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文档简介

向量组及其线性组合3.2.1、向量组与矩阵定义3.2.1

n个有次序的数所组成的数组称为n维向量.记为：或

n维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示。

n维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示。注意

１.行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；

２.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；

３.当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。例如是一个三维向量组。是一个四维向量组。向量组与矩阵的关系向量组称为矩阵的列向量组。记为：向量组

：这时，矩阵也可记为：向量组,,…，称为矩阵A的行向量组。3.2.2线性组合与线性表示定义3.2.4（1）线性组合就是向量组A的一个线性组合。例如定义3.2.4（2）给定向量组和另一个向量，如果存在一组数，使则称向量可由向量组线性表示。显然，零向量可由任何向量组线性表示。定理3.2.1：向量可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩。例3.2.5设判断：能否由向量组线性表示，若能求出线性表达式解：由于，所以能由线性表示。设同解方程组为取为自由未知量，得令取任意常数，因此有练习1设证明：可由线性表示，并求表达式而不可由线性表示。答案：练习2设且可由线性表示，求解：因此3.2.3向量组的等价设有两个向量组和若向量组中的每一个向量都可由向量组线性表示，则称向量组能由向量组线性表示。定理3.2.3向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是定义3.2.5若向量组和向量组能够相互线性表示，则称这两个向量组等价。向量组等价也有以下三个性质：（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性推论：3.2.1向量组和向量组等价的充分必要条件是例3.2.6设证明：与等价证：显然，又故所以，和等价。四、小结（1）可由线性表示向量方程有解（2）向量组可由向量组

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