（）

A.±72B.0或±1C.0D.0,±1或土收

【变式5-2］如图1,这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64.把正方形/BCD放到数轴上,

如图2,使点A与-2重合，那么点。在数轴上表示的数为

图1图2

【变式5-3】我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319,希望求它的立方根.

解答：・•・1()3<59319<10()3,.,.W59319是两位整数;

•••整数59319的末位上的数字是9,而整数0至9的立方中，只有93=729的末位数字是9,W59319的末

位数字是9；

又•••划去59319的后面三位319得到59,而3〈病<4,

・•・•59319的十位数字是3

•••#59319=39；

【应用】3(2x-l)3+59049=0,其中x是整数则x的值为.

【变式5-4］你知道怎样迅速准确地计算出195112的立方根是多少吗？请按照下面的问题试一试:

（1）由ICT3=1000,1003=1000000,推出%95112是位数;

(2)由195112的个位数是2,推出班95112的个位数是:

(3)如果划去195112后面的三位112,得到195,而5，=125,63=216,推出%95112的十位数是

,所以，#195112=

【考点六实数的大小比较】

【例题6】已知4,“2，。3，.♦.，。2022土匀负数，则M=（4+Cl?+。3+，，，+。2021）（“2+“3+，，，+“2022），

N=（%+&+。3H----+。2022）（〃2+。3T+。2021），则"与N的大小关系是（）

A.M=NB.M>NC.M<ND.无法确定

【变式6-1］如图1和2,两个圆的半径相等，Q、Q分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为$,

图2中的阴影部分面积为S，那么&与刈之间的大小关系是(）

C.Sj>S2D.不能确定

【变式6-2】比较大小：警—£.(填“"或“<”)

【变式6-3］己知加也c}表示取三个数中最小的数.例如：当》=-2时，min{|-2|,(-2)2,(-2)3)=-8,

当minx?}=时，则》=

【变式6-4】阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数。和6比

较大小，有如下规律：若。-6>0,贝若a-b=0,则a=b；若。-6<0,贝！j,上面的规律，反过来

也成立.课上，通过老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的.参考小明发现的规律，解决问

题：

⑴比较大小：3.3+75710+75；(填或">")

(2)已知x+2y-2=0,且若N=y-5刈+1,B=-5xy+1y,试比较/和2的大小.

W【考点七新定义下的实数运算】

—a（a>b］［b（a>b］

【例题7】对任意两个实数a,6定义两种运算：°㊉—°<汗，极7=并且定义运算顺序仍

然是先做括号内的，例如（-2）㊉3=3,（-2）03=-2,［（-2）©3］02=2,那么（退㊉2）⑤际的值为（）

A.2B.V5C.3D.3#>

【变式7-1】规定不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作出，例如［9.85］=9,［3］=3,

［厢］=3.下列说法：①［4-拒］=2；②［比卜［近卜［君卜.-+［晒卜［同］=54；③

［ja+1］=［6］+1为正整数）；④若"为正整数，且［屈］=屈，则〃的最小值为6,其中正确说

法的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式7-2］对于任何实数。，可用表示不超过。的最大整数，如［4］=4,［亚］=1,则

【变式7-3］如果无理数加的值介于两个连续正整数之间，即满足。<加<6（其中。、6为连续正整数），

我们则称无理数加的“雅区间”为例:2<V5<3,所以指的“雅区间”为（2,3）.若某一无理数的“雅

区间”为（d6）,且满足3<G+6W13,其中x=b,y=&是关于x、了的二元一次方程组■+即=p的一

组正整数解，则「=.

【变式7-4】阅读下列材料，并回答问题：

人们把形如“+6而与a-丽（。，6为有理数且6不等于0,为正整数且开方开不尽）的两个数称为共

物实数

（1）请你举出一对共轨实数

（2）3后与2道是共朝实数吗？-26与2省是共朝实数吗？

（3）共朝实数a+b而与a—昉是有理数还是无理数？

(4)你发现共轨实数a+b4m与Q-昉的和，差是有理数还是无理数？

W【考点八与实数运算相关的规律题】

【例题8】有一列数为,a2,a3,&，a„,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒

数的差，若4=2,则出必的值为()

A.2B.-1C.yD.2021

【变式8T】若%=1+%+—,a?=1+*+*,=1+*+"，&=1+好+则

J4+1a?+1CI3+•'..+Mm的值为()

2021-2022-2022“2021

A.2021-------B.2023-------C.2022-------D.2022------

2022202320232022

【变式8-2】观察下列各式：

JT+.1+2,*+:=1+达,$+*9=1+去,……

请利用你所发现的规律，计算苗+J+J+,+J+[+J+……+仙•d?，其结果为

【变式8-3】将1、及、石、几按如图方式排列.若规定(m,n)表示第机排从左向右第〃个数，则

(5,4)与(12,3)表示的两数之和是.

1第1排

VI万第2排

传1VT第3排

<61VT第4排

>1~61乃仃第5排

【变式8-4】已知611£

??

22^3~233^434

⑴观察上式得出规律，则焉-------------1-

+1)

(2)若Na-1+y/ab-2=0,求〃、6的值.

1111

⑶由(2)中“、6的值‘求益+g+i)优+1)+(.+2)优+2)+…+(a+2014)修+2014)的值，

八【亮点训练】

1.行、迎1|的大小关系为()

A.V2<^3<1-B.1-<V2<V3

55

C.V2<1-<V3D.^/3<1-<V2

55

2-下列运算中，①旧|=±j|'②J(-2)2=2，③=-岳=-2,④，+；=：+；=；.错误的

有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.下列说法：（1）任何一个数都有两个平方根，它们互为相反数；（2）数。的平方根是土及；（3）-4的

算术平方根是2；（4）负数不能开平方；（5）土闹=8,其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出的y的值为（）.

A.4B.V2C.2D.1

5.如图，。尸=1,过点尸作第，QP且西=1,得。＜=近；再过点月作他，密且65=1,得

OP2=0又过点鸟作且6A=1,得利=2…依此法继续作下去，得0/^9等于()

A.V2017B.J2018C.J2019D.J2020

若（。-1）2+。-9|=0,则£=

7.已知-27=0.

(1)x的值为；

(2)x的算术平方根为.

8.南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法.其理论依据

是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和4(即有2Vx＜4,其中a,b,c,d为正整数)，则

acac

*是芯的更为精确的近似值.例如：已知之＜兀＜=，则利用一次“调日法'’后可得到兀的一个更为精

a+c507

157+2217917917922

确的近似分数为“「由于一土3.1404〈兀，再由"＜兀＜=，可以再次使用“调日法”得到兀

的更为精确的近似分数胃.现已知：＜近＜|,则使用两次“调日法”可得到后的近似分数为.

9.若符号[a,6]表示a,b两数中较大的一个数，符号(a,b)表示a,6两数中较小的一个数，则计算

23一

(1,-2)-的结果是.

10.高斯是德国著名数学家，被公认的世界最著名的数学家之一，享有，数学王子”的美誉，用其名字命名的

“高斯函数"：函数y=[x],也称为取整函数，即[幻表示不大于x的最大整数，如[25]=-3,[3.14]=3,根据这

个规定：

(1)[-V5+l]=；

(2)若[三]=2022,则x的取值范围是.

11.实数。，b,c在数轴上的对应点如图所示，其中。是原点，且回3c|；

化简：4(b-a)?-|a+c|+y|(c-b)2

baO

12.(1)已知后=x,6=2,z是9的算术平方根，求2x+y-5z的值；

(2)已知J2