2025年九年级中考数学复习新定义试题集-能力提高

2025年九年级中考数学复习新定义试题集—能力提高（4）1.阅读材料：我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．完成下列各小题．（1）若a⊕b＝1，a⊕2b＝﹣5，分别求出a和b的值；（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．2.请你根据右框内所给的内容，完成下列各小题．（1）若m⊕n＝1，m⊕2n＝﹣2，分别求出m和n的值；（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．3.平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．（1）求该抛物线的顶点P的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．4.在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−2（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，5①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数5.在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（）．A． B．1 C．0 D．26.【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：设x＝m+1①，y＝﹣m+1②由①得m＝x﹣1③将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．【迁移应用】在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线．请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．ⅰ）试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．7.定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足为正数），则称方程与方程是“差解方程”．（1）请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”；（2）若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值；（3）若关于的方程，与关于的方程是“差解方程”，试用含的式子表示．规定，则的值是_________．9.在平面直角坐标系中，已知点A(x，y)，点B(x﹣my，mx﹣y)（其中m为常数，且m≠0），则称B是点A的“m族衍生点”．例如：点A(1，2)的“3族衍生点”B的坐标为(1﹣3×2，3×1﹣2)，即B(﹣5，1)．（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为；（2）若点A的“3族衍生点”B的坐标是(﹣1，5)，则点A的坐标为；（3）若点A(x，0)（其中x≠0），点A的“m族衍生点“为点B，且AB＝OA，求m的值；（4）若点A(x，y)的“m族衍生点”与“﹣m族衍生点”都关于y轴对称，则点A的位置在．10.如图1，菱形ABCD中，，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线运动到点D．图2是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是（

）A．2 B．2.5 C．3 D．11.在平面直角坐标系中，将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为，则m的值为___________．12.定义：在△ABC中，若有两条中线互相垂直，则称△ABC为中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做△ABC的方周长，记作L，即L＝AB2+BC2+CA2．（1）如图1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，若AC＝BC，求证：△AOB是等腰直角三角形；（2）如图2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD于点O，试探究△ABC的方周长L与AB2之间的数量关系，并加以证明；（3）如图3，已知抛物线y＝与x轴正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的直线与该抛物线相交于点C，与x轴负半轴相交于点D，且BD＝CD，连接AC交y轴于点E．①求证：△ABC是中垂三角形；②若△ABC为直角三角形，求△ABC的方周长L的值．13.如图，数轴上点A表示的数为-3，点B表示的数为4，阅读并解决相应问题．（1）问题发现：若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n节点”．如图1，若点P表示的数为1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为4+3=7，则称点P为点A、B的“7节点”．填空：①若点P表示的数为，则n的值为；②数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为A、B的“7节点”，则这样的整点P共有个．（2）类比探究：如图2，若点P为数轴上一点，且点P到点A的距离为1，请你求出点P表示的数及n的值．（3）拓展延伸：若点P在数轴上运动不与点A、B重合，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的，且此时点P为点A、B的“n的节点”，请写出点P表示的数及n的值．14.对于非零的两个实数，，定义一种新运算“”，规定，若，则的值为11．15.【理解概念】如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，矩形ABDE即为△ABC的“矩形框”．（1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的；（2）钝角三角形的“矩形框”有1个；【巩固新知】（3）如图①，△ABC的“矩形框”ABDE的边AB＝6cm，AE＝2cm，则△ABC周长的最小值为（6+2）cm；（4）如图②，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，求△ABC的“矩形框”的周长；【解决问题】（5）如图③，锐角三角形木板ABC的边AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，求出该木板的“矩形框”周长的最小值．16.在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DE为△ABC的中内弧．例如，下图中DE是△ABC的一条中内弧．（1）如图，在Rt△ABC中，AB=AC=22，D，E分别是AB，AC的中点．画出△ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时（2）在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(0,0)，C(4t,0)(t>0)，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t=12，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心②若在△ABC中存在一条中内弧DE，使得DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．17.定义一种新的运算：当a≤b时，a*b＝a＋b；当a＞b时，a*b＝2a－b；例如：1*4＝1＋4＝5，那么：①计算：（－3*2）*（－1）＝__________；②若（3*x）*3＝23，则x＝__________18.如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（）A．A（4，30°） B．B（1，90°） C．D（4，240°） D．E（3，60°）19.观察下列两行数：0，2，4，6，8，10，12，14，16，…0，3，6，9，12，15，18，21，24，…本号资料皆来*源于微信公众号：*数学第六感探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n个相同的数是102，则n等于（）A．20 B．19 C．18 D．1720.对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，例如：（1，3）⊗（2，4）＝1×4﹣2×3+2＝0．（1）求（﹣2，1）⊗（3，5）的值；（2）求（2a+1，a﹣2）⊗（3a+2，a﹣3）的值，其中a2+a+5＝0．21.）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．22.在有理数范围内定义运算“☆”：☆，如：1☆．如果2☆☆成立，则的值是A． B．5 C．0 D．223.新定义一种运算：a*b＝，则（﹣2）*3＝．24.三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__________．25.【问题提出】如图1，⊙O与直线a相离，过圆心O作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙O于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙O关于直线a的“远点”，把PQ•PH的值称为⊙O关于直线a的“远望数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），过点E画垂直于y轴的直线m，则半径为1的⊙O关于直线m的“远点”坐标是（0，﹣1），直线m向下平移3或5个单位长度后与⊙O相切．（2）在（1）的条件下求⊙O关于直线m的“远望数”．【拓展应用】（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（6，0），与y轴交于点N，点F坐标为（1，2），以F为圆心，OF为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，O是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“远望数”是12，求直线l的函数表达式．26.在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay）（其中a为常数），则称点Q是点P的“a级关联点”、例如，点P（1，4）的“3级关联点”为点Q（3×1+4，1+3×4），即点Q（7，13）．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，求点B的坐标；在平面直角坐标系中，已知点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N，且点N位于x轴上，求点N的坐标．1.【分析】（1）根据新运算，得到方程组，解方程组即可求解；（2）根据新运算，得到不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）根据题意，得4a−3b=14a−3×2b=−5解得：a=7∴a和b的值分别为a=74，（2）根据题意，得4m−3×2≤04×3m−3×(−8)＞0解得：−2＜m≤3∴m的取值范围−2＜m≤32.【分析】（1）根据新定义列出关于m、n的方程组，解之可得；（2）根据新定义列出关于m、n的不等式组，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：4m−3n=14m−6n=−2解得：m=1n=1（2）根据题意，得：4m−6≤012m+24＞0解得：﹣2＜m≤3故m的取值范围是﹣2＜m≤33.【答案】（1）P（2）0<a<5（3）＜【解析】【分析】(1)把抛物线代入顶点式为，即可求顶点坐标；(2)抛物线与y轴的交点，横坐标为O，即坐标为，根据已知条件，即可求a的取值范围为0<a<5；(3)根据已知、、、有且只有一个大于0，即其余的小于或等于0，由对称轴为开口向上，可以得出＞=＞，根据>0，，可以求出a的范围．即可以写出符合条件的函数解【详解】解：(1)∵抛物线的方程为∴抛物线顶点坐标为；(2)∵为抛物线与y轴的交点，∴点坐标为，由线段上的整点个数小于4，则可知a-1<4,a<5，抛物线的开口向上，故a的取值范围为0<a<5；(3)已知、、、有且只有一个大于0，（即其余的小于或等于0）由题可知该函数对称轴为，开口方向向上，故有＞=＞，∴>0，∴得，∴，∴，∴；∴，得，取；∴∴a的取值范围为＜．【点睛】本题考查二次函数的应用，解本题关键熟练掌握二次函数由一般式转为顶点式，抛物线的性质解不等式等．4.【分析】（1）设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；（2）将点（52，52）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac＝0，两个方程联立即可求a、②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，则3≤m≤5时满足题意．【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），∴2x+1＝x，解得x＝﹣1，∴和谐点为（﹣1，﹣1）；（2）①∵点（52，52）是二次函数y＝ax2+6x+c（∴52=254∴c=−254a∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，本号资料全部来源于微信公众号：数学*第六感∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，∴Δ＝25﹣4ac＝0，∴a＝﹣1，c=−25②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．5.【答案】C解：由题意知：，又，∴，∴．故选：C．6.【分析】（1）设x＝﹣a，y＝﹣a2﹣a+3，可得y＝﹣x2+x+3；（2）ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，由k＝（2+h）2，可得y＝（x+2）2；ⅱ）C（2，4）在y＝（x+2）2上，则C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；设C'（m，m2+m+1），当AC'＝CC'时，C（﹣4﹣2，6+2）；当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧不符合题意．【解答】解：（1）设x＝﹣a①，y＝﹣a2﹣a+3②，由①得a＝﹣x③，∴y＝﹣x2+x+3；（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴C（2，4），令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，∴C'（h，k），∵经过点A（﹣2，0），∴k＝（2+h）2，令x＝h，y＝k＝（2+h）2，∴y＝（x+2）2；ⅱ）存在点C'，使△ACC'为等腰三角形，理由如下：∵C（2，4）在y＝（x+2）2上，∴C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；设C'（m，m2+m+1），当AC'＝CC'时，（m+2）2+（m2+m+1）2＝（m﹣2）2+（m2+m+1﹣4）2，解得m＝﹣4﹣2或m＝﹣4+2（舍），∴C（﹣4﹣2，6+2）；当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧，此时不符合题意；综上所述：（﹣6，4）或（﹣4﹣2，6+2）．7.【解答】解：（1）的解为，的解为，，关于的方程与关于的方程是“2差解方程”；（2）方程的解为，方程的解为，两个方程是“差解方程”，，，或；（3）方程的解为，方程的解为，两个方程是“差解方程”，，，或．8.【答案】【分析】根据规定列出算式，再分母有理化，利用乘法公式计算．【详解】解：根据题意得：．故答案为：．【点睛】此题属于新定义运算，考查了二次根式的运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．9.【答案】（1）(2，4)；（2）(2，1)；（3）m＝±1；（4）y轴上【分析】（1）利用“m族衍生点”的定义可求解；（2）设点A坐标为（x，y），利用“m族衍生点”的定义列出方程组，即可求解；（3）先求出点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），由AB＝OA，可求解；（4）先求出点A（x，y）的“m族衍生点”为（x﹣my，mx﹣y），点A（x，y）的“﹣m族衍生点”为（x+my，﹣mx﹣y），由轴对称的性质可求x＝0，即可求解．【详解】解：（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为（2﹣2×0，2×2﹣0），即（2，4），故答案为（2，4）；（2）设点A坐标为（x，y），由题意可得：，∴，∴点A坐标为（2，1）；（3）∵点A（x，0），∴点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），∴AB＝|mx|，∵AB＝OA，∴|x|＝|mx|，∴m＝±1；（4）∵点A（x，y），∴点A（x，y）的“m族衍生点”为（x﹣my，mx﹣y），点A（x，y）的“﹣m族衍生点”为（x+my，﹣mx﹣y），∵点A（x，y）的“m族衍生点”与“﹣m族衍生点”都关于y轴对称，∴，∴x＝0，∴点A在y轴上，故答案为：y轴上．【点睛】本题主要考查新定义问题，平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，准确根据题意解题是关键．10.【答案】D【分析】根据图一图二中的数据即可作出判断．【详解】如图二可知，当时两点停止运动，∴点P从点A运动到点B用了4秒，∴，∵点Q运动到点C之前和之后，面积算法不同，即时，S的解析式发生变化，∴图2中点M对应的横坐标为2，此时P为AB中点，点C与点Q重合，连接AC，如图所示∵菱形ABCD中，，∴是等边三角形，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了动点函数的图象，解决本题的关键是菱形的边长．11.【答案】【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入，即可求出m的值．【详解】解：将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，即，∴平移后的直线与x轴交于，∴，解得，故答案为．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．12.【分析】（1）先利用“SAS“证明△BAD≌△ABE，然后根据△ABC是中垂三角形即可证明；先判断出AC＝2AD，BC＝2BE，再利用勾股定理，即可得出结论；（3）①利用二次函数先求出点B、点A和点C的坐标，然后根据点A和点C的坐标确定E是AC的中点，最后根据中垂三角形的定义即可证明；②先由点A（4，0），B（0，﹣2a），C（﹣4，2a）的坐标得到kAB＝a，kAC＝﹣a，kBC＝﹣a，然后分情况讨论即可求解；或结合射影定理分情况讨论进行求解即可．【解答】（1）证明：AC＝BC，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，∴AD＝BE，∠BAD＝∠ABE，∴△BAD≌△ABE（SAS），∴∠ABD＝∠BAE，∴OA＝OB．∵△ABC是中垂三角形，且AC＝BC，∴∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形．（2）L＝6AB2．证明：如图，连接DE．∵AE，BD分别是边BC，AC上的中线，∴AC＝2AD，BC＝2BE，DE＝AB，∴AC2＝4AD2，BC2＝4BE2，DE2＝AB2．在Rt△AOD中，AD2＝OA2+OD2，在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，∴AC2+BC2＝4（AD2+BE2）＝4（OA2+OD2+OB2+OE2）＝4（AB2+DE2）＝4（AB2+AB2）＝5AB2，∴L＝AB2+AC2+BC2＝AB2+5AB2＝6AB2．（3）①证明：在y＝中，当x＝0时，y＝﹣2a，∴点B（0，﹣2a）．y＝0时，＝0，整理得3x2﹣4x﹣32＝0，解得x1＝﹣（舍），x2＝4，∴点A（4，0）．∵BD＝CD，yC＝﹣yB＝2a，将y＝2a代人y＝，解得x1＝（舍），x2＝﹣4，∴C（﹣4，2a）．由点A（4，0），C（﹣4，2a）可知，E是AC的中点．又∵BD＝CD，∴AD，BE都是△ABC的中线．又∵∠AOB＝90°，∴AD⊥BE，∴△ABC是中垂三角形．②解法一：由点A（4，0），B（0，﹣2a），C（﹣4，2a）可得kAB＝a，kAC＝﹣a，kBC＝﹣a，∵∠C＜∠AOB，∴∠C≠90°．当∠ABC＝90°时，kAB•kBC＝﹣1，解得a＝（负值舍去），∴点B（0，﹣2），∴L＝6AB2＝6×24＝144．当∠BAC＝90°时，kAB•kCA＝﹣1，解得a＝2（负值舍去），∴点B（0，﹣4），∴L＝6AB2＝6×48＝288．综上所述，△ABC的方周长L的值为144或288．解法二：由点A（4，0），B（0，﹣2a），C（﹣4，2a），∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，∴点D（﹣2，0），E（0，a）．∵∠C＜∠AOB，∴∠C≠90°．当∠ABC＝90°时，在△ABD中，由射影定理得OB2＝OA•OD，∴4a2＝8，解得α＝（负值舍去），∴点B（0，﹣2），∴L＝6AB2＝6×24＝144．当∠BAC＝90°时，在△ABE中，由射影定理得OA2＝OB•OE，∴16＝2a2，解得a＝2（负值舍去），∴点B（0，﹣4），∴L＝6AB2＝6×48＝288．综上所述，△ABC的方周长L的值为144或288．13.【答案】（1）①7；②8；（2）点P表示的数为：-4，n=9，或点P表示的数为：-2，n=7；（3）P表示的数为25，n=49，或P表示的数为1，n=7.【解析】解：（1）①∵点P表示的数为-2，∴点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+6=7∴点P为点A、B的“7节点”∴n=7故答案为：7；②设出点P表示的数为x∴点P到点A的距离为：，点P到点B的距离为：当x>4时，，不符合题意；当时，，符合题意当时，，不符合题意；∵P为整点∴P表示的数为：-3或-2或-1或0或1或2或3或4∴整点P共有8个故答案为：8；（2）∵点P到点A的距离为1，点A表示的数为-3，∴点P表示的数为：-4或-2当点P表示的数为：-4时，n=9；当点P表示的数为：-2时，n=7；（3）设点P表示的数为x由题意，得解得：x=1或x=25即P表示的数为25或1当P表示的数为25时，n=49当P表示的数为1时，n=7．14.【解答】解：，故答案为：11．15.【分析】（1）利用同底等高的面积关系求解即可；（2）根据钝角三角形垂线的特点进行判断即可；（3）作A点关于DE的对称点F，连接BF，则△ABC周长≥AC+BF，求出BF+AC即可求解；（4）以三角形三边分别为矩形的一边作“矩形框”，分别求出周长即可；（5）以三角形三边分别为矩形的一边作“矩形框”，分别求出周长，取最小值即可．【解答】解：（1）∵S△ABC＝×AB×AE，S矩形ABDE＝AB×AE，∴S△ABC＝S矩形ABDE，故答案为：；（2）由定义可知，钝角三角形以钝角所对的边为矩形一边，能够构造出一个“矩形框”，故答案为：1；（3）如图①，作A点关于DE的对称点F，连接BF，∴CF＝AC，∴AC+BC≥BF，∴△ABC周长＝AB+AC+BC≥AC+BF，∵AB＝6cm，AE＝2cm，在Rt△ABF中，BF＝2，∴△ABC周长的最小值（6+2）cm，故答案为：（6+2）；（4）如图②﹣1，以AB边为矩形一边时，作“矩形框”ABDE，∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm，∵S△ABC＝×3×4＝×5×AE，∴AE＝，∴矩形ABDE的周长＝2×（5+）＝（cm）；如图②﹣2，以BC边为矩形一边时，作“矩形框”BCAF，∴矩形BCAF的周长＝2×（3+4）＝14（cm）；同理，以AB为矩形一边时，“矩形框”的周长为14cm；综上所述：△ABC的“矩形框”的周长为cm或14cm；（5）如图③﹣1，以AB为一边作“矩形框”ABDE，过点C作CG⊥AB交于G，∴CG2＝AC2﹣AG2＝BC2﹣BG2，AG+BG＝AB，又∵AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，∴AG＝9cm，BG＝5cm，∴CG＝12cm，∴“矩形框”ABDE的周长＝2×（14+12）＝52cm；如图③﹣2，以BC为一边作“矩形框”BCNM，过点A作AH⊥CB交于H，∵S△ABC＝×CG×AB＝×12×14＝×AH×BC，∴AH＝cm，∴“矩形框”BCNM的周长＝2×（13+）＝cm；如图③﹣3，以AC为矩形一边，作“矩形框”ACTS，过点B作BK⊥AC交于点K，∵S△ABC＝×CG×AB＝×12×14＝×BK×AC，∴BK＝cm，∴“矩形框”ACTS的周长＝2×（15+）＝cm；∵＜52＜，∴该木板的“矩形框”周长的最小值为cm．16.【答案】（1）π；（2）①P的纵坐标yp≥1或yP≤【解析】【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，DE的长即以DE为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，，①当t=12时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；【详解】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧DE，就是△ABC的最长的中内弧DE，连接DE，∵∠A=90°，AB=AC=22，D，E分别是AB，AC的中点，∴BC=AC∴弧DE=1（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当t=12时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），设P12,m∵OA=OC，∠AOC=90°∴∠ACO=45°，∵DE∥OC∴∠AED=∠ACO=45°作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF=1根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；∴m⩽综上所述，m⩽1②图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM=3∴Pt,∵DE∥BC∴∠ADE=∠AOB=90°，∴AE=∵PD=PE，∴∠AED=∠PDE∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，∴∠DAE=∠ADP∴AP=PD=PE=由三角形中内弧定义知，PD≤PM∴12AE⩽3∵t>0【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．17.【答案】或【分析】根据题意定义的新运算，根据有理数混合运算法则计算即可．【详解】解：根据题意运算：①（－3*2）*（－1）＝*（－1）＝*（－1）＝＝＝；②当时，（3*x）*3＝23，即，解得：，当时，（3*x）*3＝23，即，解得：，综上：或，故答案为：；或.【点睛】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，读懂题意，熟练掌握有理数混合运算法则是解本题的关键．18.【答案】C【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别写出坐标（5，30°），（2，90°），（4，240°），（3，300°），即可判断．【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，由题意可知、、、的坐标可表示为：（5，30°），故A不正确；（2，90°），故B不正确；（4，240°），故C正确；（3，300°），故D不正确．故选择：C．【点睛】本题考查新定义坐标问题，仔细分析题中的C、F两例，掌握定义的含义，抓住表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数是解题关键．19.【答案】C【分析】根据前4个相同的数归纳类推出一般规律，由此即可得．【解析】由题意得：第1个相同的数是，第2个相同的数是，第3个相同的数是，第4个相同的数是，归纳类推得：第个相同的数是（为正整数），若第个相同的数是102，则，解得，故选：C．20.【分析】（1）根据（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，可以求得所求式子的值；（2）根据（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，先将所求式子化简，然后再根据a2+a+5＝0，可以得到a2+a＝﹣5，再代入化简后的式子计算即可．【解析】（1）∵（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，∴（﹣2，1）⊗（3，5）＝（﹣2）×5﹣1×3+2＝（﹣10）﹣3+2＝﹣11；