经济数学课件：导数与微分

1《高等数学》

导数与微分3本章主要内容§2.1导数的概念§2.2函数的求导法则§2.3隐函数及参数方程的导数§2.4高阶导数§2.5函数的微分及其应用4学习目标

理解导数的概念,了解导数在几何上、经济上的实际意义，会用导数的定义求一些简单函数的导数。会求曲线上一点处的切线方程和法线方程。熟练掌握基本初等函数的求导公式；熟练掌握导数的四则运算法则；熟练掌握复合函数的求导法则；了解高阶导数、隐函数概念并能计算。理解函数微分的定义，会用微分的运算法则和一阶微分形式不变性求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用。5§2．1导数的概念导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.微积分学的创始人:英国数学家Newton德国数学家Leibniz一、引例

例1求曲线切线的斜率．割线的斜率是切线的斜率思考?1)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?2)既然不能描述运动员的运动状态,那我们应该用什么来描述呢?瞬时速度3)如何求运动员的瞬时速度?8一、引例例2、求变速直线运动的瞬时速度物体在时段内的平均速度物体在时刻的瞬时速度9二、导数的定义定义1设当

时，

在点

的某个邻域内有定义,当

在点

处有增量

仍在该邻域内)时，在点

存在，

处可导，并称这个极限值为在点处的导数，记作则称10即在点

，．如果上述极限不存在，则称

处不可导．有了导数的概念，前面讨论的两个实例可以表示为：

(1)变速直线运动的瞬时速度

(2)曲线在某点处的切线斜率

11单侧导数（1）左导数（2）右导数结论：例3求在点和

处的导数．

解给自变量在

处以增量

，对应的函数的增量是

两个增量之比对上式两端取极限，得类似地，可求得

定义2如果在区间内的每一点都有导数，在区间内可导．这时，对于区间

则称函数内每一点,都有一个导数值

与它对应．因此

是的函数，称为

的导函数，记作

即

上述结果中，由于可以是(-∞，+∞)内的任意值因此

在(-∞，+∞)内的任意点都存在导数三、基本导数公式例4求函数

的导数．解：即这就是说，常数的导数等于零．用定义求导数，可分为以下三个步骤：(1)求增量(2)算比值(3)取极限15解16例8求函数的导数．例6求函数(>0，≠0)的导数．．例7求函数(>0，≠0)的导数17基本导数公式(1)(C)

0

(2)(xm)

m

xm

1

(3)(sinx)

cosx

(4)(cosx)

sinx

(5)(tanx)

sec2x

(6)(cotx)

csc2x

(7)(secx)

secx

tanx

(8)(cscx)

cscx

cotx

(9)(a

x)

a

xlna

(10)(e

x)

ex

18四、导数的几何意义切线方程为

法线方程为（≠o）

19注意：该定理的逆命题不成立例如：函数处连续但不可导．因为当处有增量时

所以处连续

定理如果函数在点处可导，则函数在点处连续．然而不存在，所以函数处不可导

)

五、函数的可导性与连续性的关系

20§2.2函数的求导法则(1)(2)(3)一、函数的和、差、积、商的求导法则

如果函数u

u(x)及v

v(x)在点x具有导数

那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数

并且注:

常数因子可提到求导符号外面21

例1设，求及．解因为所以例2求的导数。解根据积的求导法则，得22例3求的导数。解例4求曲线

在点(1,2)的切线方程。解因为

所以

于是，曲线在点（1，2）处的切线方程为，即23例5求函数的导数．解因为，所以即

类似地24例6求函数的导数．解

即类似地

25二、反函数的求导法则定理或即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例7解同理可得27三、复合函数的求导法则

可以推广到多个变量的情形.例如：如果则可导，则复合函数在点处可导，且其导数为定理如果函数在点x处可导,而函数在对应点处

复合函数求导法则：两个可导函数的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数．28例8求函数的导数．解解29例10解30例11解分段函数求导时,各分区间内可按公式求导，分界点导数用左右导数定义求.31课堂小结

1.函数的和、差、积、商的求导法则

2.反函数的求导法则3.复合函数的求导法则注意:分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.难点§2.4隐函数的导数及参数方程的导数

一、隐函数求导

1、显函数：y=f(x)2、隐函数：由方程F(x,y)

=0所确定的函数．

有时可以将隐函数化为显函数的形式.通常将隐函数化为显函数是比较困难的，甚至无法将隐函数化为显函数．方程

化为显函数.例如：

方程就无法将表示成的显函数．例如:33例1求由方程所确定的隐函数的导数．从上式中解出，得

，

在方程中,将看作的函数,则是的复合函数.因此,利用复合函数的求导法则，方程两端对x求导得：解34例2求方程确定的隐函数y=f(x)

的导数解等式两端对x求导数，得解得例3求由方程所确定的隐函数的导数解方程两端对x求导数，得解得

35

例4求幂指函数(>0)的导数．2、幂指函数求导两边对求导，得

整理，得1、

取对数2、利用隐函数的求导法求导二、对数求导法使用对象：1、对由多个因子通过乘、除、乘方或开方所构成的比较复杂的函数的求导；解：两边取对数36

例5求(>0)的导数

解

37例6求函数的导数．解两边取对数，得

两边对求导数，得即三、参数方程求导参数方程所确定的函数求导1.消去参数t,化为y=f(x)形式求导2.看成复合函数：，则由复合函数及反函数的求导法则39例7设解40例8求曲线在t=e处的切线、法线方程.解所以切线斜率法线斜率当t=e时，x=e，y=1.41故切线方程为法线方程为42§2.4高阶导数在变速直线运动中,位移函数s=s(t)对时间t的导数为速度函数v=v(t)，即，同样可以得到速度函数v=v(t)对时间t的导数为加速度a=a(t)，即.从而可以得到这种导数的导数，称为二阶导数。一、高阶导数定义43

1、二阶导数：若y=f(x)的导数仍可导，则称的导数为y=f(x)的二阶导数，记为即44三阶导数：二阶导数的导数四阶导数：三阶导数的导数n阶导数：(n－1)阶导数的导数高阶导数：二阶或二阶以上的导数。若y=f(x)的n阶导数存在，则y=f(x)n阶可导，此时意味着都存在.45二、高阶导数的计算求函数的高阶导数，只需多次连续地求导数即可

例1验证函数(为常数)满足关系式证因为所以46例2求由方程所确定的隐函数的

二阶导数．

解方程两端对求导，并注意到是的函数，得解得

②①式两端同时对求导，得

①

③

从③解出二阶导数，得再将②代入③，得47例3求的n阶导数．解一般地，可得48解一般地，可得类似可求的n阶导数为

例4求的n阶导数．49例5求的n阶导数．解

一般地，可得：50例6求(为任意常数)的n阶导数．解

一般地，可得特殊地，当(n为正整数)时，得到51例7设解两边再对x求导时，由于右端是t的函数，因此在求导时就对t求导再乘以.由反函数求导法知与是倒数关系，所以有5253§2.5函数的微分及其应用一、微分的定义引例:

一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由变到问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则当x在取得增量时,面积的增量为关于△x

的

线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分54定义1:若函数在点的增量可表示为则称函数在点可微,而称为在点的微分,记作即(A

为不依赖于△x的常数)上式可以看成两部分组成，定理1:函数在点可微即

证明:

在点可微,则在点的可导,且在点的可导,则即二、微分的几何意义切线纵坐标的增量当很小时,则有从而称为自变量的微分,当时,导数也叫作微商MPNT记作57三、基本初等函数的微分公式58四、微分法则1、设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)例1设

求解592．复合函数的微分法则或

,微分形式不变分别可微,的微分为则复合函数例2、求解:60例3、设求解61例4求函数的微分。